Topic tích phân 12

[djbirurn9x]

có lí thuyết hết rùi đó em ah, cố gắng làm BT nhiều nó sẽ thành phản xạ. Phần tích phân là phần để kiếm điểm nên nếu để mất thì uổng lắm =.=

 

[iloveg8]

Thêm 1 bài nữa ná! ( đề thi thử lần 1 năm 2010 của Chuyên Lý KHTN )
[TEX] I = \int\limits_{0}^{1}\frac{x^3-x^2}{x\sqrt[3]{3x-4}-1}dx[/TEX]

 

[djbirurn9x]

từ từ suy nghĩ sau , h nghỉ ngơi chuẫn bị thi

p/s : mắt mờ =.=

 

[iloveg8]

đề có sai hok bạn? Nếu vậy đơn giản tử và mẫu cho x được mà

đề cũng ko khó
Cứ trình bày ra hẳn hoi ,làm tới kết quả đi

 

[phantienthanh1992]

TÍCH PHÂN CỦA HÀM HỮU TỈ​

Xét [TEX]\int\limits_{}^{}{\frac{P(x)}{Q(x)}dx[/TEX] với P(x) và Q(x) là đa thức /

(I) Nếu bậc P(x) > bậc Q(x): Lập phép chia đa thức để viết

[TEX]\frac{P(x)}{Q(x)} = W(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}[/TEX] với bậc R(x) < bậc Q(x)

(II) Nếu bậc P(x) < bậc Q(x): ta phân tích [TEX]\frac{P(x)}{Q(x)}[/TEX] thành tổng các phân thức đơn giản hơn, theo 1 trong 3 qui tắc sau: o=>

Qui tắc 1: [TEX]\frac{P(x)}{(x-a)^m} = \frac{A_1}{(x-a)} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + ... + \frac{A_m}{(x-a)^m}[/TEX] :-SS

Qui tắc 2: [TEX]\frac{P(x)}{(Ax^2 + Bx + C)^n} = \frac{M_1x + N_1}{Ax^2 + Bx + C} + \frac{M_2x + N_2}{(Ax^2 + Bx + C)^2} + ... + \frac{M_nx + N_n}{(Ax^2 + Bx + C)^n}[/TEX] (với [TEX]\Delta = B^2 - 4AC < 0[/TEX])

Qui tắc 3: [TEX]\frac{P(x)}{(x-a)^m.(Ax^2 + Bx + C)^n} = \frac{A_1}{(x-a)} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + ... + \frac{A_m}{(x-a)^m} + \frac{M_1x + N_1}{Ax^2 + Bx +C} + ... + \frac{M_nx + N_n}{(Ax^2 + Bx + C)^n}[/TEX] :|

Với 3 quy tắc đó ta xét các trường hợp cụ thể thông dụng sau:

[TEX]\frac{P(x)}{(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)} = \frac{A_1}{(x-a_1)} + \frac{A_2}{(x-a_2)} + ... + \frac{A_n}{(x-a_n)}[/TEX]

[TEX]\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)(x-c)^2} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b} + \frac{C}{x-c} + \frac{D}{(x-c)^2}[/TEX]

[TEX]\frac{P(x)}{(x-a)(x^2 + px +q)} = \frac{A}{x-a} + \frac{Bx + C}{x^2 + px + q}[/TEX]

[TEX]\frac{P(x)}{(x-a)(x^2 + px + q)^3} = \frac{A}{x-a} + \frac{B_1x + C_1}{x^2 + px +q} + \frac{B_2x + C_2}{(x^2 + px + q)^2} + \frac{B_3x + C_3}{(x^2 + px + q)^3}[/TEX]

Các hệ số [TEX]A_1, A_2, A_3...., B_1, B_2, B_3,......, M_1, M_2,...[/TEX] trong các quy tắc trên được tìm bằng cách đồng nhất các tử số sau khi quy đồng mẫu số chung cho 2 vế, hoặc ta có thể gán một giá trị thích hợp x nào đó (thường nên gán cho nghiệm của mẫu số) sau khi đã quy đồng mẫu số

Còn nhiều bài tập lắm nè, mọi người vào spam giải đi. Ai mún bài khó thì pm mình post cho

Cái này gọi là pp hệ số bất định đúng không bạn! Mình chưa chắc cách tìm các hệ số của phép phân tích lắm. Thanks!

