[Chuyên đề 2] Phương trình, hệ phương trình

[tell_me_goobye]

[TEX]\left{\begin{|x+y|+|x-y|+|x^2-y^2|=5 \\ 2(x^2+y^2)=5[/TEX]

Làm đi nhá hết mình post tiếp !\

hệ trở thành
[TEX]\left{\begin{|x+y|+|x-y|+|x+y||x-y| =5}\\{(x+y)^2+(x-y)^2=5}[/TEX]

đặt |x+y|=a,|x-y|=b

hệ trở thành

[TEX]\left{\begin{a+b+ab=5}\\{a^2+b^2=5}[/TEX]

đơn giản rùi

 

[duynhan1]

[TEX]\left{\begin{|x+y|+|x-y|+|x^2-y^2|=5 \\ 2(x^2+y^2)=5[/TEX]

[TEX]a =|x+y|+|x-y| [/TEX]

[TEX]b= |x^2-y^2|[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a^2 - 2b = 2(x^2+y^2) [/TEX]

ta có hệ:


[TEX]\left{\begin{a+b=5 \\ a^2 - 2b=5[/TEX]

 

[tell_me_goobye]

[TEX]\left{\begin{6x^4-(x^3-x)y^2-(y+12)x^2=-6 \\ 5x^4-(x^2-1)^2y^2-11x^2=-5[/TEX]
Làm đi nhá hết mình post tiếp !\

hệ viết lại như sau
[TEX]\left{\begin{30x^4 -5x(x^2-1)y^2 -5x^2(y+12)=-30}\\{30x^4-6(x^2-1)y^2-66x^2=-30}[/TEX]

trừ hai vế hai pt ta có

[TEX](x^2-1)y^2(6-5x)+x^2(6-5x)= (6-5x)(x^2y^2-y^2+x^2)=0[/TEX]

đến đây chắc dễ thui

 

[duynhan1]

Một bài quen thuộc:

[TEX]\left{ \begin{(x+y)(1 + \frac{2}{xy}) = 5}\\{(x^3+y^3)(1 + \frac{8}{x^3y^3}) = 20}[/TEX]

và 1 bài đại học

[TEX]\left{ \begin{x^2 + y + x^3y + xy^2 + xy = - \frac{5}{4}}\\{x^4+y^2 + xy(1+2x) = - \frac54} [/TEX]

ĐẠI HỌC khối A - năm 2008

 

[no.one]

:


[TEX]\left{ \begin{x^2 + y + x^3y + xy^2 + xy = - \frac{5}{4}}\\{x^4+y^2 + xy(1+2x) = - \frac54} [/TEX]

ĐẠI HỌC khối A - năm 2008

\Leftrightarrow[TEX]\left{ \begin{x^2 + y + xy(x^2 + y) + xy = - \frac{5}{4}}\\{(x^2+y)^2+xy = - \frac54} [/TEX]

Đặt [TEX]a=x^2+y [/TEX],[TEX]b=xy[/TEX]

\Rightarrow[TEX]\left{\begin{a+b+ab=\frac{5}{4}}\\{a^2+b=\frac{-5}{4}} [/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\left[\begin{a=\frac{-1}{2}, b=\frac{-3}{2}}\\{a = 0, b=\frac{-5}{4}} [/TEX]

 

[quyenuy0241]

Một bài quen thuộc:

[TEX]\left{ \begin{(x+y)(1 + \frac{2}{xy}) = 5}\\{(x^3+y^3)(1 + \frac{8}{x^3y^3}) = 20}[/TEX]

và 1 bài đại học

[TEX]\left{ \begin{x^2 + y + x^3y + xy^2 + xy = - \frac{5}{4}}\\{x^4+y^2 + xy(1+2x) = - \frac54} [/TEX]

ĐẠI HỌC khối A - năm 2008

[tex]\left{\begin{x+y+\frac{2}{y}+\frac{2}{x}=5 \\ x^3+y^3+\frac{8}{x^3}+\frac{8}{y^3}=20 [/tex]

[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{x+\frac{2}{x}+y+\frac{2}{y}=5 \\ (x+\frac{2}{x})^3-6(x+\frac{2}{x})+(y+\frac{2}{y})^3-6(y+\frac{2}{y})=20[/TEX]

