Tìm nghiệm nguyên không âm của pt:
[TEX]\sqrt[]{x+\sqrt[]{x+...+\sqrt[]{x}}}=y[/TEX]
trong đó vế trái có n dấu căn
:|
đc gì bạn ?
[TEX]\begin{matrix} \underbrace{ \sqrt[]{x+\sqrt[]{x+...+\sqrt[]{x}}} } \\ n \end{matrix}=y [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \begin{matrix} \underbrace{ \sqrt[]{x+\sqrt[]{x+...+\sqrt[]{x}}} } \\ n -1 \end{matrix}=y^2-x[/TEX]
[TEX]x,y \ \in \ N \Rightarrow \begin{matrix} \underbrace{ \sqrt[]{x+\sqrt[]{x+...+\sqrt[]{x}}} } \\ n -1 \end{matrix} \ \in \ N [/TEX]
[TEX]CMTT ... \Rightarrow \sqrt{x} , \ \sqrt{x+\sqrt{x}} \in \ N[/TEX]
[TEX](x,y)=(0,0)[/TEX] là 1 nghiệm
[TEX]x,y \ \neq 0[/TEX]
[TEX](\sqrt{x}+1)^2 > (\sqrt{x+\sqrt{x}})^2 > (\sqrt{x})^2 \Rightarrow \sqrt{x}+1 > \sqrt{x+\sqrt{x}} > \sqrt{x} \Rightarrow k \ xay \ ra \ voi \ \sqrt{x} , \ \sqrt{x+\sqrt{x}} \ \in \ N[/TEX]
vậy nghiệm (x,y)=(0,0)
Cảm ơn cậu nha, tớ giải theo trường hợp riêng có dc ko vậy?:
_Dễ thấy pt có nghiệm (0;0)
a)nếu n=1 thì [TEX]\sqrt[]{x}=y\Rightarrow x=y^2 (x \geq 0)[/TEX]
Vậy phương trình có nghiệm (x;y) : [TEX](t^2;t), t \in N[/TEX]
b)nếu n=2 thì [TEX]\sqrt[]{x+\sqrt[]{x}}=y \Rightarrow y^2-x=\sqrt[]{x}[/TEX]
Đặt [TEX]\sqrt[]{x}=t, t \in N[/TEX]
\Rightarrow [TEX]t(t+1)=y^2[/TEX]
Mặt khác: [TEX]t^2 < t(t+1) <(t+1)^2 [/TEX]
\Rightarrow [TEX]t^2 < y^2<(t+1)^2[/TEX]
\Rightarrow không tồn tại t
c) nếu [TEX]n \geq 3[/TEX], ta có [TEX]\sqrt[]{x+\sqrt[]{x+...+\sqrt[]{x}}}=y^2-x[/TEX]
vế trái có n-1 dấu căn.
Đặt [TEX]y^2-x=y_1[/TEX] là số nguyên dương.
Tiếp tục làm như trên với n-2 lần, ta dc : [TEX]\sqrt[]{x+\sqrt[]{x}}=(y_{n-2})^2-x[/TEX] \Rightarrow lại trở về (b) và chỉ có nghiệm là (0;0)
