[Toán 9] Số học : Phương trình nghiệm nguyên

[ms.sun]

1) Tìm x,y nguyên dương thỏa: [TEX]1003x+2y=2008[/TEX]

]

từ phương trình \Rightarrow [TEX] x=2k (k\in Z)[/TEX]
vì [TEX] x \in Z+ \Rightarrow k \in Z+[/TEX]
[TEX]pt \Rightarrow 1003k+y=1004 [/TEX]
ta có: [TEX] 1003 \leq 1003k <1004 \Rightarrow k=1 \Rightarrow \left{\begin{x=2}\\{y=1}[/TEX]

 

[girltoanpro1995]

11) Cho [TEX]x,y,z>0[/TEX]
Prove:[TEX]\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}\geq xy+yz+xz[/TEX]
12)Tìm [TEX]a \in N[/TEX] để [TEX]x^2-a^2x+a+1=0[/TEX] có nghiệm nguyên.

 

[viet_tranmaininh]

11) Cho [TEX]x,y,z>0[/TEX]
Prove:[TEX]\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}\geq xy+yz+xz[/TEX]
12)Tìm [TEX]a \in N[/TEX] để [TEX]x^2-a^2x+a+1=0[/TEX] có nghiệm nguyên.

Bài 1: Dương nên Cô-si:
[TEX]\frac{x^3}{y}+xy \geq2x^2[/TEX]
Tương tự hai cái còn lại. Ta đc
[TEX]\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}\geq 2(x^2+y^2+z^2)-(xy+yz+xz)\geq xy+yz+xz[/TEX]
Dấu "="\Leftrightarrow x=y=z
Bài 2: [TEX]\Delta=k^2[/TEX].........................

 

[viet_tranmaininh]

1) Tìm x,y nguyên dương thỏa: [TEX]1003x+2y=2008[/TEX]
2) Trong mặt phẳng cho 2009 điểm, sao cho 3 điểm bất kì trong chúng là 3 đỉnh của tam giác có diện tích ko lớn hơn1. Prove: all những điểm đã cho nằm trong 1 tam giác có diện tích ko lớn hơn 4.
3) Rút:
[TEX]A=\frac{\sqrt{7+\sqrt{5}}+\sqrt{7-\sqrt{5}}}{\sqrt{7+2\sqrt{11}}}[/TEX]
4) Cho a,b >0 thỏa: [TEX]a^2+2b^2\leq 3c^2[/TEX]
Prove:[TEX]\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{3}{c}[/TEX]
5)Tìm MinY biết:
[TEX]y=\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}[/TEX]
6) Cho x,y,z >2 thỏa: [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1[/TEX]
Prove: [TEX](x-2)(y-2)(z-2)\leq 1[/TEX]

Bài 1, cách khác: Do x nguyên dương nên 1003x< 2008
\Rightarrowx \leq2
\Rightarrow x= 1 hoặc 2. Sau đó thế vô tìm y.
bài 5: [TEX]A^2= 2( x^2+1+ \sqrt{x^4+x^2+1})\geq4[/TEX]
\Rightarrow GTNN của A=2 khi x=0

 

[01263812493]

Tồn tại bao nhiêu bộ số tự nhiên x,y,z ( x<y<z) sao cho tích xyz=10000
:|

 

[vuotlensophan]

tim nghiem nguyen

[TEX]{x}^{2}-xy+{y}^{2}=2x-3y-2[/TEX]

 

[thatki3m_kut3]

[TEX]x^2-xy+y^2=2x-3y-2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^2-xy-2x+y^2+3y+2=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^2-(y+2)x+y^2+3y+2=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\triangle'=(y+2)^2-4(y^2+3y+2)=-3y^2-8y-4[/TEX]
Để pt có nghiệm thì [TEX]\triangle'[/TEX]\geq0
\Rightarrow[TEX]-3y^2-8y-4\geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]3y^2+8y+4\leq 0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]3(y+\frac{4}{3})^2\leq \frac{4}{3}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](y+\frac{4}{3})^2\leq \frac{4}{9}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]|y+\frac{4}{3}|\leq \frac{2}{3}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX] -\frac{2}{3} \leq y+\frac{4}{3} \leq \frac{2}{3}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX] -2\leq y \leq \frac{-2}{3}[/TEX]
\Leftrightarrowy=-2 hoặc y=-1
Thay vào tìm đc x..........