[TEX]Dat--> \frac{2}{x}+x=a \\ \frac{2}{y}+y=b[/TEX]

 

[takitori_c1]

2 bài nữa

1, [TEX]\left\{ \begin{array}{l} x^3 + y^2=2 \\ x^2 + xy + y^2 -y =0 \\ \end{array} \right.[/TEX]

2, [TEX]\left\{ \begin{array}{l}x^4 - x^3y + x^2y^2 = 1 \\ x^3y - x^2 +xy =1. \\ \end{array} \right.[/TEX]

 

[no.one]

giải hệ

[TEX]\left{\begin{x^4-y^4=240(1)}\\{x^3-2y^3=3(x^2-4y^2)-4(x-8y)(2)}[/TEX]

(1)+(2).(-8)=[TEX]x^4-8x^3+24x^2-32x+16=y^4-16y^3+96y^2-256y+256[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX](x-2)^4=(y-4)^4[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\left[\begin{x-2=y-4}\\{x-2 = -y+4} (*)[/TEX]

thế (*) vào (1) là xong nhỉ

 

[thuyduong_10a1]

2, [TEX]\left\{ \begin{array}{l}x^4 - x^3y + x^2y^2 = 1 \\ x^3y - x^2 +xy =1. \\ \end{array} \right.[/TEX]

[TEX]\left\{ \begin{array}{l}(x^2-xy)^2+x^3y = 1 \\ x^3y - (x^2 -xy) =1. \\ \end{array} \right.[/TEX]
đặt u=[TEX]\mathit{x^2-xy}[/TEX]
v=[TEX]\mathi{x^3y}[/TEX]
=> thay vào tìm u,v =>x,y

 

[roses_123]

[TEX]\left{\begin{3x^3-y^3=\frac{1}{x+1}}\\{x^2+y^2=1} [/TEX]
..........................................................................................................

 

[silvery21]

\


Làm nốt vậy

dễ dàng nhận thấy hàm số [TEX]g(a)=a^3+a[/TEX] đồng biến trên R

Xét hàm số : [TEX]f(t)=2t^3+3t^2-18 [/TEX]

[tex]f'(t)=6t^2+6t [/tex]

Hàm số đồng biến trên [TEX](-\infty ,-1) \bigcup_{}^{}(0,+\infty)[/TEX]
Nghịch biến trên [TEX](-1,0)[/TEX]

Giả sử [TEX]x \le y(1)[/TEX]

[TEX] TH_1:: x \in (-\infty ,-1) \bigcup_{}^{}(0,+\infty) [/TEX]

Hệ tương đương

[TEX]\left{\begin{f(x)=g(y) \\ f(y)=g(z)\\ f(z)=g(x)[/TEX]

Do trên khoảng này : f(x) đồng biến , g(x) đồng biến

Không mất tính tổng quát giả sử : x=min{x,y,z}

Lúc đó ta có :

[TEX]x \le y \Leftrightarrow f(x) \le f(y) \Rightarrow g(y) \le g(z) \Rightarrow y \le z \Rightarrow f(y) \le f(z) \Rightarrow y \le z[/TEX]

Vậy ta có : x \le y \le z \le x \Rightarrow x=y=z

...

sf cần gt thêm về kon này cho đt 1 chút

thầy đt nói khi hàm số đồng biến hay nghịch biến trên 2 khoảng # nhau hay nh` hơn 1 khoảng ấy thì [TEX]f(x)= f(y)[/TEX] không thể suy ra được [TEX]x = y [/TEX]................ổng nhắc kĩ đó còn cho VD chứng minh nữa ..đt chủ wan ko ghi chép bài h hối hận;

@bài giải của các bạn hay thiêk

 

[silvery21]

bài típ; giải hpt

[TEX]\left{\begin{x-\frac{1}{x} = y- \frac{1}{y}}\\{2y=x^3 +1}[/TEX]

2;[TEX]\left{\begin{\frac{x^4 -1}{x}= \frac{16y^4 - 1}{2y}}\\{x^2 + 6xy +4y^2 =5}[/TEX]

ra lun kq đc hem

 

