[Toán 10]Bdt

[vodichhocmai]

Cho 1 bài chơi .

[TEX]Cmr:\ \ T=\sum_{cyclic}^{a,b,c\ge 0}\sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\ge 2[/TEX]

[TEX]\blue\tex{Vasile girtoaje-2006}[/TEX]

 

[lan_anh_a]

[TEX]Cmr:\ \ T=\sum_{cyclic}^{a,b,c\ge 0}\sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\ge 2[/TEX]

[TEX]\blue\tex{Vasile girtoaje-2006}[/TEX]

oh cứ như là vật thể lạ ý , thấy lạ quá cơ àk, chưa nhìn thấy bao h cyclic là j` nhỷ

 

[vodichhocmai]

1/Cauchy

[TEX]Cmr:\ \ T=\sum_{cyclic}^{a,b,c\ge 0}\sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\ge 2[/TEX]

[TEX]\blue\tex{Vasile girtoaje-2006}[/TEX]

Mấy trăm năm rồi không thấy ai giải bài đảo [TEX]Cauchy [/TEX]nên tiện thể [TEX]Die[/TEX] nó lun.

[TEX]\fra{a^2+bc}{a(b+c)}+1\ge 2\sqrt{\fra{a^2+bc}{a(b+c)}}[/TEX]

[TEX]\to \frac{(a+b)(a+c)}{2a(b+c)}\ge \sqrt{\fra{a^2+bc}{a(b+c)}}[/TEX]

[TEX]\to \sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\ge \frac{2a(b+c)}{ (a+b)(a+c) } [/TEX]

[TEX]\to \sum_{cyclic}^{a,b,c\ge 0}\sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\ge 2\sum_{cyclic}\frac{a(b+c)^2}{ (a+b)(a+c)(b+c) }[/TEX]

[TEX]\to \sum_{cyclic}^{a,b,c\ge 0}\sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\ge 2+\frac{6abc}{a+b)(a+c)(b+c) }\ge 2[/TEX]

[TEX]Done!![/TEX]

 

[vodichhocmai]

Am-gm (Crux)

[TEX]a_1,a_2....a_6\in \[0;1\]\ \ Cmr:\ \ \sum_{cyclic} \frac{a^3_1}{a^5_2+a^5_3+a^5_4+a^5_5+a^5_6+5}\le \frac{3}{5}[/TEX]

 

[sieuthamtu_sieudaochit]

Cho x,y,z dương và [TEX]x+y+z=xyz[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+ \frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\leq \frac{3}{2}[/TEX].

Lâu roài mới quay lại diễn đàn. Ông namtuoc..đi qua diễn đàn nào cũng lập cái topic này nhỉ.
Bài này là [TEX]Korea-1998[/TEX], ông vodichhocmai giải cách kinh khủng quá.

Đặt [TEX]x=1/a, y=1/b, z=1/c [/TEX] thì [TEX]ab+bc+ca=1[/TEX]. Ta cần chứng minh
[TEX]\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+1}} \le \frac{3}{2}[/TEX]

Áp dụng bất đẳng thức [TEX]AM-GM[/TEX] ta có

[TEX]\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+1}} =\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\sum \frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}[/TEX]

[TEX]\leq \frac{1}{2}\sum \left (\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c} \right )=\frac{3}{2}[/TEX]

 

[sieuthamtu_sieudaochit]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX](\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^2\geq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/TEX].

Bài này là [TEX]Iran-2005[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}+ \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b} \ge 3 + \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}[/TEX]
Áp dụng [TEX]AM-GM, Cauchy-Schwarz[/TEX]

[TEX]\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\ge \ 3[/TEX]

[TEX]\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}[/TEX]
Từ đo ta có đpcm

 

[sieuthamtu_sieudaochit]

Mấy trăm năm rồi không thấy ai giải bài đảo [TEX]Cauchy [/TEX]nên tiện thể [TEX]Die[/TEX] nó lun.

[TEX]\fra{a^2+bc}{a(b+c)}+1\ge 2\sqrt{\fra{a^2+bc}{a(b+c)}}[/TEX]

[TEX]\to \frac{(a+b)(a+c)}{2a(b+c)}\ge \sqrt{\fra{a^2+bc}{a(b+c)}}[/TEX]

[TEX]\to \sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\ge \frac{2a(b+c)}{ (a+b)(a+c) } [/TEX]

[TEX]\to \sum_{cyclic}^{a,b,c\ge 0}\sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\ge 2\sum_{cyclic}\frac{a(b+c)^2}{ (a+b)(a+c)(b+c) }[/TEX]

[TEX]\to \sum_{cyclic}^{a,b,c\ge 0}\sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\ge 2+\frac{6abc}{a+b)(a+c)(b+c) }\ge 2[/TEX]

[TEX]Done!![/TEX]

Cái này trong [TEX]MIC-2009[/TEX] có cách giải hay hơn
P/s. Bài viết quá ngắn

 

[namtuocvva18]

Cho x,y,z dương và [TEX]x+y+z=1[/TEX].Chứng minh:
[TEX]\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}\leq \frac{9}{4}[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương và [TEX]abc=1[/TEX]. Chúng minh:
[TEX]\frac{1}{a^4(1+b)(1+c)}+\frac{1}{b^4(1+c)(1+a)}+ \frac{1}{c^4(1+c)(1+a)}\geq \frac{3}{4}[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Ttt

Cho a,b,c duong va [TEX]a+b+c\leq \sqrt{3}[/TEX]. Chung minh:
[TEX]\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+ \frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\leq \frac{3}{2}[/TEX].

 

[lan_anh_a]

acho 3 số dương a,b,c , abc = 1. CMR :

[tex] \frac {ab}{c^2a^2+c^2b^2} + \frac {bc}{a^2b^2 + a^2c^2 } + \frac {ac}{a^2c^2+b^2a^2}\geq \frac {3}{2} [/tex]

 

[lan_anh_a]

cho 3 số dương a,b,c , abc = 1. CMR :

[tex] \frac {ab}{c^2a^2+c^2b^2} + \frac {bc}{a^2b^2 + a^2c^2 } + \frac {ac}{a^2c^2+b^2a^2}\geq \frac {3}{2} [/TEX]

 

[namtuocvva18]

Cho [TEX]|x|\leq 1[/TEX]. Tim GTLN cua:
[TEX]P= (1-x)^{2010}+(1+x)^{2010}[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c khong am va [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chung minh:
[TEX]5(a^2+b^2+c^2)\leq 6(a^3+b^3+c^3)+1[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Cho x,y,z duong va [TEX]x+2y+3z=18[/TEX]. Chung minh:

[TEX]\frac{2y+3z+5}{1+x}+\frac{3z+x+5}{1+2y}+\frac{x+2y+5}{1+3z}\geq \frac{51}{7}[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương và [TEX]abc=1[/TEX]. Chúng minh:
[TEX]\frac{1}{a^4(1+b)(1+c)}+\frac{1}{b^4(1+c)(1+a)}+ \frac{1}{c^4(1+c)(1+a)}\geq \frac{3}{4}[/TEX].

1 hồi biến đổi không mất thời gian nó ra cái :
[TEX]\sum_{cyclic}^{x,y,z>0 \ \ xyz=1}\frac{x^4yz}{(1+y)(1+z)}\ge\frac{3}{4}[/TEX]
[TEX]\rightarrow \sum_{cyclic}^{x,y,z>0 \ \ xyz=1}\frac{x^3}{(1+y)(1+z)}\ge\frac{3}{4}[/TEX]
[TEX]Am-Gm: \ \ \frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{1+y}{8}+\frac{1+z}{8}\ge \frac{3}{4}x[/TEX]
[TEX] We \ \ are\ \ done!!}[/TEX]

................................................................

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương và [TEX]abc=1[/TEX]. Chúng minh:
[TEX]\frac{1}{a^4(1+b)(1+c)}+\frac{1}{b^4(1+c)(1+a)}+ \frac{1}{c^4(1+c)(1+a)}\geq \frac{3}{4}[/TEX].

Ap dung BDT Cauchy 4 so:
[TEX] \frac{1}{a^4(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}+\frac{1}{4}\geq 4a[/TEX]
Tuong tu cong vao suy ra dpcm.

 

[vodichhocmai]

Cho a,b,c khong am va [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chung minh:
[TEX]5(a^2+b^2+c^2)\leq 6(a^3+b^3+c^3)+1[/TEX].

[TEX] \Leftrightarrow5(1-2q)\le 6(1-3q+3r)+1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 9r\ge 4q-1[/TEX]

Luôn luôn đúng theo [TEX]Schur[/TEX]

 

[vodichhocmai]

3.cho a,b,c>0
CMR:[tex]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+ \frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^3+ac+a^3}\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}[/tex]

[TEX]\sum_{cyclic} \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}= \sum_{cyclic} \frac{a^4}{a(a^2+ab+b^2) }\ge \frac{ (a^2+b^2+c^2)^2}{a(a^2+ab+b^2) +b(b^2+bc+c^2)+c(c^2+ac+a^2)}\ge \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}[/TEX]

[TEX]We\ \ Are\ \ Done!![/TEX]

 

[vodichhocmai]

poster by vodichhocmai.

Cho [TEX]x_1,x_2,x_3,.x_n\le 7[/TEX] và [TEX]\sum_{i=1}^nx_i=\frac{n}{2}[/TEX] .


Chứng minh rằng . [TEX]\sum_{i=1}^n \frac{x_i+1}{x_i^2+1}\le \frac{6n}{5}[/TEX]