Toán [Toán 9] Phương trình, hệ phương trình (ver 2)

[angleofdarkness]

Bài 5
$x+\sqrt{x^2+16}=\dfrac{40}{\sqrt{x^2+16}}$

$\Longrightarrow (\dfrac{40}{\sqrt{x^2+16}}-x)^2=x^2+16$

$\Longleftrightarrow \dfrac{1600}{x^2+16}+x^2-\dfrac{80x}{\sqrt{x^2+16}}=x^2+16$

$\Longleftrightarrow \dfrac{-100x^2}{x^2+16}-\dfrac{80x}{\sqrt{x^2+16}}+84=0$

$\Longrightarrow \left[\begin{matrix}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+16}}=\dfrac{3}{5} \\ \dfrac{x}{\sqrt{x^2+16}}=-\dfrac{7}{5}(L)\end{matrix}\right.$

$\Longrightarrow 5x=3\sqrt{x^2+16}$

$\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \ge 0\\25x^2=9(x^2+16) \end{matrix}\right. \Longrightarrow x=3$

Cách 2:

Pt \Leftrightarrow $x\sqrt{x^2+16}+x^2+16=40$

\Leftrightarrow $x\sqrt{x^2+16}=24-x^2$

\Leftrightarrow $x^2(x^2+16)=(24-x^2)^2$

\Leftrightarrow $64x^2=576$ \Leftrightarrow x = -3; 3.

Thử lại chọn x = 3.

 

[angleofdarkness]

B3: $2\sqrt{2x+4}+4\sqrt{2-x}=\sqrt{9x^2+16}$

ĐK $|x| \le 2$

Bình phương lên và biến đổi đc:$$(2\sqrt{2(4-x^2)}+4)^2=(x+4)^2$$

P/S: Hơi dài =)) =))

 

[angleofdarkness]

Tổng kết lại qua 8 bài trên:

$P^2$ chính hay làm với dạng bài giải pt vô tỉ là bình phương, lập phương ... nói chung là phá căn thức hai vế

Đây là $p^2$ khá phổ biến, chú ý trong $p^2$ này là ĐKXĐ và ĐK k âm (hoặc dương) ở hai vế để khi bình phương tránh xuất hiện nghiệm ngoại lai (giống bài VD B5)

 

[angleofdarkness]

B9: $x=\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}$

B10: $\sqrt[3]{25x(2x^2+9)}=4x+\dfrac{3}{x}$

B11: $(4x-1)\sqrt{x^2+1}=2x^2+2x+1$

B12: $\sqrt{25-x^2}-\sqrt{10-x^2}=3$

B13: $13\sqrt{x-1}+9\sqrt{x+1}=16x$

 

[toiyeu9a3]

Bài 12: Đk: $x^2$ \leq 10
Đặt $\sqrt{25 - x^2} = a$; $\sqrt{10 - x^2} = b$ 9 a; b \geq 0)
Ta có: a - b = 3 và $a^2 - b^2 = 15$
\Leftrightarrow a - b = 3 và a + b =5

 

[ducdao_pvt]

$13\sqrt{x-1}+9\sqrt{x+1}=16x(13)$

$ ĐK: x\geq1 $

$Đặt $\sqrt{x-1}=a;\sqrt{x+1}=b$

\Rightarrow $(13):13a+9b=8(a^2+b^2)(1)$

Ngoài ra: $a^2-b^2=-2(2)$

$Kết hợp (1),(2)$ \Rightarrow $a,b$

P.s: Topic này hay vậy mà hẩm hiu quá, thật là đáng tiếc mà

@angle: vấn đề chính là vậy đấy chị, vậy nên em phải đi pr suốt á (

 

[xuanquynh97]

B10: $\sqrt[3]{25x(2x^2+9)}=4x+\dfrac{3}{x}$

Làm bài trước khi đi thi nào (Thi Lí Hóa mà làm Toán ) )

ĐK $x \not=0$

Ta có $x.\sqrt[3]{25x(2x^2+9)}=4x^2+3$

$\sqrt[3]{5x^2.5x^2.(2x^2+9)}$ \leq $\dfrac{5x^2+5x^2+2x^2+9}{3}=4x^2+3$

Dấu bằng xảy ra khi $5x^2=2x^2+9$ \Leftrightarrow $x = \pm\sqrt{3}$

 

[xuanquynh97]

B11: $(4x-1)\sqrt{x^2-1}=2x^2+2x+1$

Mấy topic bên $\sqrt{MF}$ có cả chục bài

Bên đó topic HPT,PT,BPT khá là hay :|

Mod bên mình mà mỗi người xử lý một chuyên môn riêng chắc có hiệu quả hơn

Đặt $\sqrt{x^2+1}=a$ thì \Rightarrow $x^2=a^2−1.$

Thay vào phương trình ta được: $2(a^2−1)+2x+1=(4x−1)a$

Xem phương trình là phương trình bậc 2 ẩn a

Tính $\Delta$ theo x rồi tìm a theo x là xong

 

[chonhoi110]

B9: $x=\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}$

B11: $(4x-1)\sqrt{x^2-1}=2x^2+2x+1$

Bài 11
Đk : $x \ge 1 ; x \le -1$

Đặt $4x-1=u ; \sqrt{x^2-1}=v; (v \ge 0)$

$\Longrightarrow uv=2v^2+\dfrac{1}{2}u+\dfrac{7}{2}$

.............................
Èo, nghiệm quá xấu chị ới có sai đề ko nhỉ :| Ai đủ can đảm ấn vào coi nghiệm :v ~~> Đây

Bài 9: Đk: $x > 0$

pt $\Longrightarrow (x-\sqrt{x-\dfrac{1}{x}})^2=1-\dfrac{1}{x}$

$\Longleftrightarrow x^2+x-\dfrac{1}{x}-2x\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}=1-\dfrac{1}{x}$

$\Longleftrightarrow x-\dfrac{1}{x}-2x\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}+1=0$

$\Longleftrightarrow \sqrt{x-\dfrac{1}{x}}=1 \Longrightarrow x= \dfrac{1}{2}(1+\sqrt{5})$

 

[angleofdarkness]

Bài 11
Đk : $x \ge 1 ; x \le -1$

Đặt $4x-1=u ; \sqrt{x^2-1}=v; (v \ge 0)$

$\Longrightarrow uv=2v^2+\dfrac{1}{2}u+\dfrac{7}{2}$

.............................
Èo, nghiệm quá xấu chị ới có sai đề ko nhỉ :| Ai đủ can đảm ấn vào coi nghiệm :v ~~> Đây

À ừ; đã check

..............................................

 

[chonhoi110]

B11: $(4x-1)\sqrt{x^2+1}=2x^2+2x+1$

Giải lại bài 11 )

Đặt $u=4x-1 ; v=\sqrt{x^2+1} ;(v \ge 1)$

pt $\Longleftrightarrow uv=2v^2+\dfrac{1}{2}u-\dfrac{1}{2}$

$\Longleftrightarrow (2v-1)(2v-u+1)=0$

$\Longleftrightarrow \left[\begin{matrix}v=\dfrac{1}{2} (L)\\ 2v-u+1=0\end{matrix}\right.$

$\Longrightarrow 2\sqrt{x^2+1}-4x+1+1=0$

$\Longleftrightarrow \sqrt{x^2+1}=2x-1$

$\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \ge \dfrac{1}{2}\\x^2+1=(2x-1)^2 \end{matrix}\right. \Longrightarrow x=\dfrac{4}{3}$

 

[forum_]

Bài 11
Đk : $x \ge 1 ; x \le -1$

Đặt $4x-1=u ; \sqrt{x^2-1}=v; (v \ge 0)$

$\Longrightarrow uv=2v^2+\dfrac{1}{2}u+\dfrac{7}{2}$

.............................
Èo, nghiệm quá xấu chị ới có sai đề ko nhỉ :| Ai đủ can đảm ấn vào coi nghiệm :v ~~> Đây

Bài 9: Đk: $x > 0$

pt $\Longrightarrow (x-\sqrt{x-\dfrac{1}{x}})^2=1-\dfrac{1}{x}$

$\Longleftrightarrow x^2+x-\dfrac{1}{x}-2x\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}=1-\dfrac{1}{x}$

$\Longleftrightarrow x-\dfrac{1}{x}-2x\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}+1=0$

$\Longleftrightarrow \sqrt{x-\dfrac{1}{x}}=1 \Longrightarrow x= \dfrac{1}{2}(1+\sqrt{5})$

9/ Con Chồn này viết ĐKXĐ sai rồi, có cách khác ngắn hơn mình mới nghĩ đc


ĐK: x \geq 1

Viết lại PT và áp dụng $Cauchy$ này:

$VP$ = $\sqrt[]{x- \dfrac{1}{x}} + \sqrt[]{1- \dfrac{1}{x}}$ = $\sqrt[]{1.(x- \dfrac{1}{x}}) + \sqrt[]{\dfrac{1}{x}.(x-1)}$

\leq $\dfrac{1+x-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+x-1}{2}$ = $x$ (= $VT$)

Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi $x = \dfrac{1 \pm \sqrt[]{5}}{2}$

Đối chiếu ĐK chọn $x = \dfrac{1 + \sqrt[]{5}}{2}$

Thử lại thỏa mãn

p/s: hình như đây là đề thi vô địch Toán cộng hòa Yugoslavia (Nam Tư) năm 1977, đa số lời giải đều thực hiện theo phép biến đổi tương đương !!!

 

[forum_]

$13\sqrt{x-1}+9\sqrt{x+1}=16x(13)$

$ ĐK: x\geq1 $

$Đặt $\sqrt{x-1}=a;\sqrt{x+1}=b$

\Rightarrow $(13):13a+9b=8(a^2+b^2)(1)$

Ngoài ra: $a^2-b^2=-2(2)$

$Kết hợp (1),(2)$ \Rightarrow $a,b$

P.s: Topic này hay vậy mà hẩm hiu quá, thật là đáng tiếc mà

@angle: vấn đề chính là vậy đấy chị, vậy nên em phải đi pr suốt á (

Cách khác, và tiếp tục BĐT

ĐK: x \geq 1

Áp dụng BĐT $BCS$:

$VT^2 = (\sqrt[]{13}. \sqrt[]{13x-13} + 3\sqrt[]{3}.\sqrt[]{3x+3})^2$

\leq $(13+27)(13x-13+3x+3) = 40(16x-10)$

Áp dụng tiếp AM-GM:

$40(16x-10) = 4.10.(16x-10)$ \leq $4. (\dfrac{10+16x-10}{2})^2 =(16x)^2 = VP^2$

\Rightarrow VT \leq VP.

Dấu đẳng thức xảy ra khi chỉ khi:

$\dfrac{\sqrt[]{13x-13}}{\sqrt[]{13}} = \dfrac{\sqrt[]{3x+3}}{3\sqrt[]{3}}$

và : 10=16x-10

$\iff$ vô nghiêm

Vậy PT đã cho vô nghiệm.

 

[forum_]

Hết đề rồi, mình góp vui 1 bài vậy

Không khó lắm

GPT:

$\sqrt[]{x^2+12} + 5 = 3x + \sqrt[]{x^2+5}$

Đề thi HSG TP. Hà Nội , năm mấy thì quên rồi .

 

[angleofdarkness]

$13\sqrt{x-1}+9\sqrt{x+1}=16x(13)$

$ ĐK: x\geq1 $

$Đặt $\sqrt{x-1}=a;\sqrt{x+1}=b$

\Rightarrow $(13):13a+9b=8(a^2+b^2)(1)$

Ngoài ra: $a^2-b^2=-2(2)$

$Kết hợp (1),(2)$ \Rightarrow $a,b$

P.s: Topic này hay vậy mà hẩm hiu quá, thật là đáng tiếc mà

@angle: vấn đề chính là vậy đấy chị, vậy nên em phải đi pr suốt á (

Cách khác, và tiếp tục BĐT

ĐK: x \geq 1

Áp dụng BĐT $BCS$:

$VT^2 = (\sqrt[]{13}. \sqrt[]{13x-13} + 3\sqrt[]{3}.\sqrt[]{3x+3})^2$

\leq $(13+27)(13x-13+3x+3) = 40(16x-10)$

Áp dụng tiếp AM-GM:

$40(16x-10) = 4.10.(16x-10)$ \leq $4. (\dfrac{10+16x-10}{2})^2 =(16x)^2 = VP^2$

\Rightarrow VT \leq VP.

Dấu đẳng thức xảy ra khi chỉ khi:

$\dfrac{\sqrt[]{13x-13}}{\sqrt[]{13}} = \dfrac{\sqrt[]{3x+3}}{3\sqrt[]{3}}$

và : 10=16x-10

$\iff$ vô nghiêm

Vậy PT đã cho vô nghiệm.

Ù ù bài mụ 4frum sai một bước: xét dấu = nên kết luận sai.

Bài này có nghiệm $\dfrac{5}{4}$ mà =)) =))

@forum_: Đâu có sai đoạn bôi đỏ đâu ? Sai ở chỗ giải hệ , nghĩa là sửa lại:

$\dfrac{\sqrt[]{13x-13}}{\sqrt[]{13}} = \dfrac{\sqrt[]{3x+3}}{3\sqrt[]{3}}$

và : 10=16x-10

$\iff$ $x= \dfrac{5}{4}$

hì hì

 

[angleofdarkness]

B13: $13\sqrt{x-1}+9\sqrt{x+1}=16x$

Cách 3:

Pt \Leftrightarrow $13(x-1-\sqrt{x-1}+\dfrac{1}{4})+3(x+1-3\sqrt{x+1}+\dfrac{9}{4})=0$

\Leftrightarrow $13(\sqrt{x-1}-\dfrac{1}{2})^2+3(\sqrt{x+1}-\dfrac{3}{2})^2=0$

\Leftrightarrow $x=\dfrac{5}{4}$

 

[angleofdarkness]

B13: $13\sqrt{x-1}+9\sqrt{x+1}=16x$

Cách 4:

A-G thôi

$13\sqrt{x-1}+9\sqrt{x+1}=13.2.\dfrac{1}{2}\sqrt{x-1}+3.2.\dfrac{1}{2}\sqrt{x+1} \\ \le 13(x-1+\dfrac{1}{4})+3(x+1+\dfrac{1}{4}) \\ =16x$

Dấu = khi $x=\dfrac{5}{4}$

 

[angleofdarkness]

Hết đề rồi, mình góp vui 1 bài vậy

Không khó lắm

GPT:

$\sqrt{x^2+12} + 5 = 3x + \sqrt{x^2+5}$

Đề thi HSG TP. Hà Nội , năm mấy thì quên rồi .

Dễ thấy, nếu x < 0:
$VT = \sqrt{x^2 + 5} + 3x < \sqrt{x^2 + 12} < \sqrt{x^2 + 12} + 5$.
Phương trình vô nghiệm. Vậy $x \ge 0$.

PT tương đương:
$(\sqrt{x^2 + 5} - 3) - (\sqrt{x^2 + 12} - 4) + 3x - 6 = 0$

\Leftrightarrow $\dfrac{x^2 - 4}{\sqrt{x^2 + 5} + 3} - \dfrac{x^2 - 4}{\sqrt{x^2 + 12} + 4} + 3(x - 2) = 0$

\Leftrightarrow $(x - 2)[\dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 5} + 3} - \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 12} + 4} + 3] = 0$

\Leftrightarrow $\left[\begin{array}{l} x = 2\\\dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 5} + 3} - \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 12} + 4} + 3 = 0\,\,\,\, (2)\end{array}\right.$

Ta có:
(2) \Leftrightarrow $(x + 2)[\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 5} + 3} - \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 12} + 4}] + 3 = 0$

\Leftrightarrow ($x + 2).\dfrac{\sqrt{x^2 + 12} - \sqrt{x^2 + 5} + 1}{(\sqrt{x^2 + 5} + 3)(\sqrt{x^2 + 12} + 4)} = 0 $

Do x > 0 nên VT > 0 = VF. Do đó phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất x = 2.

P/S: Mấy bài pt chứa căn thức trong đề thi vào 10 thpt hay thi HSG mình sẽ cho sau, đợi qua mấy dạng cơ bản để tập hợp $p^2$ làm đã

 

[angleofdarkness]

Cách 2:

Chuyển vế và nhân liên hợp ta có $\sqrt{x^{2}+12}+\sqrt{x^{2}+5}=\dfrac{7}{3x-5}$

Từ pt trên suy ra x > 0.

Ta sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Xét x > 2 $\to$ VT > VP.

Xét x < 2 $\to$ VT < VP.

Xét x = 2 $\to$ đúng.

Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 2.

 

[angleofdarkness]

Tổng hợp lại phương pháp làm

Qua 5 bài trên ta bắt gặp tiếp các $p^2$ làm cơ bản sau:

- Đặt ẩn phụ.

- Áp dụng các BĐT cổ điển như A - G; BCS; ....

Qua đó việc dùng BĐT A- G là phổ biến hơn, dễ áp dụng khi nghiệm số đẹp