[Toán 9] Số học : Phương trình nghiệm nguyên

V

viet_tranmaininh

viet_tranmaininh said:
Hjc. Còn nhiều bài chưa giải, nhưng mình vẫn gửi vì ở các pic khác mình có gửi mà ko ai giúp cả=((=(:)
Bài 1: Cho p là 1 số nguyên tố; n là số tự nhiên khác 0; Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn:
[TEX]x(x +1)=p^{2n}.y(y+1)[/TEX]
Ngoài ra:
Bài 2:Tìm số bị chia, số chia và thương trong phép chia sau:
[TEX]\overline{abcd} : \overline{dcba}= q[/TEX]
Biết cả 3 số đều là bình phương số nguyên ( những chữ khác nhau là những số khác nhau)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Úi, hai bài trên mình rất cần lời giải, mong các bạn giúp đỡ :(:
Post 1 bài khỏi bị spam:
C/m rằng nếu [TEX]\frac{5n^2+1}{6}[/TEX] nhận giá trị nguyên thì [TEX]\frac{n}{2} ; \frac{n}{3}[/TEX] là các phân số tối giản ( n tự nhiên)
 
B

bananamiss

ohmymath said:
Mọi người sôi nổi lên nào!!!!!!!!!!!!!! \\:D/\\:D/\\:D/
Chán òm quá thế!! Còn rất nhiều bài trong pick chưa có lời giải đáp mà |-)
Mình post típ 1 bài hay nữa:
Giải py nghiệm nguyên:
[TEX]x^2+y^2+z^2=x^2y^2[/TEX]
Làm đi cấm có lười :-w =))
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

giả sử tồn tại x,y,z là nghiệm nguyên của pt

nếu x,y đều lẻ

[TEX]\Rightarrow x^2-1 \ \vdots \ 4, \ y^2-1 \ \vdots \ 4 , \ x^2y^2 \ \vdots \ 4\ \\ [/TEX]

[TEX]x,y \ le \ \Rightarrow x^2+y^2 \ chan, \ x^2y^2 \ le \ \Rightarrow z \ le \ \Rightarrow z^2-1 \ \vdots \ \ 4[/TEX]

[TEX]\Rightarrow VT \ : \ 4 \ du \ 3, \ VP \ : \ 4 \ du \ 1 \Rightarrow loai[/TEX]

nếu x chẵn, y nguyên bất kì

[TEX]\Rightarrow x^2 \ \vdots \ 4, \ \Rightarrow x^2y^2 \ \vdots \ 4 \Rightarrow y^2+z^2 \ \vdots \ 4 [/TEX]