[duynhan1]

bài típ; giải hpt

[TEX]\left{\begin{x-\frac{1}{x} = y- \frac{1}{y}}\\{2y=x^3 +1}[/TEX]

Bài 1:

TỪ (1) suy ra : [TEX](x-y)(1 + \frac{1}{xy})=0[/TEX]

Thế vào (2) tìm nghiệm

 

[quyenuy0241]

2 bài nữa

1, [TEX]\left\{ \begin{array}{l} x^3 + y^2=2(1) \\ x^2 + xy + y^2 -y =0 (2)\\ \end{array} \right.[/TEX]

Nên

Do hàm số y^2 đồng biến trên

Xét

suy ra

Kết hợp với DK có nghiệm của x suy ra hệ vô nghiệm

 

[silvery21]

3; [TEX]\left{\begin{2x+1=y ^3 +y^2 +y}\\{2y+1= x^3+z^2+z}\\{2z+1=x^3+x^2+x}[/TEX]

4; [TEX]\left{x^3(2+3y)=1 \\ {(y^3-2)x=3}[/TEX]


p/s còn mấy bài ở topic chưa ai giải đó

 

[duynhan1]

2;[TEX]\left{\begin{\frac{x^4 -1}{x}= \frac{16y^4 - 1}{2y}}\\{x^2 + 6xy +4y^2 =5}[/TEX]

ra lun kq đc hem

[TEX]t= 2y[/TEX]

[TEX]\left{\begin{\frac{x^4 -1}{x}= \frac{t^4 - 1}{t}}\\{x^2 + 3xt +t^2 =5}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \Leftrightarrow xt(x^3-t^3) + (x-t) = 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x-t)[xt(x^2+t^2 + xt) + 1} ) =0 [/TEX](*)

Thế (2) vào
(*) [TEX] \Leftrightarrow (x-t)(xt(5-3xt +xt) + 1=0 [/TEX]
.....
[TEX]\Leftrightarrow \left[ \begin{ x=t}\\{2x^2t^2 - 5xt -1=0}[/TEX]

TH1: Thế vào [TEX](2) [/TEX] giải dễ dàng.
TH2:
giải xt thế vào (nhưng nghiệm lẻ )
Đặt S= x+t ; y= xt .
xét nghiệm, đặt x=kt

 

[doigiaythuytinh]

3; [TEX]\left{\begin{2x+1=y ^3 +y^2 +y}\\{2y+1= Z^3+z^2+z}\\{2z+1=x^3+x^2+x}[/TEX]
4; [TEX]\left{x^3(2+3y)=1 \\ {(y^3-2)x=3}[/TEX]

Chắc đề phải thế

Cộng 1 vào mỗi vế của pt
Hàm đồng biến...

http://www.box.net/shared/oyk8djjs4b

 

[quyenuy0241]

4; [TEX]\left{x^3(2+3y)=1 \\ {(y^3-2)x=3}[/TEX]

x=0 không phải là nghiệm của HPT

(*) Với [TEX]x \neq 0 ->HPT \Leftrightarrow \left{\begin{2+3y=\frac{1}{x^3}\\ 2+\frac{3}{x}=y^3[/TEX]

[TEX]Dat-> \frac{1}{x}=t \neq 0 [/TEX]

[TEX]HPT\Leftrightarrow\left{\begin{2+3y=t^3\\ 2+3t=y^3[/TEX]

Đối xứng roài nhỷ??

 

[duynhan1]

Bài này hay lém :

[TEX]\left{ \begin{ \sum_{cyclic}^{x,y,z} \frac{x^2y^2}{x^4y^2 + x^2y^2+1 } =1}\\{xyz=1}[/TEX]

P/s: ko bik gõ ký hiệu đúng ko

 

[jerusalem]

[tex]\left{\begin{x^2+y^2+xy=3 \\ x^3+2y^3=y+2x [/tex]

[tex] \left{\begin{x^2(y^2+1)=2 \\ x^2y^2+xy=3x^2-1 [/tex]

[tex]\left{\begin{x^2+y^2+xy+2y+x=2 \\ 2x^2=2+y^2+2y[/tex]