Toán [Toán 9] Phương trình, hệ phương trình (ver 2)

A

angleofdarkness


Ta có Δ=b24.2a(1a)=b28a+8aa\Delta =b^2-4.2a(1-a)=b^2-8a+8a^a

theo GT ta có b2>(2a)b^2>(2-\left |a \right |)

Δ>(2a)28a+8a2\Delta>(2-\left |a \right |)^2-8a+8a^2

\Leftrightarrow Δ>4+9a24a8a\Delta>4+9a^2-4\left | a \right |-8a

Xét a âm được

Δ>9a24a+8a+4=5a2+(2a+2)2>0\Delta>9a^2-4a+8a+4=5a^2+(2a+2)^2>0 (t.m)


Xét a dương được

Δ>9a212a+4=(3a2)2\Delta>9a^2-12a+4=(3a-2)^2\geq0

P.s: chúc mừng chúc mừng.....topic rất chi là sôi nổi....nhưng mà toàn t/mod ...it men giống topic mình vậy !! :))

Bạn chưa chú ý đến đk để có pt bậc hai là hệ số đi với x2x^2 phải khác 0, ở đây là có a khác 0. (đưa ngay lên đầu, k nên xét ở dưới)

Chỗ này thiếu mũ 2 rồi, fix đi bạn.

Cái này đâu đúng, a âm thì đâu có pt bậc hai mà tính Δ\Delta :p

P/S: topic của mình mới mà, với lại ngại đi pr quá, pr khoảng 30 mem 99 rồi lại thôi =)) =)) Thanks cách tmod đã ghé qua ạ :))
 
A

angleofdarkness

Dạng 6: Dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

B12: Tìm để pt có hai nghiệm pb cùng dấu âm: (m1)x2+2mx+m+1=0(m-1)x^2+2mx+m+1=0

B13: Tìm m để pt có đúng một nghiệm dương: mx22(m3)x+m4=0mx^2-2(m-3)x+m-4=0

B14: Cho pt: (m+1)x3+(3m1)x2x4m+1=0(m+1)x^3+(3m-1)x^2-x-4m+1=0 X/đ m để pt có ba nghiệm pb, trong đó có hai nghiệm âm.

P/S: dạng này cần có kĩ thuật giải BPT khá tốt, mong là k ai nhầm dấu :3 và nhớ rút kinh nghiệm, cần chỉ rõ để pt là pt bậc hai thì hệ số của x2x^2 cần khác 0 là 1 và Δ\Delta \geq 0 là 2.


Ủng hộ pic của mình tí đê :D
 
L

letsmile519

B12:

Xét m=1=> x=1x=-1 (t.m)
Nếu m khác 1

Δ=m2(m1)(m+1)=m2m2+1=1\Delta =m^2-(m-1)(m+1)=m^2-m^2+1=1>0

Để pt có n0n_0 pb đều âm

=> $\left\{\begin{matrix}
S=x_1+x_2<0 & \\
P=x_1.x_2>0 &
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}
S=\frac{-2m}{m-1}<0 & \\
P=\frac{m+1}{m-1}>0 &
\end{matrix}\right.$

Giải hệ pt kết hợp cả m=1...

P.s: 2 bài trên mình vội qá ý mà...còn cái xét =0 cũng quên thật ..cám ơn đã nhắc nhở.. mình đang vội nên làm tắt :D
 
C

congchuaanhsang

Dạng 6: Dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

B12: Tìm để pt có hai nghiệm pb cùng dấu âm: (m1)x2+2mx+m+1=0(m-1)x^2+2mx+m+1=0

B13: Tìm m để pt có đúng một nghiệm dương: mx22(m3)x+m4=0mx^2-2(m-3)x+m-4=0

B14: Cho pt: (m+1)x3+(3m1)x2x4m+1=0(m+1)x^3+(3m-1)x^2-x-4m+1=0 X/đ m để pt có ba nghiệm pb, trong đó có hai nghiệm âm.

P/S: dạng này cần có kĩ thuật giải BPT khá tốt, mong là k ai nhầm dấu :3 và nhớ rút kinh nghiệm, cần chỉ rõ để pt là pt bậc hai thì hệ số của x2x^2 cần khác 0 là 1 và Δ\Delta \geq 0 là 2.