 

[girltoanpro1995]

[TEX]{x}^{2}-xy+{y}^{2}=2x-3y-2[/TEX]

Nhân 4 cho 2 vế ta có:
[TEX](1)\Leftrightarrow (2x-y-2)^2+(...)^2=....[/TEX]
Vì [TEX](2x-y-2)^[/TEX] làm mất hết ẩn x => tự đc chứ )

 

[bananamiss]

Tồn tại bao nhiêu bộ số tự nhiên x,y,z ( x<y<z) sao cho tích xyz=10000
:|

[TEX] x<y<x \Rightarrow xyz>x^3\Leftrightarrow 10000>x^3 \Leftrightarrow x < 22[/TEX]

10000 chia hết cho những số nhỏ hơn 22 là 1,2,4,5,8,10,16,20

[TEX] \Rightarrow x=1,2,4,8,10,16,20[/TEX]

[TEX] x=5 \Rightarrow yz=2000, \ y < z \Rightarrow y <45[/TEX]

2000 chia hết cho những số nhỏ hơn 45 và lớn hơn 5 là 40,25,20,16,10,8

~~~> tr/h này có 6 bộ số

các tr/h kia tương tự ( chỉ phải thử 7 lần nữa thôi mà ) )

x=8, thêm 2 bộ số

x=10, thêm 1 bộ số

x=16,20, k có bộ nào

x=1,2,4, chưa thử :">

p/s: dài quá =((, cách tách ra thừa số nguyên tố thì biết làm ntn đây :|

 

[asroma11235]

Giải các phương trình nghiệm nguyên:
a)[TEX]x^3-5y^3-25z^3=0[/TEX]
[TEX]b)x^2-7y^2=0[/TEX]
[TEX]c)x^2+y^2+z^2=2xyz[/TEX]
[TEX]d)x^4+y^4=11z^4[/TEX]

 

[bananamiss]

Giải các phương trình nghiệm nguyên:
a)[TEX]x^3-5y^3-25z^3=0[/TEX]
[TEX]b)x^2-7y^2=0[/TEX]
[TEX]c)x^2+y^2+z^2=2xyz[/TEX]
[TEX]d)x^4+y^4=11z^4[/TEX]

a,

[TEX]\Rightarrow x^3 \ \vdots \ 5 \Rightarrow x \ \vdots \ 5 \Rightarrow x=5k[/TEX]

[TEX]pt \Leftrightarrow 25k^3-y^3-5z^3 = 0 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow y^3 \ \vdots \ 5 \Rightarrow y \ \vdots \ 5 \Rightarrow y=5q[/TEX]

[TEX]pt \Leftrightarrow 5k^3-25q^3-z^3 = 0[/TEX]

[TEX] z^3 \ \vdots \ 5 \Rightarrow z \ \vdots \ 5 \Rightarrow z=5t[/TEX]

[TEX]pt \Leftrightarrow k^3-5q^3-25t^3 = 0[/TEX]

~~~>... quá trình tiếp diễn mãi, chỉ xảy ra khi x=y=z=0

b,giống câu a )

c,

[TEX]x^2+y^2+z^2=2xyz[/TEX]

[TEX]x^2+y^2+z^2[/TEX] chẵn ~~~.> trong các số x,y,z có chẵn số các số lẻ

nếu có 2 số lẻ
~~~> VT k chia hết cho 4, Vp chia hết cho 4 (do có 1 số chẵn)

~~~> k có số nào lẻ

[TEX]x=2x_1 \\ y=2y_1 \\ z=2z_1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x_1^2+y_1^2+z_1^2=4xyz[/TEX]

tương tự, [TEX]x_1,\ y_1,\ z_1[/TEX] đều chẵn

~~~>tiếp diễn mãi ~~~> x=y=z=0 là nghiệm duy nhất
d,

áp dụng bài toán
cho p là snt có dạng 4k+3

cho [TEX]x,y \ \ \in \ Z , \ x^2+y^2 \ \vdots \ p [/TEX]

CMR [TEX]x \ \vdots \ p, \ y \ \vdots \ p[/TEX]
(chứng minh dựa vào fecma nhỏ )

note :11 có dạng 4k+3 , rồi tương tự câu a , ok ?

 

[quan8d]

Tìm n tự nhiên và p nguyên tố thoả mãn : [TEX]{n}^{11}+{n}^{6} = p+1[/TEX]

 

[neverquit]

Có ai có thể giảng cho mình các cách giải phương trình nghiệm nguyên được không ?? Giúp mình đi mà

 

[garethbale96]

Tìm số nguyên dương n sao cho 2n+2003 và 3n+2005 đều là các số chính phương

 

[duynhan1]

[tex] \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2011} [/tex]


Bí

 

[asroma11235]

1)Có tồn tại hay không hai số nguyên dương x và y sao cho [TEX]x^2+y[/TEX] và [TEX]y^2+x[/TEX] đều là số chính phương?
2)Chứng minh rằng không có số chính phương nào viết được dưới dạng [TEX]2^p+3^p[/TEX] trong đó p là số nguyên tố
3)Tìm các số nguyên x để PT sau là số chính phương:
[TEX]x^4+x^3+x^2+x+1[/TEX]

 

[harrypham]

1)Có tồn tại hay không hai số nguyên dương x và y sao cho [TEX]x^2+y[/TEX] và [TEX]y^2+x[/TEX] đều là số chính phương?
2)Chứng minh rằng không có số chính phương nào viết được dưới dạng [TEX]2^p+3^p[/TEX] trong đó p là số nguyên tố
3)Tìm các số nguyên x để PT sau là số chính phương:
[TEX]x^4+x^3+x^2+x+1[/TEX]

1. Do x,y có vai trò như nhau nên giả sử [TEX]x\ge y[/TEX] thì

[TEX](x+1)^2=(x^2+2x+1)\geq x^2+y\geq x^2[/TEX]
​

Do đó [TEX]x^2+y\notin \mathbb Z^2[/TEX]

2.Có [TEX] p=2 [/TEX] thì [TEX]2^p+3^p=13[/TEX] Ko là SCP

Xét p lẻ.Dễ thấy [TEX]p\geq 3[/TEX] thì [TEX]2^p[/TEX] chia hết cho [TEX]8[/TEX].Mà

Xét mod [TEX]8[/TEX] thì [TEX]3^p=3^{2k+1}=3.9^k\equiv 3[/TEX] nên [TEX]2^p+3^p[/TEX] chia 8 dư 3 nên [TEX]a^2[/TEX] chia [TEX]8[/TEX] dư [TEX]3[/TEX] vô lý bởi vì số chính phương chia [TEX]3[/TEX] dư [TEX]0,1,4[/TEX].

3.Kẹp[HINT]

[/HINT]

 

[ththbode]

Có ai có thể giảng cho mình các cách giải phương trình nghiệm nguyên được không ?? Giúp mình đi mà

Hây sao mà có cách giải cụ thể đựơc mỗi bài mỗi khác
Có nhiều PT ko mẫu mực lắm
!!!!!!!!!!?????

 

[linhhuyenvuong]

tìm nghiệm tự nhiên

[TEX]x^2-2y^2=1[/TEX]

____________________
Đây là phương trình Pell.
Có nghiệm tầm thường x=1;y=0
Và vô số nghiệm không tầm thường!
VD; x=3;y=2
P/s:em chỉ biết cóvaayj!

 

[linhhuyenvuong]

7) Tính: [TEX]A=(\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}})^3[/TEX]
8)Tìm n biết: [TEX]n\in N*; n+17 vs n-72[/TEX] là 2 số chính phương.
9)Cho:[TEX]x;y;x\neq 0;\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0[/TEX]
Tính:[TEX]A=\frac{xy}{z^2}+\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{y^2}[/TEX]
10)Cho x,y,z thỏa: [TEX]x+y+z+xy+yz+zx=6[/TEX]
Prove:[TEX]x^2+y62+z^2\geq 3[/TEX]

________________________
8,
[TEX]n+17=k^2[/TEX]
[TEX]n-72=h^2[/TEX]
\Rightarrow[TEX]k^2-h^2=n+17-n+72=89=1.89[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](k+h)(k-h)=1.89[/TEX]
mà [TEX]k+h > k-h[/TEX]
\Rightarrow[TEX]k+h=98 ; k-h=1[/TEX]
\Rightarrow[TEX]k=........; h=.......[/TEX]
9,áp dụng:[TEX]x+y+z =0 [/TEX]\Rightarrow[TEX]x^3+y^3+z^3=3xyz[/TEX]
Co: [TEX]A=\frac{xy}{z^2}+\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{y^2}[/TEX]
[TEX]A=xyz(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}) (1)[/TEX]

[TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}[/TEX]
Thay vào (1) dc [TEX]A=3[/TEX]