nếu y,z đều lẻ hoặc 1 trong 2 số lẻ thì [TEX]y^2+z^2 \ \not\vdots \ 4[/TEX]

~~~> y,z đều chẵn

y chẵn, x bất kì cũng tương tự
...

[TEX]\Rightarrow x=2x_1, \ y=2y_1, \ z=2z_1[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x_1^2+y_1^2+z_1^2=4x_1^2y_1^2[/TEX]

lí luận tương tự

[TEX]\Rightarrow x_1, y_1, z_1 \ deu \ chan[/TEX]

quá trình tiếp diễn mãi và chỉ xảy ra với x=y=z=0 ^^
locxoaymgk said:

1, Giải PT nghiệm nguyên
[TEX]1+x+x^2+x^3=y^3[/TEX]
2, giải PT nghiệm nguyên
[TEX] x^3-y^3-2y^2-3y-1=0[/TEX]
3, giải PT nghiệm nguyên dương [TEX] \frac{1}{x}+[/TEX][TEX]\frac{1}{y}+[/TEX][TEX]\frac{1}{z}=1[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


1,

[TEX]\Leftrightarrow x^3 < y^3 < (x+2)^3 \\ \Leftrightarrow y^3=(x+1)^3 \Leftrightarrow ... [/TEX]

2,

[TEX]\Leftrightarrow (y-1)^3 < x^3 \leq (y+1)^3 \Leftrightarrow \left[\begin{x^3=y^3}\\{x^3=(y+1)^3[/TEX]

3,

x,y,z đều lớn hơn 1

ko mất tính tổng quát, g/s [TEX]1 \leq x \leq y \leq z[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \leq 3.\frac{1}{x} \Rightarrow 1 \leq 3.\frac{1}{x} \Leftrightarrow \left[\begin{x=2}\\{x=3[/TEX]

nếu x=2

[TEX]\frac{1}{2}=\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \leq \frac{2}{y} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{y} \geq \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left[\begin{y=2}\\{y=3}\\{y=4}[/TEX]

thay y vào, tìm z, trường hợp kia tương tự
p/s: thử nhiều nhỉ =((
 
Last edited by a moderator:
L

locxoaymgk

P/s:Công nhận bạn giỏi thiệt,cái bài đó mấy giờ mới ngẫm ra:(:(:(:(...
còn mấy bài nữa mình chưa làm này :
bài 1: xác định vị trí để PT
[TEX] \frac{1}{x^2}+[/TEX][TEX]\frac{a}{xy}+[/TEX][TEX]\frac{1}{y^2}=1[/TEX] có nghiệm nguyên dương.
Bài 2 Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của PT sau :
[TEX]y^3z^2+(y^3-2xy)z+x(x-y)=0[/TEX]
__________________________________________________________________
Mỗi ngày vài bài thui không hết bài để đố thì chết .vả lai người làm bài cho đỡ mỏi tay .......:D:D:D:D:D
_______________________________________________________________________
P/s: Giải PT nghiệm nguyên cần đòi hỏi sự thông minh và linh hoat .Nó Chẳng khác nào việc kẻ đường phụ trong hình học vậy . Cũng có khi kẻ sai đường làm cho bài toán lệch đi hương khác.Cũng có thể còn không biết đường nào mà lần không giống như CM BDT hoặc giải PT vậy........................
 
P

po_tay_com

Bài 2 này:
ta có [TEX]y^3z^2+(y^3-2xy)z+x(x-y)=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](yz-x)^2 +y(yz-x)=-y^3z^2-y^3z+y^2z^2+y^2z[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](yz-x+y/2)^2=(z+1)(1-y)y^2z+[/TEX][TEX]\frac{y^2}{4}[/TEX] (1)
để [TEX](x;y;z)[/TEX] là nghiệm của (1) ta phải có
[TEX]\frac{y^2}{4}[/TEX]\geq[TEX]y^2z(z+1)(y-1[/TEX]) \Rightarrow[TEX] y=1[/TEX]
từ đó [TEX](z-x+0.5)^2=4[/TEX]\Leftrightarrow[TEX] z=x[/TEX] và[TEX] z=x+1[/TEX]
\Rightarrow............................................
 
M

ms.sun

viet_tranmaininh said:
Úi, hai bài trên mình rất cần lời giải, mong các bạn giúp đỡ :(:
Post 1 bài khỏi bị spam:
C/m rằng nếu [TEX]\frac{5n^2+1}{6}[/TEX] nhận giá trị nguyên thì [TEX]\frac{n}{2} ; \frac{n}{3}[/TEX] là các phân số tối giản ( n tự nhiên)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

lâu lắm ko đụng đến số học, không biết làm bài này có đúng không nữa :-<
[TEX]\frac{5n^2+1}{6} \in Z \Rightarrow (5n^2+1) \vdots 6 \Leftrightarrow 6n^2-n^2+1 {\vdots}6[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (1-n^2)\vdots 6 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow 1-n^2=6a \in Z[/TEX]
[TEX] \Rightarrow n^2= 1-6a[/TEX]
vì 1-6a lẻ, 2 chẵn \Rightarrow [TEX](n^2;2)=1 \Rightarrow (n;2)=1 ( 2 \in P)[/TEX]
vì [TEX]1 \notvdots 3 , 6a \vdots 3 \Rightarrow (n^2;3)=1 \Rightarrow (n;3)=1 ( 3 \in P)[/TEX]
\Rightarrow đpcm
 
M

ms.sun

viet_tranmaininh said:
Bài 2:Tìm số bị chia, số chia và thương trong phép chia sau:
[TEX]\overline{abcd} : \overline{dcba}= q[/TEX]
Biết cả 3 số đều là bình phương số nguyên ( những chữ khác nhau là những số khác nhau)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

ngại gõ mũ quá :-<
vì 3 số đều là số chính phương nên ta có:
[TEX]\overline{abcd}=m^2,\overline{dcba}=n^2, q \in {1;4;9}[/TEX]
[TEX](*) q=1 \Rightarrow \overline{abcd}=\overline{dcba} (loai)[/TEX]
[TEX] (*) q=4 \Rightarrow \overline{abcd}=4\overline{dcba}[/TEX]
[TEX] \Rightarrow m^2=4n^2 \Rightarrow m=2n [/TEX]
[TEX] \overline{abcd} \leq 9999 \Rightarrow \overline{dcba} \leq 2499 \Rightarrow d\in{1;2} [/TEX]
d=1 \Rightarrow m tận cùng là 1 (loại) vì m phải chẵn
d=2 \Rightarrow loại vì [TEX] \overline{abcd}[/TEX] chính phương

[TEX](*) q=9 \Rightarrow \overline{abcd}=9\overline{dcba}[/TEX]
[TEX] \Rightarrow m=3n[/TEX]
[TEX] \overline {abcd} \leq 9999 \Rightarrow \overline{dcba} \leq 1111[/TEX]
[TEX] \Rightarrow d=1[/TEX] \Rightarrow m tận cùng là 1 hoặc 9
\Rightarrow n tận cùng là 7 hoặc 3
\Rightarrow a=9
ta có:
[TEX]\overline{9bc1}=9.\overline{1cb9}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow 9000+\overline{bc}.10+1=9(1000+\overline{cb}.10+9)[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow 81c=b-8[/TEX]
[TEX] \Rightarrow c=0,b=8[/TEX]
vậy số cần tìm là : [TEX] 9801;1089;9[/TEX]

bài mình dài quá :((
 
Last edited by a moderator:
B

bboy114crew

ohmymath said:
1. tìm tất cả các số tự nhiên : [TEX]2 <x <y<z<t <u[/TEX] thỏa mãn :
[TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+ \frac{1}{u} =1[/TEX]
2. tìm tất cả các số tự nhiên n;z thỏa mãn [TEX]2^n +12^2 =z^2 -3^2[/TEX]
3. tìm tất cả các số có 5 chữ số sao cho số đó bằng 45 lần tích các chữ số của nó
4. giải phương trình nghiệm nguyên [TEX]x(1+x+x^2)=4y(y+1)[/TEX]
5. giải phương trình nghiệm nguyên [TEX]4y^2=2+\sqrt{199-x^2-2x}[/TEX]
6. với 8 số : 0;1;2;3;4;5;6;7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 3
7;cho số tự nhiên , tìm số tự nhiên phụ thuộc vào sao cho với mọi , tồn tại số tự nhiên gồm chữ số mà chữ số bất kì của đều lập thành một số nguyên tố( không kể thứ tự)
