Topic pt,bpt log, mũ, lũy thừa

A

apple_red

Dạng 2:[TEX]s^{ax+b}=c log_{s}{(dx+e)}+ux+v[/TEX] Với d=ac+u, e=bc+v
PP: Đặt [TEX]ay+b=log_{s}{(dx+e)}[/TEX]
Khi đó ta có hệ pt:
[TEX]\left{\begin{s^{ax+b}=c (ay+b)+ux+v}\\{ay+b=log_{s}{(dx+e)}}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\left{\begin{s^{ax+b}=c (ay+b)+ux+v (1)}\\{s^{ay+b}=dx+e (2)} [/TEX]
lấy (2)-(1) ta được [TEX]s^{ax+b}+acx=s^{ay+b}+acy[/TEX]
Xét hàm [TEX]f(t)=s^{at+b}+act[/TEX]
AD Giải phương trình:[TEX]7^{x-1}=6 log_7{(6x-5)}+1[/TEX]
 
V

vanculete

Áp dụng

đặt[TEX] y-1 =log_7 (6x-5)[/TEX]

ta có hệ

[TEX]\left{\begin{7^{y-1}=6x-5}\\{7^{x-1}=6y-5} [/TEX]

trừ vế cho vế

[TEX] 7^{ y-1} -6y =7^{x-1} -6x[/TEX]

xét hàm số [TEX] f(t)=7^t -6t +6[/TEX]

[TEX]f'(t) = ln7 7 ^t-6[/TEX]

[TEX]f''(t) =ln^27 7^t >0[/TEX] với mọi [TEX]x[/TEX]

=>
 
D

djbirurn9x

bài dễ : cho x, y, z thỏa x + y + z = 0. C/m

[TEX]\sqrt{3 + 4^x} + \sqrt{3 + 4^y} + \sqrt{3 + 4^z} \geq 6[/TEX] :D

P/s : quyenuy xài BĐT "Min - cốp - ki" nhớ c/m nha :p
 
D

djbirurn9x

thêm hệ pt, pt LTĐH lun

[TEX]51/log_4(x-1) + \frac{1}{log_{2x+1}4} = \frac{1}{2} + log_2\sqrt{x + 2}[/TEX]

[TEX]52/4^{log_22x} - x^{log_26} = 2.3^{log_24x^2}[/TEX]

[TEX]53/log_4(x - \sqrt{x^2 - 1}).log_5(x + \sqrt{x^2 + 1}) = log_{20}(x - \sqrt{x^2 - 1})[/TEX]

[TEX]54\left{\begin{x + y - \sqrt{xy} = 3 }\\{\sqrt{x + 1} + \sqrt{y + 1} = 4} [/TEX]

[TEX]55/(1+ cosx)(2+ 4^{cosx}) = 3.4^{cosx}[/TEX]

[TEX]56/2^{3x} - 6.2^x - \frac{1}{2^{3(x-1)}} + \frac{12}{2^x} = 1[/TEX]

[TEX]57/\sqrt{4 - 3\sqrt{10 - 3x}} = x - 2[/TEX]

[TEX]58/(2 - log_3x).log_{9x}3 = \frac{4}{1 - log_3x} + 1[/TEX]

[TEX]59/\left{\begin{x + log_3y = 3}\\{(2y^2 - y + 12).3^x = 81y} [/TEX]

[TEX]60/log_3(3^x - 1).log_3(3^{x + 1} - 3) = 6[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
D

djbirurn9x

Special

[TEX]61/ 2(1 - x)\sqrt{x^2 + 2x - 1} = x^2 - 2x - 1[/TEX]

[TEX]62/\left{\begin{x^3 - 5x = y^3 - 5y}\\{x^8 + y^4 = 1} [/TEX]

[TEX]63/\left{\begin{x^2(y + 1)(x + y + 1) = 3x^2 - 4x +1}\\{xy + x +1 = x^2} [/TEX]

[TEX]64/3^{x^{2}}.2^{\frac{x}{2x-1}} = 6[/TEX]


[TEX]65/\left{\begin{x^2 + 2xy +3y^2 = 9}\\{2x^2 + 2xy + y^2 = 2} [/TEX]
 
J

justforlaugh

[TEX]65/\left{\begin{x^2 + 2xy +3y^2 = 9}\\{2x^2 + 2xy + y^2 = 2}[/TEX]

Bài này dễ :D Nhân cái đầu với 2, cái sau với 9, rồi trừ cho nhau ra đc liên hệ jữa x với y. từ đó thế vào chắc là ra.
 