 

[kimxakiem2507]

Mình có ý kiến thế này:
+Nếu đi đồng nhất thì khổ lắm ,vậy nên hãy sử dụng cách sau đây trong nhiều trường hợp sẽ nhanh hơn vì đó là đẳng thức nên hiển nhiên là đúng ,vậy mình cũng không cần phải giải thích cho dài dòng(sướng thiệt).

1) Nếu mẫu là nghiệm đơn thì để tìm hệ số của nó ta thay thẳng nghiệm đơn đó vào biểu thức ban đầu(che cái mẩu đó đi )

2)Nếu mẫu là nghiệm kép thì tách ra 2 cái mẫu bậc 1 và bậc 2,hệ số của mẫu bậc 2 làm giống nghiệm đơn ở trên.hệ số của mẫu bậc 1 ta che mẫu đi,đạo hàm một phát rồi thế nghiệm vào biểu thức đạo hàm vừa tìm được

3)Nếu mẫu bậc n không có nghiệm thì tử số của nó là bậc n- 1,ta đồng nhất nhanh vì đã biết hệ số của mấy tên kia rồi

4) nếu ngoài các trường hợp ở trên thì đồng nhất 2 vế nhưng rất thuận lợi vì thường biết những cái còn lại rồi(thường ít khi gặp loại này,chỉ rơi vào những bài tập nâng cao có tính chất nghiên cứu thôi.

ví dụ 1:[TEX]\frac{x+1}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-1}[/TEX] tìm [TEX]A[/TEX] che[TEX] x-2[/TEX] lại thế [TEX]x=2[/TEX] vào [TEX]\frac{x+1}{x-1}[/TEX] được [TEX]A=3[/TEX],tương tự [TEX]B=-2[/TEX]ta biến đổi luôn đừng đưa A,B vào làm gì,đẳng thức mà.Có n cái nghiệm đơn cũng làm như vậy

ví dụ 2:[TEX]\frac{x+2}{(x+1)(x-1)^2}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}[/TEX]Tìm A,C như trên sẽ được ngay [TEX]A=1/4,C=3/2.[/TEX]tìm B che [TEX](x-1)^2[/TEX] đi,đạo hàm một cái thế x=1 vào cái đạo hàm [TEX]\frac{-1}{(x+1)^2}[/TEX] được[TEX] B=-1/4[/TEX] Có n cái vẫn cứ làm như vậy

Ví dụ 3:[TEX]\frac{x-1}{(x+1)(x^2-x+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}[/TEX]
Tính [TEX]A[/TEX] do là nghiệm đơn nên thế [TEX]x=-1[/TEX] vào[TEX]\frac{x-1}{x^2-x+1}\Rightarrow{ A=-2/3[/TEX].Tính [TEX]B[/TEX] đồng nhất nhanh hệ số [TEX]x^2[/TEX] có [TEX]A+B=0\Rightarrow{B=2/3[/TEX]
Tính [TEX]C[/TEX] đồng nhất nhanh hệ số tự do có ngay[TEX] A+C=-1\Rightarrow{C=-1/3[/TEX]
Đây là các biểu thức hữu tỷ thường gặp trong bài tích phân.Các bạn nhớ là nhẩm ngoài nháp rồi đưa vô luôn đừng đặt A,B,C.. làm gì vừa mất công vừa không dễ thương nữa nhé.Các bạn có thể nghĩ ra cái mẫu khác rồi làm thử xem.Chúc các bạn vui với loại bài này.

 

[lamanhnt]

Mình nghĩ tùy từng bài thôi, không nhất thiết cứ đúng dạng là làm kiểu tìm hệ số, có thể vận dụng linh hoạt cách tách để tạo ra số hạng giống mẫu mà rút gọn.

 

[djbirurn9x]

đúng là tùy cơ ứng biến, cách giải toán có muôn hình vạn trạng, nếu cậu tìm ra n cách giải sẽ có người tìm được n+1 cách giải.
P/s : chúc mọi người thi TN đậu loại khá, giỏi nha

 

[syro]

ví dụ 2:[TEX]\frac{x+2}{(x+1)(x-1)^2}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}[/TEX]Tìm A,C như trên sẽ được ngay [TEX]A=1/4,C=3/2.[/TEX]tìm B che [TEX](x-1)^2[/TEX] đi,đạo hàm một cái thế x=1 vào cái đạo hàm [TEX]\frac{-1}{(x-1)^2}[/TEX] được[TEX] B=-1/4[/TEX] Có n cái vẫn cứ làm như vậy
Chỗ kia sau khi đạo hàm là [TEX]\frac{-1}{(x+1)^2}[/TEX] mới đúng chứ ạ.

 

[kimxakiem2507]

uh đánh nhầm thôi ,hiển nhiên phải là + rồi chú nếu là - thì cái mẫu bằng 0 sao hehe
Làm thêm một bài cho vui
[TEX]I=\int_0^1\frac{x^4+4x^2+8}{x^4+3x^2+2}dx[/TEX]

 

[kimxakiem2507]

[TEX]I=\int_0^1(1+\frac{x^2+6}{x^4+3x^2+2})dx=\int_0^1(1+\frac{x^2+6}{(x^2+1)(x^2+2)})dx=\int_0^1(1+\frac{5}{x^2+1}-\frac{4}{x^2+2})dx[/TEX]

 

[syro]

[TEX]I=\int_0^1(1+\frac{x^2+6}{x^4+3x^2+2})dx=\int_0^1(1+\frac{x^2+6}{(x^2+1)(x^2+2)})dx=\int_0^1(1+\frac{5}{x^2+1}-\frac{4}{x^2+2})dx[/TEX]

[TEX]\int\limits_{0}^{1}dx +\int\limits_{0}^{1}\frac{5}{x^2+1}dx -\int\limits_{0}^{1}\frac{4}{x^2+2}dx[/TEX]
Xét [TEX]I'=\int\limits_{0}^{1}\frac{5}{x^2+1}[/TEX]
Đặt x=tant ==> dx=[TEX]\frac{dt}{cos^2t}[/TEX]
x=0=>t=0; x=1=>t=[TEX]\frac{\pi}{4}[/TEX]
=>[TEX]I'=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{5dt}{(tan^2t+1)cos^2t}[/TEX]
=> [TEX]I'= \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}5dt[/TEX]
Tương tự với cái cuối cùng. Nhưng em nhớ có 1 lần ở lớp em đặt thế cô bảo sai. Ko hiểu thế nào nữa.

 

[phamsang21point]

moi nguoi oi thu giai gup to bai nay nha
nguyenham: 0 --->pi;xsinxdx/1+sin^x
thanks truoc nha

 

[sweetlove_0702]

[TEX]11/\int\limit_{}^{}{cosxcos2xsin4xdx[/TEX]

DONE​

câu này áp dụng công thức lượng giác đưa về tổng các tích phân

[TEX]12/\int\limit_{}^{}{cos^3xsin8xdx[/TEX]

DONE​

câu nè,hạ bậc cos^3x rùi lại sử dụng công thức lượng giác để đưa về dạng tổng các tích phân.

[TEX]13/\int\limit_{}^{}{\frac{2x}{x + \sqrt{x^2 + 1}}dx[/TEX]

DONE​

câu nè k nhớ lắm.nhưng hình như đặt mẫu bằng t hay sao ý.
[TEX]14/\int\limit_{}^{}{(\frac{1}{1 - x^2})ln(\frac{1+x}{1-x})dx[/TEX]

DONE​

câu này có khả năng là tích phân từng phần,
[TEX]15/\int\limit_{}^{}{tan^4xdx[/TEX]

DONE​

dùng phương pháp nhảy lầu.thêm bớt để ra (tan^2x + 1 ) hoặc phân thích ra làm sinx,cosx.nhưng dùng cách đầu hay hơn

[TEX]16/\int\limit_{}^{}{tan3xdx[/TEX]

DONE​

[TEX]17/\int\limit_{}^{}{ln(cosx)dx[/TEX]
câu nè,đặt cosx bằng t rùi đưa về tích phân từng phần.

[TEX]18/\int\limit_{}^{}{(\frac{1}{ln^2x} - \frac{1}{lnx}) dx[/TEX]

DONE​

câu này đưa về tích phân tổng rùi tính các \int_{}^{} \frac{1}{lnx} rùi triệt tiêu đc cái tích phân kia

[TEX]19/\int\limit_{}^{}{xln(\frac{1+x}{1-x}) dx[/TEX]

DONE​

tích phân từng phần

[TEX]20/\int\limit_{}^{}{xe^{\sqrt{x}}dx[/TEX]

DONE​

đăt căn x là t rùi tích phân từng phần
rảnh làm tí cho vui.hì

 

[sweetlove_0702]

moi nguoi oi thu giai gup to bai nay nha
nguyenham: 0 --->pi;xsinxdx/1+sin^x
thanks truoc nha

tách ra sẽ đc là 1+ 1/(sinx+1)
đặt t=tan(x/2)
thử làm thế xem.hì

 

[phucn2]

tích phân từ 0 đến 1 của {\frac{1}{(x^3 +1)\sqrt[3]{x^3 +1}}


[TEX]I=\int_{0}^{1}{\frac{1}{(x^3 +1)\sqrt[3]{x^3 +1}}[/TEX]

 

[hoanghondo94]

[TEX]I=\int_{0}^{1}{\frac{1}{(x^3 +1)\sqrt[3]{x^3 +1}}[/TEX]

Lời giải tổng quát nhé bạn :

[TEX]{\color{Green} \huge \int_{0}^{1}\frac{1}{(1+x^m).\sqrt[m]{(1+x^m)}}dx[/TEX]

[TEX] f(x)=\frac{1}{(1+x^m).\sqrt[m]{(1+x^m)}}=\frac{1}{\sqrt[m]{\(1+x^m\)^m}.\sqrt[m]{(1+x^m)}}[/TEX]

[TEX]=\frac{1}{\sqrt[m]{\(1+x^m\)^2}.\sqrt[m]{\(1+x^m\)^{m-2}}.\sqrt[m]{(1+x^m)}} [/TEX]

[TEX]=\frac{1}{\sqrt[m]{\(1+x^m\)^2}.\sqrt[m]{(1+x^m)^{m-1}}} [/TEX]

[TEX]=\frac{1}{ \sqrt[m]{\(1+x^m\)^2}}\[\frac{\(1+x^m\)-x^m}{\sqrt[m]{(1+x^m)^{m-1}}} \][/TEX]

[TEX]=\frac{1}{ \sqrt[m]{\(1+x^m\)^2}}\[\sqrt[m]{1+x^m}-x^m\(1+x^m\)^{\frac{1}{m}-1}\] [/TEX]

[TEX]=\frac{1}{ \sqrt[m]{\(1+x^m\)^2}}\[\sqrt[m]{1+x^m} -\frac{x}{m}\(1+x^m\)^{\frac{1}{m}-1}.m.x^{m-1}\] [/TEX]

[TEX]= \frac{1}{ \sqrt[m]{\(1+x^m\)^2}}\[\ \(x\)'\sqrt[m]{1+x^m}-x.\(\sqrt[m]{1+x^m}\)'\] [/TEX]

[TEX]\Rightarrow F(x)=\frac{x}{\sqrt[m]{1+x^m}}+C[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \int_{0}^{1}\frac{1}{(1+x^m).\sqrt[m]{(1+x^m)}}dx=\frac{x}{\sqrt[m]{1+x^m}}\|_{0}^{1}=\frac{1}{\sqrt[m]{2}}[/TEX]

 

[tovito1]

" I = \int\limits_{a}^{b}ln[f(x)]dx
với f(x) là hàm số lượng giác
Đặt x = a+b - t "
t là gì thế bạn

 

[nguyenbahiep1]

" I = \int\limits_{a}^{b}ln[f(x)]dx
với f(x) là hàm số lượng giác
Đặt x = a+b - t "
t là gì thế bạn

t là biến mới ............................................................................................................................