Topic tích phân 12

[djbirurn9x]

Ví dụ dạng 5:
[TEX]I = \int\limits_{0}^{\pi}{x.cos^4xsin^3xdx}[/TEX]
Đặt [TEX]x = \pi - t \Rightarrow dx = -dt[/TEX]
[TEX]x = 0 \Rightarrow t = \pi; x = \pi \Rightarrow t = 0[/TEX]

[TEX]I = \int\limits_{0}^{\pi}{(\pi-t)[cos(\pi-t)]^4.[sin(\pi-t)]^3[/TEX]

[TEX]I = \int\limits_{0}^{\pi}{(\pi - t)cos^4t.sin^3tdt} = \int\limits_{0}^{\pi}{\pi{cos^4tsin^3tdt} - \int\limits_{0}^{\pi}{tcos^4tsin^3tdt}[/TEX]

[TEX]= \int\limits_{0}^{\pi}{\pi{cos^4tsin^3tdt} - \int\limits_{0}^{\pi}{xcos^4xsin^3xdx = \pi\int\limits_{0}^{\pi}{cos^4xsin^3xdx - I[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 2I = \pi\int\limits_{0}^{\pi}{cos^4xsin^3xdx}[/TEX]

Đến đây tự tính tiếp

Ví dụ dạng 7:

[TEX]I = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}{ln(1+tanx)dx[/TEX]

Đặt [TEX]x = \frac{\pi}{4} - t \Rightarrow dx = - dt[/TEX]

[TEX]x = 0 \Rightarrow t = \frac{\pi}{4}; x = \frac{\pi}{4} \Rightarrow t = 0[/TEX]

[TEX]I = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}{ln[1+tan(\frac{\pi}{4} - t)]dt = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}{ln[1 + \frac{1-tant}{1+tant}}]dt = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}{ln[\frac{2}{1+tant}]dt[/TEX]

[TEX]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}{[ln2 - ln(tant + 1)]]dt = ln2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}dt - I [/TEX]

[TEX]\Rightarrow 2I = ln2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}ldt = tln2|\begin{matrix} \frac{\pi}{4} \\ 0 \end{matrix} = \frac{\pi}{4}ln2[/TEX]

[TEX]\Rightarrow I = \frac{\pi}{8}ln2[/TEX]

Ví dụ dạng 6 post sau, h đi học

 

[kimduong92]

koàn có bài nao` ko nhể ..........................................

 

[djbirurn9x]

làm hết mấy bài ở trang 1 đi rồi tớ post tiếp cho

 

[lamanhnt]

cho mình góp con này, ko biết có chưa. Mình cần tham khảo thêm ms cách
tích phân từ 1/3 đến 1 của [tex](x-x^3)^{1/3}[/tex] trên [tex]x^4[/tex]
Mình sẽ sửa lại tích phân sau:d

 

[cold_person]

cho mình góp con này, ko biết có chưa. Mình cần tham khảo thêm ms cách
tích phân từ 1/3 đến 1 của [tex](x-x^3)^{1/3}[/tex] trên [tex]x^4[/tex]
Mình sẽ sửa lại tích phân sau:d

[tex]\int\limit_{\frac{1}{3}}^1 \frac{\sqrt[3]{x-x^3}}{x^4}[/tex]

Đặt [tex]t= \frac{\sqrt[3]{x-x^3}}{x} => t^3=\frac{x-x^3}{x^3} => 3t^2dt=-\frac{2}{x^3}dx[/tex]


[tex]\int \limit_{\frac{1}{3}}^1 \frac{\sqrt[3]{x-x^3}}{x^4}dx=\int\limit_0^2 t.\frac{3}{2}t^2dt[/tex]

 

[flower.stupid]

[tex]\int\limit_{\frac{1}{3}}^1 \frac{\sqrt[3]{x-x^3}}{x^4}[/tex]

Đặt [tex]t= \frac{\sqrt[3]{x-x^3}}{x} => t^3=\frac{x-x^3}{x^3} => 3t^2dt=\frac{2}{x^3}dx[/tex]


[tex]\int \limit_{\frac{1}{3}}^1 \frac{\sqrt[3]{x-x^3}}{x^4}=\int\limit_0^2 t.3t^2dt[/tex]

lam thế nay` tớ thấy hơi phưc tạp nhờ!! sao ko dung` pp đổi biến nhin` no' dễ hơn

 

[cold_person]

lam thế nay` tớ thấy hơi phưc tạp nhờ!! sao ko dung` pp đổi biến nhin` no' dễ hơn

Đổi biến như thế nào với căn bậc 3.....................................