J

justforlaugh

[TEX]62/\left{\begin{x^3 - 5x = y^3 - 5y}\\{x^8 + y^4 = 1} [/TEX]

từ cái pt đầu chuyển vế, ta được[TEX] (x-y).(x^2+y^2+xy-5) = 0[/TEX]

Hoặc [TEX]x=y[/TEX] hoặc [TEX](x^2+y^2+xy-5) =0.[/TEX]

Từ cái phương trình thứ 2 [TEX]\Rightarrow -1 \leq x,y\leq 1\Rightarrow x^2+y^2+xy-5 < 0.[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x= y. [/TEX]
 
R

rua_it

cho x, y, z thỏa x + y + z = 0. C/m

[TEX]\sqrt{3 + 4^x} + \sqrt{3 + 4^y} + \sqrt{3 + 4^z} \geq 6[/TEX] :D

P/s : quyenuy xài BĐT "Min - cốp - ki" nhớ c/m nha :p
Theo bdt AM-GM, ta có:

[tex]3+4^x=1+1+1+4^x \geq 4.\sqrt[4]{4^x}[/tex]

[tex]\Rightarrow \sqrt{3+4^x} \geq \sqrt{4.\sqrt[4]{4^x}}=2.\sqrt[8]{4^x}[/tex]

[tex]3+4^y=1+1+1+4^y \geq 4.\sqrt[4]{4^y}[/tex]

[tex]\Rightarrow \sqrt{3+4^y} \geq \sqrt{4.\sqrt[4]{4^y}}=2.\sqrt[8]{4^y}[/tex]

[tex]3+4^z=1+1+1+4^z \geq 4.\sqrt[4]{4^z}[/tex]

[tex]\Rightarrow \sqrt{3+4^z} \geq \sqrt{4.\sqrt[4]{4^z}}=2.\sqrt[8]{4^z}[/tex]

Cộng lại, và lại theo AM-GM:D

[tex]LHS:=\sqrt{3 + 4^x} + \sqrt{3 + 4^y} + \sqrt{3 + 4^z} \geq 2.\sqrt[8]{4^x}+2.\sqrt[8]{4^y}+2.\sqrt[8]{4^z}[/tex]

[tex] =2.(\sqrt[8]{4^x}+\sqrt[8]{4^y}\sqrt[8]{4^z}) \geq 6.\sqrt[3]{\sqrt[8]{4^{x+y+z}}}=6.\sqrt[24]{4^0}=6[/tex]
 
R

rua_it

[TEX]56/2^{3x} - 6.2^x - \frac{1}{2^{3(x-1)}} + \frac{12}{2^x} = 1[/TEX]
[tex]Dat:t=2^x(DK:t>0)[/tex]

[tex]\Rightarrow 2^{3x} - 6.2^x - \frac{1}{2^{3(x-1)}} + \frac{12}{2^x} = 1[/tex]

[tex]\Leftrightarrow t^3-6t-8.\frac{1}{t^3}+\frac{12}{t}=1[/tex]

[tex]\Leftrightarrow t^3-\frac{8}{t^3}-6.(t-\frac{2}{t})=1[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (t-\frac{2}{t}).(t^2+\frac{4}{t^2}+2)-6.(t-\frac{2}{t})=1[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (t-\frac{2}{t}).((t-\frac{2}{t})^2+6)-6.(t-\frac{2}{t})=1(1)[/tex]

[tex]Dat:m=t-\frac{2}{t} \Rightarrow pt(1) \Leftrightarrow m.(m^2+6)-6m=1[/tex]

[tex]\Leftrightarrow m^3-1=0[/tex]

[tex]\Rightarrow t^2-t-2=0[/tex]

[tex]\Rightarrow 2^x=2 \Rightarrow x=1[/tex]

:-\"
 
Q

quyenuy0241

[TEX]62/\left{\begin{x^3 - 5x = y^3 - 5y}\\{x^8 + y^4 = 1} [/TEX]

từ cái pt đầu chuyển vế, ta được[TEX] (x-y).(x^2+y^2+xy-5) = 0[/TEX]

Hoặc [TEX]x=y[/TEX] hoặc [TEX](x^2+y^2+xy-5) =0.[/TEX]

Từ cái phương trình thứ 2 [TEX]\Rightarrow -1 \leq x,y\leq 1\Rightarrow x^2+y^2+xy-5 < 0.[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x= y. [/TEX]
Cách khác !

[tex] PT_2 \Rightarrow |x,y| \le 1 [/tex]

Xét Hàm số y=t^3-5t trên [-1,1]

[tex] x^3-5x=y^3-5y [/tex] có nghiệm là duy nhất!

[tex]\Rightarrow x=y[/tex]
thế [tex]PT _2 \Rightarrow [/tex] PT bậc 2
 
A

apple_red

[TEX]51/log_4(x-1) + \frac{1}{log_{2x+1}4} = \frac{1}{2} + log_2\sqrt{x + 2}[/TEX]
[TEX]52/4^{log_22x} - x^{log_26} = 2.3^{log_24x^2} (*)[/TEX]

[TEX]53/log_4(x - \sqrt{x^2 - 1}).log_5(x + \sqrt{x^2 + 1}) = log_{20}(x - \sqrt{x^2 - 1})[/TEX]
51, chuyển về log cơ số 4
52, [TEX](*) 4.2^{2log_2{x}}-6^{log_2{x}}=18.3^{log_2{x}}[/TEX]
Chia hai vế cho [TEX]3^{2log_2{x}}[/TEX]
53,
chia hai vế [TEX]log_{20}{x-\sqrt{x^{2}-1}}[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
L

linhdangvan

[TEX]65/\left{\begin{x^2 + 2xy +3y^2 = 9}\\{2x^2 + 2xy + y^2 = 2}[/TEX]

Bài này dễ :D Nhân cái đầu với 2, cái sau với 9, rồi trừ cho nhau ra đc liên hệ jữa x với y. từ đó thế vào chắc là ra.
trời đây là pt đẳng cấp cơ bản mà sao phải nghĩ lằng nhằng thế làm gì
y=0,x=0 ko là nghiệm
đặt y=tx>>>hpt
[TEX]\left{\begin{x^2(1+2t+3t^2)=9}\\{x^2(2+2t+t^2)=2} [/TEX]
chia hai pt cho nhau>>>[TEX] t=-2[[/TEX]
hoặc [TEX]t=\frac{-8}{3}[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
L

linhdangvan

[TEX]\left{\begin{x^2(y+1)(x+y+1)=3x^2-4x+1}\\{xy+x+1=x^2} [/TEX]
hpt<=>[TEX]\left{\begin{x^2(\frac{x^2-1}{x})(x+\frac{x^2-1}{x})=(x-1)(3x-1)}(1)\\{y+1=\frac{x^2-1}{x}(2)} [/TEX]
<=>từ [TEX](1)>>>>>>pt(x-1)x(x+2)=0 [/TEX]
ok!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
-------------------------------------------------------------------------------
mọi người chém tiếp câu này>>>>>>>>>>>>>>>>
[TEX]\left{\begin{\sqrt{2+2x^2y-x^4y^2}+x^4-2x^6-y^4=0}\\{\sqrt{1+(x-y)^2}+1-x^6+x^4-2x^3y^2=0} [/TEX]
 
Last edited by a moderator:
R

rua_it

[TEX]51/log_4(x-1) + \frac{1}{log_{2x+1}4} = \frac{1}{2} + log_2\sqrt{x + 2}[/TEX]
[tex]\mathrm{(DK:x>1)}[/tex]

[tex]log_4(x-1) + \frac{1}{log_{2x+1}4} = \frac{1}{2} + log_2\sqrt{x + 2}[/TEX]

[tex]\Leftrightarrow log_4(x-1)+log_4(2x+1)-log_4(x+2)=\frac{1}{2}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow log_4\frac{(x-1).(2x+1)}{x+2}=\frac{1}{2}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \frac{2x^2-x-1}{x+2}=2[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 2x^2-3x-5=0 \Rightarrow x=\frac{5}{2}[/tex]

:-??
 
R

rua_it

[TEX]58/(2 - log_3x).log_{9x}3 = \frac{4}{1 - log_3x} + 1[/TEX]
Đưa về log cơ số 3 :D

[tex](2 - log_3x).log_{9x}3 = \frac{4}{1 - log_3x} + 1[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (2-log_3x).\frac{1}{log_39x}= \frac{4}{1 - log_3x} + 1[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (2-log_3x).\frac{1}{2+log_3x}= \frac{4}{1 - log_3x} + 1(1)[/tex]

[tex]Dat:t=log_3x \Rightarrow (1) \Leftrightarrow \frac{2-t}{2+t}=1+\frac{4}{1-t}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow t^2-3t-4=0[/tex]

[tex] \Rightarrow \left[\begin{t=4}\\{t=-1}[/tex]

[tex] \Rightarrow \left[\begin{x=81}\\{x=\frac{1}{3}[/tex]
 
S

satthunvc

cho [TEX]a = lg392[/TEX] và[TEX] b =lg112[/TEX].tính[TEX] lg7[/TEX] va[TEX] lg5[/TEX] theo [TEX]a[/TEX] va [TEX]b[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
V

vanculete

hướng dẫn

[TEX]a= 2 lg7 + 3 lg2[/TEX]

[TEX]b= lg7 + 4 lg2[/TEX]


đến đây có lẽ là ổn
 
Top Bottom