Ủng hộ pic của mình tí đê :D

13, *Xét m=0m=0

Tìm x

*Xét m khác 0

Tính $\Delta^'$

Xảy ra các trường hợp:

(+) Phương trình có nghiệm kép dương

tức $\Delta^'=0$ và S>0

(+) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu

tức ac<0ac<0

(+) Phương trình có 1 nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại dương

tức c=0c=0 và S>0

Tìm m và đối chiếu điều kiện
P.s: Thông cảm mình vội quá chỉ nêu hướng làm vậy thôi :D

 
A

angleofdarkness

B12:

Xét m=1=> x=1x=-1 (t.m)
Nếu m khác 1

Δ=m2(m1)(m+1)=m2m2+1=1\Delta =m^2-(m-1)(m+1)=m^2-m^2+1=1>0

Để pt có n0n_0 pb đều âm

=> $\left\{\begin{matrix}
S=x_1+x_2<0 & \\
P=x_1.x_2>0 &
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}
S=\frac{-2m}{m-1}<0 & \\
P=\frac{m+1}{m-1}>0 &
\end{matrix}\right.$

Giải hệ pt kết hợp cả m=1...

P.s: 2 bài trên mình vội qá ý mà...còn cái xét =0 cũng quên thật ..cám ơn đã nhắc nhở.. mình đang vội nên làm tắt :D

Nên giải cụ thể ra, m khác 1 thì đc m > 1 hoặc m < -1 thỏa mãn đề.
 
A

angleofdarkness

Còn bài này nữa:

B14: Cho pt: (m+1)x3+(3m1)x2x4m+1=0(m+1)x^3+(3m-1)x^2-x-4m+1=0 X/đ m để pt có ba nghiệm pb, trong đó có hai nghiệm âm.

B15: Tìm m để pt x22x+m2=0x^2-2x+m-2=0 có ít nhất một nghiệm dương.
 
L

letsmile519

Còn bài này nữa:

B15: Tìm m để pt x22x+m2=0x^2-2x+m-2=0 có ít nhất một nghiệm dương.

Δ=3m\Delta '=3-m

để pt có ít nhất 1 nghiệm dương ta xét 2 trường hợp

+Nếu có 1 nghiệm dương

\Rightarrow Δ=3m\Delta '=3-m\geq0 và:

$\left\{\begin{matrix}
S=x_1+x_2=2>0 & \\
P=m-2<0 &
\end{matrix}\right.$

\Rightarrow 2>m2>m (t.m)

+Nếu có 2 nghiệm dương:

\Rightarrow Δ=3m>0\Delta '=3-m>0 và:

$\left\{\begin{matrix}
S=x_1+x_2=2>0 & \\
P=m-2>0 &
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow 3>m>23>m>2

Kết hợp lại ta có hoặc 2>m2>m hoặc 3>m>23>m>2 thì pt có ít nhất 1 nghiệm dương
 
L

letsmile519

B14:

Ta có

mx3+x3+3mx2x2x4m+1=0mx^3+x^3+3mx^2-x^2-x-4m+1=0

\Rightarrow mx2(x1)+4m(x1)(x+1)+x2(x1)(x1)=0mx^2(x-1)+4m(x-1)(x+1)+x^2(x-1)-(x-1)=0


\Rightarrow (x1)(mx2+4mx+4m+x21)=0(x-1)(mx^2+4mx+4m+x^2-1)=0

để pt có 3 n0n_0 pt => 2 nghiệm của pt (m+1)x2+4mx+4m1(m+1)x^2+4mx+4m-1 khác 1
Xét m =-1 -> loại
ta có Δ=(2m)2(4m1)(m+1)>0\Delta '=(2m)^2-(4m-1)(m+1)>0

Δ=4m24m2+m4m+1=13m>0\Delta '=4m^2-4m^2+m-4m+1=1-3m>0\Rightarrow 1/3>m1/3>m

để có 2 n0n_0 âm

\Rightarrow $\left\{\begin{matrix}
S=\frac{-4m}{m+1}<0 & \\
P=\frac{4m-1}{m+1}>0 &
\end{matrix}\right.$

Từ đây giải ra được đk kết hợp với cả 13>m13>m

(so rrrri, t mắc off nên làm tắt, có gì sai sót thì m.n chỉ t vs nhoé~~)
 
E

eye_smile

B15: Tìm m để pt x22x+m2=0x^2-2x+m-2=0 có ít nhất một nghiệm dương.
ĐK để PT có 2 nghiệm Δ=1(m2)=3m\Delta'=1-(m-2)=3-m \geq 0 \Leftrightarrow m \leq 3
Khi đó x1+x2=2>0x_1+x_2=2>0 nên luôn có ít nhất 1 nghiệm dương

\Rightarrow chỉ cần ĐK m \leq 3 là đủ

Δ=3m\Delta '=3-m

để pt có ít nhất 1 nghiệm dương ta xét 2 trường hợp

+Nếu có 1 nghiệm dương

\Rightarrow Δ=3m\Delta '=3-m\geq0 và:

$\left\{\begin{matrix}
S=x_1+x_2=2>0 & \\
P=m-2<0 &
\end{matrix}\right.$

\Rightarrow 2>m2>m (t.m)

+Nếu có 2 nghiệm dương:

\Rightarrow Δ=3m>0\Delta '=3-m>0 và:

$\left\{\begin{matrix}
S=x_1+x_2=2>0 & \\
P=m-2>0 &
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow 3>m>23>m>2

Kết hợp lại ta có hoặc 2>m2>m hoặc 3>m>23>m>2 thì pt có ít nhất 1 nghiệm dương
Xem lại nhé:)
Tại kq khác:))
 
E

eye_smile

B14: Cho pt: (m+1)x3+(3m1)x2x4m+1=0(m+1)x^3+(3m-1)x^2-x-4m+1=0 X/đ m để pt có ba nghiệm pb, trong đó có hai nghiệm âm.
PT \Leftrightarrow (x1)[(m+1)x2+4mx+4m1]=0(x-1)[(m+1){x^2}+4mx+4m-1]=0
PT luôn có nghiệm x=1
nên PT ban đầu có 3 nghiệm pb trong đó có 2 nghiệm âm
\Leftrightarrow PT (m+1)(x2+4mx+4m1=0(m+1)({x^2}+4mx+4m-1=0 có 2 nghiệm pb đều âm
\Leftrightarrow m+1m+1 khác 0 \Leftrightarrow m khác -1
Δ=13m\Delta'=1-3m \geq 0 \Leftrightarrow m \leq 13\dfrac{1}{3}
4mm+1<0\dfrac{-4m}{m+1}<0
4m1m+1<0\dfrac{4m-1}{m+1}<0
Giải ra và kết hợp đc 14<m\dfrac{1}{4}<m \leq 13\dfrac{1}{3} và m khác -1
hoặc m <-1
 
Last edited by a moderator:
E

eye_smile

Bạn chưa chú ý đến đk để có pt bậc hai là hệ số đi với x2x^2 phải khác 0, ở đây là có a khác 0. (đưa ngay lên đầu, k nên xét ở dưới)

Chỗ này thiếu mũ 2 rồi, fix đi bạn.

Cái này đâu đúng, a âm thì đâu có pt bậc hai mà tính Δ\Delta :p

P/S: topic của mình mới mà, với lại ngại đi pr quá, pr khoảng 30 mem 99 rồi lại thôi =)) =)) Thanks cách tmod đã ghé qua ạ :))
Đoạn màu xanh bình phương ấy hình như k đúng
Vì vế bên kia chưa biết âm hay dương mà
 
A

angleofdarkness



Δ=3m\Delta '=3-m

để pt có ít nhất 1 nghiệm dương ta xét 2 trường hợp

+Nếu có 1 nghiệm dương

\Rightarrow Δ=3m\Delta '=3-m\geq0 và:

$\left\{\begin{matrix}
S=x_1+x_2=2>0 & \\
P=m-2<0 &
\end{matrix}\right.$

\Rightarrow 2>m2>m (t.m)

+Nếu có 2 nghiệm dương:

\Rightarrow Δ=3m>0\Delta '=3-m>0 và:

$\left\{\begin{matrix}
S=x_1+x_2=2>0 & \\
P=m-2>0 &
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow 3>m>23>m>2

Kết hợp lại ta có hoặc 2>m2>m hoặc 3>m>23>m>2 thì pt có ít nhất 1 nghiệm dương

ĐK để PT có 2 nghiệm Δ=1(m2)=3m\Delta'=1-(m-2)=3-m \geq 0 \Leftrightarrow m \leq 3
Khi đó x1+x2=2>0x_1+x_2=2>0 nên luôn có ít nhất 1 nghiệm dương

\Rightarrow chỉ cần ĐK m \leq 3 là đủ


Xem lại nhé:)
Tại kq khác:))


Kq của eye_smile đúng

Bạn letsmile519 xét thiếu T.h, cụ thể có 4T.h sau:

- Pt có nghiệm kép dương.

- Pt có 2 nghiệm pb, trong đó 1 nghiệm là 0, nghiệm còn lại dương.

- Pt có hai nghiệm trái dấu. (phần KT mình đã bảo cái này rất quan trọng mà :)) )

- Pt có 2 nghiệm pb đều dương.
 
A

angleofdarkness

Dạng 7: Hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai

B16: Cho pt: x25mx4m=0x^2-5mx-4m=0 có hai nghiệm pb. Tìm m để biểu thức sau đạt giá trị min:
A=m2x12+5mx2+12m+x22+5mx1+12mm2A=\dfrac{m^2}{x_1^2+5mx_2+12m}+\dfrac{x_2^2+5mx_1+12m}{m^2}
B17: Xét pt: mx2+(2m1)x+m2=0mx^2+(2m-1)x+m-2=0. Tìm m để pt có hai nghiệm x1;x2x_1;x_2 thỏa mãn x12+x22+x1x2=4x_1^2+x_2^2+x_1x_2=4

B18: Cho pt: x2+2(m+4)x+m28=0x^2+2(m+4)x+m^2-8=0 có hai nghiệm x1;x2x_1;x_2. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm này độc lập với m.

B19: Cho pt: 8x24(m2)x+m(m4)=08x^2-4(m-2)x+m(m-4)=0. Định m để pt có hai nghiệm x_1;x_2$. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm này độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm đối với hai số -1 và 1.

B20: Cho pt: (m1)2x2(m1)(m+2)x+m=0(m-1)^2x^2-(m-1)(m+2)x+m=0 Khi pt có nghiệm. Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm này không phụ thuộc vào m.
 
E

eye_smile

B11: C/m nếu |a| + |b| > 2 thì pt sau có nghiệm: 2ax2+bx+1a=02ax^2+bx+1-a=0
Tớ làm lại thử xem:))
TH1:a=0 \Rightarrow b khác 0
\Rightarrow PT luôn có nghiệm x=1bx=\dfrac{-1}{b}
TH2: a khác 0 \Rightarrow b>2a|b|>2-|a|
Xét Δ=b2+8a28a\Delta={b^2}+8{a^2}-8a
%%- 2a2-|a| \geq 0 \Leftrightarrow -2 \leq a \leq 2 và a khác 0
\Rightarrow b2>a24a+4{b^2}>{a^2}-4|a|+4
+0<a \leq 2, ta có:Δ>8a28a+a24a+4=(3a2)2\Delta>8{a^2}-8a+{a^2}-4a+4={(3a-2)^2} \geq 0
+-2 \leq a <0 \Rightarrow -8a>0
\geq Δ>0\Delta>0

%%- 2a<02-|a|<0 \Leftrightarrow a>2 hoặc a<-2
\Rightarrow b2<a24a+4{b^2}<{a^2}-4|a|+4
+a>2, ta có: Δ=2(a24a+4)+6a2+b28>2b2+6a2+b28=3b2+6a28>0\Delta=2({a^2}-4a+4)+6{a^2}+{b^2}-8>2{b^2}+6{a^2}+{b^2}-8=3{b^2}+6{a^2}-8>0
+a<-2 \Rightarrow -8a> 0
\Rightarrow Δ>0\Delta>0

\Rightarrow đpcm
 
A

angleofdarkness

Tớ làm lại thử xem:))
TH1:a=0 \Rightarrow b khác 0
\Rightarrow PT luôn có nghiệm x=1bx=\dfrac{-1}{b}
TH2: a khác 0 \Rightarrow b>2a|b|>2-|a|
Xét Δ=b2+8a28a\Delta={b^2}+8{a^2}-8a
%%- 2a2-|a| \geq 0 \Leftrightarrow -2 \leq a \leq 2 và a khác 0
\Rightarrow b2>a24a+4{b^2}>{a^2}-4|a|+4
+0<a \leq 2, ta có:Δ>8a28a+a24a+4=(3a2)2\Delta>8{a^2}-8a+{a^2}-4a+4={(3a-2)^2} \geq 0
+-2 \leq a <0 \Rightarrow -8a>0
\geq Δ>0\Delta>0

%%- 2a<02-|a|<0 \Leftrightarrow a>2 hoặc a<-2
\Rightarrow b2<a24a+4{b^2}<{a^2}-4|a|+4
+a>2, ta có: Δ=2(a24a+4)+6a2+b28>2b2+6a2+b28=3b2+6a28>0\Delta=2({a^2}-4a+4)+6{a^2}+{b^2}-8>2{b^2}+6{a^2}+{b^2}-8=3{b^2}+6{a^2}-8>0
+a<-2 \Rightarrow -8a> 0
\Rightarrow Δ>0\Delta>0

\Rightarrow đpcm

Cách này của bạn chắc ổn hơn :D khắc phục đc lỗi dấu rồi.