 

[cold_person]

[TEX]5/\int{}^{}{\frac{sin(x+\frac{\pi}{4})}{sinx - cosx +2}dx[/TEX]​

[TEX]6/\int{}^{}{\frac{sin^3x}{1+cos2x}}dx[/TEX]​

[TEX]7/\int{}^{}{\frac{lnx}{\sqrt{x}}dx[/TEX]​

[TEX]8/\int{}^{}{\frac{1}{\sqrt{x^2-x-1}}}dx[/TEX]​

[TEX]9/\int{}^{}{\frac{1}{2 - cos^2x}dx[/TEX]​

Chém hộ 10 bài dễ này nha anh em . Ủng hộ mình nha ​

BÀI NÀO LÀM RỒI SẼ CÓ CHỮ "DONE" Ở BÊN CẠNH

5/ [tex] \int \frac{sin(x+\frac{\pi}{4})}{sinx-cosx+2}dx=\sqrt{2}\int \frac{sinx+cosx}{sinx-cosx+2}dx=\sqrt{2}\frac{d(sinx-cosx+2)}{sinx-cosx+2}[/tex]

6/ [tex]\int \frac{sin^3x}{1+cos2x}dx=\int \frac{sin^3x}{2cos^2x}dx=\frac{1}{2}\int \frac{(1-cos^2x)sinx}{cos^2x}dx=\frac{1}{2}\int \frac{(1-cos^2x)}{cos^2x}d(cosx)[/tex]

7/ [tex]I= \int \frac{lnx}{\sqrt{x}}dx[/tex]

Đặt [tex]u =\frac {lnx}{\sqrt{x}} => du= \frac { \frac{1}{\sqrt{x}}- \frac {lnx}{2\sqrt{x}}}{x}dx[/tex]
[tex]dv=dx => v=x[/tex]

ð [tex]I= \int \frac{lnx}{\sqrt{x}}dx= lnx.\sqrt{x}- \int \frac{1}{\sqrt{x}}- \frac {lnx}{2\sqrt{x}}= lnx.\sqrt{x} - \int \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{2} I [/tex]

8/ [tex]\int \frac{1}{\sqrt{x^2-x-1}}[/tex]

Đặt [tex] t= x+\sqrt{x^2-x-1}-1 => dt= 1+ \frac{2x-1}{\sqrt{x^2-x-1}}dx=\frac{2\sqrt{x^2-x-1}+2x-1}{\sqrt{x^2-x-1}}=\frac{2t+1}{\sqrt{x^2-x-1}}dx => dx=\frac {\sqrt{x^2-x-1}}{2t+1}dt [/tex]

=> I=[tex]\int \frac{1}{\sqrt{x^2-x-1}}= \int \frac{dt}{2t+1}[/tex]


9/ [tex]\int \frac{1}{2-cos^2x}dx=\int \frac{1}{cos^2x(1-\frac{2}{cos^2x})}=\int \frac{1}{cos^2x(1+2tan^2x)}[/tex]

Zậy là xong .

 

[djbirurn9x]

8/ [tex]\int \frac{1}{\sqrt{x^2-x-1}}[/tex]

Đặt [tex] t= x+\sqrt{x^2-x-1}-1 => dt= 1+ \frac{2x-1}{\sqrt{x^2-x-1}}dx=\frac{2\sqrt{x^2-x-1}+2x-1}{\sqrt{x^2-x-1}}=\frac{2t+1}{\sqrt{x^2-x-1}}dx => dx=\frac {\sqrt{x^2-x-1}}{2t+1}dt [/tex]

=> I=[tex]\int \frac{1}{\sqrt{x^2-x-1}}= \int \frac{dt}{2t+1}[/tex]

Nếu đặt vậy thì chỗ này phải là [TEX]\frac{-1}{2}[/TEX]

Đặt [tex] t= x+\sqrt{x^2-x-1}-\frac{1}{2} \Rightarrow 2t = 2x + 2\sqrt{x^2-x-1} - 1[/tex]

[TEX] \Rightarrow dt= 1+ \frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x-1}}dx=\frac{2\sqrt{x^2-x-1}+2x-1}{2\sqrt{x^2-x-1}}dx = \frac{2t}{2\sqrt{x^2-x-1}}dx = \frac{t}{\sqrt{x^2-x-1}}dx [/TEX]

[TEX] \Rightarrow \frac{dx}{\sqrt{x^2-x-1}} = \frac{dt}{t}[/TEX]

[tex]\Rightarrow I = \int \frac{1}{\sqrt{x^2-x-1}}dx= \int \frac{dt}{t} = ln|t| + C[/tex]

Kết luận : dạng đặc biệt số 3 (trang 1), lần sau mà gặp cứ phang vào mà đặt

Thax tớ cái nào

 

[djbirurn9x]

tiếp nào

[TEX]31/\int\limit_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{sin^2x}sinxcos^3xdx[/TEX]

DONE​

[TEX]32/\int\limit_{-1}^{1}{\frac{x^4 + sinx}{x^2 + 1}dx[/TEX]

DONE​

[TEX]33/\int\limit_{0}^{\frac{\pi}{2}}{cos2x(sin^4x + cos^4x)}dx[/TEX]

DONE​

[TEX]34/\int\limit_{0}^{1}{\frac{x^4 + 1}{x^6 + 1}dx[/TEX]

DONE​

[TEX]35/\int\limit_{0}^{1}{\frac{sinx + 7cosx + 6}{4sinx + 3cosx + 5}dx[/TEX]

DONE​

[TEX]36/\int\limit_{0}^{\frac{\pi}{2}}{cos^2xcos^22xdx[/TEX]

DONE​

[TEX]37/\int\limit_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1 + sin2x + cos2x}{sinx + cosx}dx[/TEX]

DONE​

[TEX]38/\int\limit_{0}^{1}{\frac{1}{x(x^4 + 1)}dx[/TEX]

DONE​

[TEX]39/\int\limit_{0}^{1}{\frac{\sqrt[4]x}{1 + \sqrt{x}}dx[/TEX]

DONE​

[TEX]40/\int\limit_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{sin3x + cos3x}{cosx + 1}dx[/TEX]

Chém nào pà kon. Ùng hộ mình nha

 

[cold_person]

[TEX]38/\int\limit_{0}^{1}{\frac{1}{x(x^4 + 1)}dx[/TEX]

Chém nào pà kon. Ùng hộ mình nha

Chọn câu dễ nhất trước

38/[tex]\int\limit_{0}^{1}{\frac{1}{x(x^4 + 1)}dx=\int\limit_{0}^{1}{\frac{x^3}{x^4(x^4 + 1)}dx=\frac{1}{4}\int\limit_{0}^{1}{\frac{d(x^4+1)}{x^4(x^4 + 1)}[/tex]

 

[cold_person]

[TEX]34/\int\limit_{0}^{1}{\frac{x^4 + 1}{x^6 + 1}dx[/TEX]

[tex]\int\limit_{0}^{1}{\frac{x^4 + 1}{x^6 + 1}dx=\int\limit_{0}^{1}{\frac{x^4 -x^2+1}{x^6 + 1}dx=\int\limit_{0}^{1}{\frac{1}{x^2 + 1}dx+\int\limit_{0}^{1}{\frac{x^2}{x^6 + 1}dx=I_1-I_2[/tex]

Tính I1: Đặt [tex]x= tant[/tex]
Tính I2: Đặt [tex]x^3=tant[/tex]

 

[cold_person]

31/[tex]\int\limit_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{sin^2x}sinxcos^3xdx[/tex]

Đặt [tex]t=sin^2x => dt=2sinxcosxdx[/tex]

[tex]\int\limit_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{sin^2x}sinxcos^3xdx=\frac{1}{2}\int\limit_0^1e^t(1-t)dt=\frac{1}{2}\int\limit_0^1e^tdt -\frac{1}{2}\int\limit_0^1e^ttdt[/tex]
Tính [tex]I_1= \frac{1}{2}\int\limit_0^1e^ttdt[/tex]
Đặt [tex]u=t => du=dt[/tex]
[tex]dv=e^tdt => v=e^t[/tex]
=> [tex] I_1 [/tex]


32/[tex]\int\limit_{-1}^{1}{\frac{x^4 + sinx}{x^2 + 1}dx=\int\limit_{-1}^{1}{\frac{x^4 }{x^2 + 1}dx+\int\limit_{-1}^{1}{\frac{sinx}{x^2 + 1}dx= \int\limit_{0}^{1}{\frac{x^4 }{x^2 + 1}dx= \int\limit_{0}^{1}{x^2-1+\frac{1}{x^2 + 1}dx[/tex]

33/[tex] \int\limit_{0}^{\frac{\pi}{2}}{cos2x(sin^4x + cos^4x)}dx=\int\limit_{0}^{\frac{\pi}{2}}{cos2x(1-\frac{1}{2}sin^22x)}dx=\int \limit_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos2xdx-\frac{1}{4} \int \limit_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^22xd(sin2x)[/tex]

35/ [tex] \int\limit_{0}^{1}{\frac{sinx + 7cosx + 6}{4sinx + 3cosx + 5}dx=\int\limit_{0}^{1}1+ \frac{4cosx-3sinx}{4sinx + 3cosx + 5}+{\frac{1}{4sinx + 3cosx + 5}dx[/tex]

Tính [tex]J=\int\limit_{0}^{1}{\frac{1}{4sinx + 3cosx + 5}dx=\int\limit_{0}^{1}{\frac{1}{8sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+3(cos^2\frac{x}{2}-sin^2\frac{x}{2})+5(sin^2\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2}})=\int\limit_{0}^{1}{\frac{d(tan\frac{x}{2})}{2tan^2\frac{x}{2}+8tan\frac{x}{2}+8[/tex]


39/ [tex]\int \limit_0^1 \frac{\sqrt[4]{x}}{1+\sqrt{x}}dx[/tex]
Đặt [tex] \sqrt[4]{x}=t => x=t^4 => dx=4t^3dt[/tex]

[tex]\int \limit_0^1 \frac{\sqrt[4]{x}}{1+\sqrt{x}}dx= \int \limit_0^1 \frac{t}{1+t^2}4t^3dt=4\int \limit_0^1 t^2-1+\frac{1}{1+t^2}[/tex]

 

[djbirurn9x]

32/[tex]\int\limit_{-1}^{1}{\frac{x^4 + sinx}{x^2 + 1}dx=\int\limit_{-1}^{1}{\frac{x^4 }{x^2 + 1}dx+\int\limit_{-1}^{1}{\frac{sinx}{x^2 + 1}dx= int\limit_{0}^{1}{\frac{x^4 }{x^2 + 1}dx= int\limit_{-1}^{1}{x^2-1+\frac{1}{x^2 + 1}dx[/tex]


39/ [tex]\int \limit_0^1 \frac{\sqrt[4]{x}}{1+\sqrt{x}}dx[/tex]
Đặt [tex] \sqrt[4]{x}=t => x=t^4 => dx=4t^3dt[/tex]

[tex]\int \limit_0^1 \frac{\sqrt[4]{x}}{1+\sqrt{x}}dx= \int \limit_0^1 \frac{t}{1+t^2}4t^3dt=3\int \limit_0^1 t^2-1+\frac{1}{1+t^2}[/tex]

32/[tex]\int\limit_{-1}^{1}{\frac{x^4 + sinx}{x^2 + 1}dx=\int\limit_{-1}^{1}{\frac{x^4 }{x^2 + 1}dx+\int\limit_{-1}^{1}{\frac{sinx}{x^2 + 1}dx= int\limit_{0}^{1}{\frac{x^4 }{x^2 + 1}dx= int\limit_{-1}^{1}{x^2-1+\frac{1}{x^2 + 1}dx[/tex]
Bài 32 đánh lại chỗ kia và trình bày kĩ hơn

[tex]\int \limit_0^1 \frac{t}{1+t^2}4t^3dt=3\int \limit_0^1 t^2-1+\frac{1}{1+t^2}[/tex]
Bài 39 sai số 3, phải là 4

 

[djbirurn9x]

[tex]\int\limit_{0}^{1}{\frac{x^4 + 1}{x^6 + 1}dx=\int\limit_{0}^{1}{\frac{x^4 -x^2+1}{x^6 + 1}dx=\int\limit_{0}^{1}{\frac{1}{x^2 + 1}dx-\int\limit_{0}^{1}{\frac{x^2}{x^6 + 1}dx=I_1-I_2[/tex]

Tính I1: Đặt [tex]x= tant[/tex]
Tính I2: Đặt [tex]x^3=tant[/tex]

[TEX] \int\limit_{0}^{1}{\frac{x^4 + 1}{x^6 + 1}dx=\int\limit_{0}^{1}{\frac{x^4 -x^2+1}{x^6 + 1}dx[/TEX]
2 cái tích phân này sao mà bằng nhau @-)

 

[cold_person]

[TEX] \int\limit_{0}^{1}{\frac{x^4 + 1}{x^6 + 1}dx=\int\limit_{0}^{1}{\frac{x^4 -x^2+1}{x^6 + 1}dx[/TEX]
2 cái tích phân này sao mà bằng nhau @-)

đã sửa lỗi. thanks..................................

 

[cold_person]

37/[tex]\int\limit_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1 + sin2x + cos2x}{sinx + cosx}dx=\int\limit_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{(sinx+cosx)^2 + (sinx+cosx)(cosx-sinx)}{sinx + cosx}dx=\int\limit_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}sinx+cosx+cosx-sinxdx[/tex]

 

[vodichhocmai]

Toàn bộ các bạn theo tôi thì vấn đề tích phân đã đạt chuẩn để đi thi DH ( ngoại trừ các thành viên mơi ) do đó theo tôi anh chỉ nên mở 1 chuyên đề khác

 

[justforlaugh]

Bài 12: phân tích cái sin 8x thành sin x nhân với f(cosx) ==> dx.sinx = -d(cosx), từ đấy chắc là làm đc

 

[lamanhnt]

Toàn bộ các bạn theo tôi thì vấn đề tích phân đã đạt chuẩn để đi thi DH ( ngoại trừ các thành viên mơi ) do đó theo tôi anh chỉ nên mở 1 chuyên đề khác

anh mở định hướng cho bọn em các dạng bài đi.....................................