ví dụ: với ta có thể chọn và số đó là 137. số này có 13;17;31;37;73;71 đều là các số nguyên tố

Mấy bài này hơi khó :-s

Số học :http://trungtuan.wordpress.com/2010/06/02/topic-97/
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
đề này ở trong THTT!
Làm mấy bài !
4.ta có:
[TEX](x+1)(x^2+1)=(2y+1)^2[/TEX]
ta thấy 2y+1 là số lẻ \Rightarrow x+1 ;[TEX]x^2+1[/TEX]là số lẻ
gọi d là ước chung của x+1 ;[TEX]x^2+1[/TEX]
ta có:
[TEX]x+1 \vdots d \Rightarrow x^2-1 \vdots d[/TEX]
[TEX]x^2+1 \vdots d[/TEX]
\Rightarrow [TEX]2 \vdots d[/TEX]
mà d lẻ \Rightarrow d=1 \Rightarrow x+1 và [TEX]x^2+1[/TEX] nguyên tố cùnh nhau \Rightarrow [TEX]x^2+1[/TEX] là số chính phương mà [TEX]x^2[/TEX] là số chính phương \Rightarrow x=0 \Rightarrow y=0
5 .
ta có:
[TEX]2+\sqrt{200-(x+1)^2} \leq 2+ \sqrt{200} < 17 \Rightarrow 4y^2 \leq 16 \Rightarrow y^2 \leq 4[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
L

locxoaymgk

locxoaymgk said:
P/s:Công nhận bạn giỏi thiệt,cái bài đó mấy giờ mới ngẫm ra:(:(:(:(...
còn mấy bài nữa mình chưa làm này :
bài 1: xác định vị trí để PT
[TEX] \frac{1}{x^2}+[/TEX][TEX]\frac{a}{xy}+[/TEX][TEX]\frac{1}{y^2}=1[/TEX] có nghiệm nguyên dương.
Bài 2 Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của PT sau :
[TEX]y^3z^2+(y^3-2xy)z+x(x-y)=0[/TEX]
__________________________________________________________________
Mỗi ngày vài bài thui không hết bài để đố thì chết .vả lai người làm bài cho đỡ mỏi tay .......:D:D:D:D:D
_______________________________________________________________________
P/s: Giải PT nghiệm nguyên cần đòi hỏi sự thông minh và linh hoat .Nó Chẳng khác nào việc kẻ đường phụ trong hình học vậy . Cũng có khi kẻ sai đường làm cho bài toán lệch đi hương khác.Cũng có thể còn không biết đường nào mà lần không giống như CM BDT hoặc giải PT vậy........................
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
bài 1 ko có ai làm ha:
đề đúng mà???.............................
 
G

garethbale96

Tìm các nghiệm nguyên của pt

[TEX]x^2+y^2=2011^{2011^k+1}(10-z)[/TEX]
cái này hơi khó cần sd định lí fermat nhỏ
 
B

bonoxofut

bananamiss said:
tìm nghiệm tự nhiên

[TEX]x^2-2y^2=1[/TEX]







p/s: khuya, buồn ngủ :)|
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bài này là bài bạn nghĩ ra hay lấy đâu ra vậy? Có vẻ như bài này không có hữu hạn nghiệm. Một số nghiệm đầu tiên của nó là:

x = 1; y = 0
x = 3; y = 2
x = 17; y = 12
x = 99; y = 70
x = 577; y = 408
x = 3363; y = 2378
x = 19601; y = 13860
x = 114243; y = 80782
...

Mình mò được bằng tay đến cặp nghiệm thứ 3; các nghiệm sau mình nhờ sự trợ giúp của CNTT.

Bài này có một tính chất khá lý thú, là nếu bạn đem chia chỉ số y của cặp nghiệm sau, cho chỉ số y của cặp nghiệm đứng trước, thì dường như dãy này dần hội tụ về một số nào đó xấp xỉ bằng 5.8284...

12/2 = 6;
70/12 = 5.833333333333333;
408/70 = 5.828571428571428;
2378/408 = 5.82843137254902;
13860/2378 = 5.82842724978974;