Cách khác của mình:

Xét a = 0.

Xét a khác 0. Có pt bậc hai ẩn x nên Δ=b2+8a28a\Delta=b^2+8a^2-8a

(*) Nếu |a| \geq 2 thì a \geq 2 hoặc a \leq -2.

\Rightarrow a > 0; 1 - a \leq -1 < 0 hoặc a < 0; c - a \geq 3 > 0.

Cả 2 T.h trên đều quy ra 2a(1 - a) < 0.

\Rightarrow Pt luôn có hai nghiệm pb trái dấu. (nhắc lại cái dấu hiệu này rất quan trọng ạ =)) )

(*) Nếu 0< |a| < 2. Kết hợp với |a| + |b| > 2 thì |b| > 2 - |a| > 0.

Tương tự bạn eye_smile, chỉ ra Δ\Delta \geq (3a2)2(3a-2)^2 \geq 0.
 
E

eye_smile

B16: Cho pt: x25mx4m=0x^2-5mx-4m=0 có hai nghiệm pb. Tìm m để biểu thức sau đạt giá trị min:
A=m2x12+5mx2+12m+x22+5mx1+12mm2A=\dfrac{m^2}{x_1^2+5mx_2+12m}+\dfrac{x_2^2+5mx_1+12m}{m^2}
PT có 2 nghiệm pb \Leftrightarrow Δ=25m2+16m>0\Delta=25{m^2}+16m>0
Ta có: A=m2x12+5mx2+12m+x22+5mx1+12mm2=m225m2+16m+25m2+16mm2A=\dfrac{m^2}{x_1^2+5mx_2+12m}+\dfrac{x_2^2+5mx_1+12m}{m^2}=\dfrac{{m^2}}{25{m^2}+16m}+\dfrac{25{m^2}+16m}{{m^2}} \geq 2
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow m4=(16m+25m2)2{m^4}={(16m+25{m^2})^2}
\Leftrightarrow m2=(16m+25)2{m^2}={(16m+25)^2}
Giải PT tìm m, lấy GT m tm Δ>0\Delta>0
 
E

eye_smile

B17: Xét pt: mx2+(2m1)x+m2=0mx^2+(2m-1)x+m-2=0. Tìm m để pt có hai nghiệm x1;x2x_1;x_2 thỏa mãn x12+x22+x1x2=4x_1^2+x_2^2+x_1x_2=4
PT có 2 nghiệm \Leftrightarrow mm khác 0 và Δ=4m+1\Delta=4m+1 \geq 0
\Leftrightarrow m khác 0 và m \geq 14\dfrac{-1}{4}
Khi đó, x1+x2=12mmx_1+x_2=\dfrac{1-2m}{m}
x1.x2=m2mx_1.x_2=\dfrac{m-2}{m}
Có: A=x12+x22+x1.x2=(x1+x2)2x1.x2=(12mm)2m2m=4A={x_1^2}+{x_2^2}+x_1.x_2={(x_1+x_2)^2}-x_1.x_2={(\dfrac{1-2m}{m})^2}-\dfrac{m-2}{m}=4
\Leftrightarrow m2+2m1=0{m^2}+2m-1=0
\Leftrightarrow m=21m=\sqrt{2}-1 (tm) hoặc m=21m=-\sqrt{2}-1 (ktm)
 
E

eye_smile

B18: Cho pt: x2+2(m+4)x+m28=0x^2+2(m+4)x+m^2-8=0 có hai nghiệm x1;x2x_1;x_2. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm này độc lập với m.
PT có 2 nghiệm \Leftrightarrow Δ=8(m+3)\Delta=8(m+3) \geq 0
\Leftrightarrow m \geq -3
Khi đó
x1+x2=2(m+4)x_1+x_2=-2(m+4) \Leftrightarrow m=x1x282m=\dfrac{-x_1-x_2-8}{2}
x1.x2=m28=(x1+x2+82)28x_1.x_2={m^2}-8={(\dfrac{x_1+x_2+8}{2})^2}-8
 
Top Bottom