N
namtuocvva18
Cho x,y,z dương và [TEX]x^2+2x(y+z)=5yz[/TEX]. Chứng minh:
[TEX](x+y)^3+(x+z)^3+(x+y)(y+z)(z+x)\leq 3(y+z)^3[/TEX].
[TEX](x+y)^3+(x+z)^3+(x+y)(y+z)(z+x)\leq 3(y+z)^3[/TEX].
- Status
N
namtuocvva18
Cho a,b,c dương và [TEX]abc=1[/TEX]. Chung minh:
[TEX]\sqrt{\frac{a+b}{b+1}}+\sqrt{\frac{b+c}{c+1}}+ \sqrt{\frac{c+a}{a+1}}\geq 3[/TEX].
[TEX]\sqrt{\frac{a+b}{b+1}}+\sqrt{\frac{b+c}{c+1}}+ \sqrt{\frac{c+a}{a+1}}\geq 3[/TEX].
K
kakinm
ta có
[TEX](\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})(\frac{1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c}[/TEX]\geq9
[TEX]\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}[/TEX]\geq3
\Rightarrow[TEX](\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})(\frac{1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c}})-\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}[/TEX]\geq6
dấu = xảu ra khi a=b=c ( tam giác đều)
V
vodichhocmai
Sai em ơi [TEX]50000000000000000000000000\ \ ti\ \ do\ \ la [/TEX]
Hàng thứ 2 suy ra sai.
V
vanhophb
cho [TEX]\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2} =abc[/TEX]
cm :
[TEX]\frac{a^3+b^3}{(b+c^2)\sqrt[3]{ab}} +\frac{b^3+c^3}{(c+a^2)\sqrt[3]{bc}} +\frac{a^3+c^3}{(a+b^2)\sqrt[3]{ac}} \geq 3[/TEX]
ai làm đuợc vào giải cái, thank liền
cm :
[TEX]\frac{a^3+b^3}{(b+c^2)\sqrt[3]{ab}} +\frac{b^3+c^3}{(c+a^2)\sqrt[3]{bc}} +\frac{a^3+c^3}{(a+b^2)\sqrt[3]{ac}} \geq 3[/TEX]
ai làm đuợc vào giải cái, thank liền
B
botvit
hộ tớ
Câu1: cho a,b,c là 3 cạnh tam giác có chu vi bằng 1 chứng mình rằng :
[TEX]\frac{4}{3}+5\sqrt[3]{abc}\leq (\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{c^2})(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+3\sqrt[]{c}) \leq 2+3\sqrt[3]{abc}[/TEX]
Câu1: cho a,b,c là 3 cạnh tam giác có chu vi bằng 1 chứng mình rằng :
[TEX]\frac{4}{3}+5\sqrt[3]{abc}\leq (\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{c^2})(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+3\sqrt[]{c}) \leq 2+3\sqrt[3]{abc}[/TEX]
T
traquangquy
ta cóa [TEX]\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3-a^3}{a^2+ac+c^2}=(a-b)+(b-c)+(c-a)=0[/TEX]
cần chứng minh[TEX]\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{a^2+ac+c^2}\geq\frac{2(a+b+c)}{3}[/TEX]
cóa [TEX]\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\geq\frac{1}{3}[/TEX]
nên[TEX]\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{a^2+ac+c^2}[/TEX] [TEX]\geq\frac{a+b}{3}+\frac{b+c}{3}+\frac{c+a}{3}[/TEX]
=[TEX]\frac{2(a+b+c)}{3}[/TEX]
K
khanhtm
có lẽ bác viết nhầm, phải thế này mới đúng thì phải
mình chém bên phải trước:
Đặt: [TEX]\sqrt[3]{a}=x; \sqrt[3]{b}=y; \sqrt[3]{c}=z[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^3+y^3+z^3 =1[/TEX]
Ta có:
[TEX] (\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{c^2})(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}) \leq 2+3\sqrt[3]{abc}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2) \leq 2 + 3xyz[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+ xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x) \leq 2(x^3+y^3+z^3) + 3xyz[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x) \leq x^3+y^3+z^3 + 3xyz[/TEX]
Đây chính là BDT Schur
Last edited by a moderator:
G
goodboy_1507
một bài Olympic này các pác giải hộ em
Với 0 \leq x \leq 1 T“m Max hoặc Min của BT
S = 13 [tex] sqrt{x^2 - x^4} [/tex] + 9 [tex] sqrt{x^2 + x^4} [/tex]
Gợi ý : Dùng Côsi
Với 0 \leq x \leq 1 T“m Max hoặc Min của BT
S = 13 [tex] sqrt{x^2 - x^4} [/tex] + 9 [tex] sqrt{x^2 + x^4} [/tex]
Gợi ý : Dùng Côsi
K
khanhtm
N
namtuocvva18
Cho x,y,z dương và [TEX]\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}=1[/TEX]. Tìm GTLN của:
[TEX]P=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{1-z}[/TEX].
[TEX]P=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{1-z}[/TEX].
N
namtuocvva18
Cho các số thực a,b,c thoả mãn [TEX]a+b+c=0[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]27^a+27^b+27^c\geq 3^a+3^b+3^c[/TEX].
[TEX]27^a+27^b+27^c\geq 3^a+3^b+3^c[/TEX].
N
namtuocvva18
Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq 3(a^2+b^2+c^2)[/TEX].
[TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq 3(a^2+b^2+c^2)[/TEX].
N
nguyenminh44
[TEX]27^a+1+1+27^b+1+1+27^c+1+1 \geq 3\sqrt[3]{27^a}+3\sqrt[3]{27^b}+3\sqrt[3]{27^c} \geq 3(3^a+3^b+3^c) =VP+2 (3^a+3^b+3^c) [/TEX]
[TEX]\geq VP+2.3\sqrt[3]{3^{a+b+c}}=VP+6[/TEX]
\Rightarrow Đpcm
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b=c=0[/TEX]
@ : bạn đừng post một lúc nhiều câu, mỗi câu một bài viết thế này. Mod khó tính sẽ cảnh cáo đấy !
N
nguyenminh44
Nếu cho x,y,z là các vô cùng bé [TEX]( \to 0 )[/TEX] nhưng x (chẳng hạn) là vô cùng bé cấp 2 đối với y,z (thoả mãn giả thiết) thì [TEX]P \to 3[/TEX] Mà [TEX]P <3[/TEX] \Rightarrow không tồn tại max.
I
ilovetoan
[TEX]VT=\sum_{cyclic}^{a+b+c=0}27^a=\sum_{cyclic}^{a+b+c=0}9^a.3^a\ge \frac{(9^a+9^b+9^c)(3^a+3^b+3^c)}{3}\ge \sqrt[3]{9^{a+b+c}}(3^a+3^b+3^c)[/TEX]
[TEX]\rightarrow Vt\ge 3^a+3^b+3^c\ \ \ \ \ \ Done[/TEX]
N
namtuocvva18
Cho a,b,c dương và [TEX]ab+bc+ca=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+ \frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\geq \frac{3}{2}[/TEX].
[TEX]\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+ \frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\geq \frac{3}{2}[/TEX].
N
namtuocvva18
Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c\leq 3[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2009}{ab+bc+ca}\geq 670[/TEX].
[TEX]\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2009}{ab+bc+ca}\geq 670[/TEX].
N
namtuocvva18
Cho 3 số không âm a,b,c. Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2-bc}+\frac{1}{3}.\sqrt{4c^2+4a^2+ca}\geq a+b+c[/TEX].
[TEX]\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2-bc}+\frac{1}{3}.\sqrt{4c^2+4a^2+ca}\geq a+b+c[/TEX].
N
namtuocvva18
Nếu cho x,y,z là các vô cùng bé [TEX]( \to 0 )[/TEX] nhưng x (chẳng hạn) là vô cùng bé cấp 2 đối với y,z (thoả mãn giả thiết) thì [TEX]P \to 3[/TEX] Mà [TEX]P <3[/TEX] \Rightarrow không tồn tại max.
Bài này có tồn tại GTLN
Max [TEX]P=\frac{9}{2}[/TEX].
......
........
- Status