80782/13860 = 5.828427128427128;
....

Cả dãy tỷ số bên x cũng vậy. Nó dường như cũng hội tụ về giới hạn của dãy tỷ số của y.

Bài này chắc chắn không nằm trong phạm vi lớp 12 đổ lại (có thể kể luôn đến ĐH đổ lại). Cái này sure luôn. :D

Thân,

----------------

P.S: Có bạn nào tìm ra được cái số mà dãy trên hội tụ về không? Có ai đã từng bắt gặp cái số đó chưa? :-?
 
Last edited by a moderator:
G

girltoanpro1995

1) Tìm x,y nguyên dương thỏa: [TEX]1003x+2y=2008[/TEX]
2) Trong mặt phẳng cho 2009 điểm, sao cho 3 điểm bất kì trong chúng là 3 đỉnh của tam giác có diện tích ko lớn hơn1. Prove: all những điểm đã cho nằm trong 1 tam giác có diện tích ko lớn hơn 4.
3) Rút:
[TEX]A=\frac{\sqrt{7+\sqrt{5}}+\sqrt{7-\sqrt{5}}}{\sqrt{7+2\sqrt{11}}}[/TEX]
4) Cho a,b >0 thỏa: [TEX]a^2+2b^2\leq 3c^2[/TEX]
Prove:[TEX]\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{3}{c}[/TEX]
5)Tìm MinY biết:
[TEX]y=\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}[/TEX]
6) Cho x,y,z >2 thỏa: [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1[/TEX]
Prove: [TEX](x-2)(y-2)(z-2)\leq 1[/TEX]
 
Q

quan8d

locxoaymgk said:
P/s:Công nhận bạn giỏi thiệt,cái bài đó mấy giờ mới ngẫm ra:(:(:(:(...
còn mấy bài nữa mình chưa làm này :
bài 1: xác định vị trí để PT
[TEX] \frac{1}{x^2}+[/TEX][TEX]\frac{a}{xy}+[/TEX][TEX]\frac{1}{y^2}=1[/TEX] có nghiệm nguyên dương.
Bài 2 Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của PT sau :
[TEX]y^3z^2+(y^3-2xy)z+x(x-y)=0[/TEX]
__________________________________________________________________
Mỗi ngày vài bài thui không hết bài để đố thì chết .vả lai người làm bài cho đỡ mỏi tay .......:D:D:D:D:D
_______________________________________________________________________
P/s: Giải PT nghiệm nguyên cần đòi hỏi sự thông minh và linh hoat .Nó Chẳng khác nào việc kẻ đường phụ trong hình học vậy . Cũng có khi kẻ sai đường làm cho bài toán lệch đi hương khác.Cũng có thể còn không biết đường nào mà lần không giống như CM BDT hoặc giải PT vậy........................
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
1. [TEX]\leftrightarrow x^2+axy+y^2 = x^2y^2[/TEX]
[TEX](x,y) = d \rightarrow x = d.{x}_{1} , y = d.{y}_{1}[/TEX]
[TEX]\rightarrow {x}_{1}^2+a{x}_{1}{y}_{1}+{y}_{1}^2 = {x}_{1}^2{y}_{1}^2[/TEX]
[TEX]\rightarrow {x}_{1}^2[/TEX] chia hết [TEX]{y}_{1} \rightarrow {y}_{1} = 1[/TEX]
[TEX]TT : {x}_{1} = 1[/TEX]
[TEX]\rightarrow x = y \rightarrow (a+2)x^2 = x^4 \leftrightarrow a+2 = x^4[/TEX]
Điều kiện là a+2 là số chính phương
 
G

girltoanpro1995

7) Tính: [TEX]A=(\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}})^3[/TEX]
8)Tìm n biết: [TEX]n\in N*; n+17 vs n-72[/TEX] là 2 số chính phương.
9)Cho:[TEX]x;y;x\neq 0;\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0[/TEX]
Tính:[TEX]A=\frac{xy}{z^2}+\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{y^2}[/TEX]
10)Cho x,y,z thỏa: [TEX]x+y+z+xy+yz+zx=6[/TEX]
Prove:[TEX]x^2+y62+z^2\geq 3[/TEX]
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom