Toán [Toán 9] Phương trình, hệ phương trình (ver 2)

[angleofdarkness]

Ta có $\Delta =b^2-4.2a(1-a)=b^2-8a+8a^a$

theo GT ta có $b^2>(2-\left |a \right |)$

$\Delta>(2-\left |a \right |)^2-8a+8a^2$

\Leftrightarrow $\Delta>4+9a^2-4\left | a \right |-8a$

Xét a âm được

$\Delta>9a^2-4a+8a+4=5a^2+(2a+2)^2>0$ (t.m)

Xét a dương được

$\Delta>9a^2-12a+4=(3a-2)^2$\geq0

P.s: chúc mừng chúc mừng.....topic rất chi là sôi nổi....nhưng mà toàn t/mod ...it men giống topic mình vậy !! )

Bạn chưa chú ý đến đk để có pt bậc hai là hệ số đi với $x^2$ phải khác 0, ở đây là có a khác 0. (đưa ngay lên đầu, k nên xét ở dưới)

Chỗ này thiếu mũ 2 rồi, fix đi bạn.

Cái này đâu đúng, a âm thì đâu có pt bậc hai mà tính $\Delta$

P/S: topic của mình mới mà, với lại ngại đi pr quá, pr khoảng 30 mem 99 rồi lại thôi =)) =)) Thanks cách tmod đã ghé qua ạ )

 

[angleofdarkness]

Dạng 6: Dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

B12: Tìm để pt có hai nghiệm pb cùng dấu âm: $(m-1)x^2+2mx+m+1=0$

B13: Tìm m để pt có đúng một nghiệm dương: $mx^2-2(m-3)x+m-4=0$

B14: Cho pt: $(m+1)x^3+(3m-1)x^2-x-4m+1=0$ X/đ m để pt có ba nghiệm pb, trong đó có hai nghiệm âm.

P/S: dạng này cần có kĩ thuật giải BPT khá tốt, mong là k ai nhầm dấu :3 và nhớ rút kinh nghiệm, cần chỉ rõ để pt là pt bậc hai thì hệ số của $x^2$ cần khác 0 là 1 và $\Delta$ \geq 0 là 2.

Ủng hộ pic của mình tí đê

 

[letsmile519]

B12:

Xét m=1=> $x=-1$ (t.m)
Nếu m khác 1

$\Delta =m^2-(m-1)(m+1)=m^2-m^2+1=1$>0

Để pt có $n_0$ pb đều âm

=> $\left\{\begin{matrix}
S=x_1+x_2<0 & \\
P=x_1.x_2>0 &
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}
S=\frac{-2m}{m-1}<0 & \\
P=\frac{m+1}{m-1}>0 &
\end{matrix}\right.$

Giải hệ pt kết hợp cả m=1...

P.s: 2 bài trên mình vội qá ý mà...còn cái xét =0 cũng quên thật ..cám ơn đã nhắc nhở.. mình đang vội nên làm tắt

 

[congchuaanhsang]

Dạng 6: Dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

B12: Tìm để pt có hai nghiệm pb cùng dấu âm: $(m-1)x^2+2mx+m+1=0$

B13: Tìm m để pt có đúng một nghiệm dương: $mx^2-2(m-3)x+m-4=0$

B14: Cho pt: $(m+1)x^3+(3m-1)x^2-x-4m+1=0$ X/đ m để pt có ba nghiệm pb, trong đó có hai nghiệm âm.

P/S: dạng này cần có kĩ thuật giải BPT khá tốt, mong là k ai nhầm dấu :3 và nhớ rút kinh nghiệm, cần chỉ rõ để pt là pt bậc hai thì hệ số của $x^2$ cần khác 0 là 1 và $\Delta$ \geq 0 là 2.

Ủng hộ pic của mình tí đê

13, *Xét $m=0$

Tìm x

*Xét m khác 0

Tính $\Delta^'$

Xảy ra các trường hợp:

(+) Phương trình có nghiệm kép dương

tức $\Delta^'=0$ và S>0

(+) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu

tức $ac<0$

(+) Phương trình có 1 nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại dương

tức $c=0$ và S>0

Tìm m và đối chiếu điều kiện
P.s: Thông cảm mình vội quá chỉ nêu hướng làm vậy thôi

 

[angleofdarkness]

B12:

Xét m=1=> $x=-1$ (t.m)
Nếu m khác 1

$\Delta =m^2-(m-1)(m+1)=m^2-m^2+1=1$>0

Để pt có $n_0$ pb đều âm

=> $\left\{\begin{matrix}
S=x_1+x_2<0 & \\
P=x_1.x_2>0 &
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}
S=\frac{-2m}{m-1}<0 & \\
P=\frac{m+1}{m-1}>0 &
\end{matrix}\right.$

Giải hệ pt kết hợp cả m=1...

P.s: 2 bài trên mình vội qá ý mà...còn cái xét =0 cũng quên thật ..cám ơn đã nhắc nhở.. mình đang vội nên làm tắt

Nên giải cụ thể ra, m khác 1 thì đc m > 1 hoặc m < -1 thỏa mãn đề.

 

[angleofdarkness]

Còn bài này nữa:

B14: Cho pt: $(m+1)x^3+(3m-1)x^2-x-4m+1=0$ X/đ m để pt có ba nghiệm pb, trong đó có hai nghiệm âm.

B15: Tìm m để pt $x^2-2x+m-2=0$ có ít nhất một nghiệm dương.

 

[letsmile519]

Còn bài này nữa:

B15: Tìm m để pt $x^2-2x+m-2=0$ có ít nhất một nghiệm dương.

$\Delta '=3-m$

để pt có ít nhất 1 nghiệm dương ta xét 2 trường hợp

+Nếu có 1 nghiệm dương

\Rightarrow $\Delta '=3-m$\geq0 và:

$\left\{\begin{matrix}
S=x_1+x_2=2>0 & \\
P=m-2<0 &
\end{matrix}\right.$

\Rightarrow $2>m$ (t.m)

+Nếu có 2 nghiệm dương:

\Rightarrow $\Delta '=3-m>0$ và:

$\left\{\begin{matrix}
S=x_1+x_2=2>0 & \\
P=m-2>0 &
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $3>m>2$

Kết hợp lại ta có hoặc $2>m$ hoặc $3>m>2$ thì pt có ít nhất 1 nghiệm dương

 

[letsmile519]

B14:

Ta có

$mx^3+x^3+3mx^2-x^2-x-4m+1=0$

\Rightarrow $mx^2(x-1)+4m(x-1)(x+1)+x^2(x-1)-(x-1)=0$


\Rightarrow $(x-1)(mx^2+4mx+4m+x^2-1)=0$

để pt có 3 $n_0$ pt => 2 nghiệm của pt $(m+1)x^2+4mx+4m-1$ khác 1
Xét m =-1 -> loại
ta có $\Delta '=(2m)^2-(4m-1)(m+1)>0$

$\Delta '=4m^2-4m^2+m-4m+1=1-3m>0$\Rightarrow $1/3>m$

để có 2 $n_0$ âm

\Rightarrow $\left\{\begin{matrix}
S=\frac{-4m}{m+1}<0 & \\
P=\frac{4m-1}{m+1}>0 &
\end{matrix}\right.$

Từ đây giải ra được đk kết hợp với cả $13>m$

(so rrrri, t mắc off nên làm tắt, có gì sai sót thì m.n chỉ t vs nhoé~~)

 

[eye_smile]

B15: Tìm m để pt $x^2-2x+m-2=0$ có ít nhất một nghiệm dương.

ĐK để PT có 2 nghiệm $\Delta'=1-(m-2)=3-m$ \geq 0 \Leftrightarrow m \leq 3
Khi đó $x_1+x_2=2>0$ nên luôn có ít nhất 1 nghiệm dương

\Rightarrow chỉ cần ĐK m \leq 3 là đủ

$\Delta '=3-m$

để pt có ít nhất 1 nghiệm dương ta xét 2 trường hợp

+Nếu có 1 nghiệm dương

\Rightarrow $\Delta '=3-m$\geq0 và:

$\left\{\begin{matrix}
S=x_1+x_2=2>0 & \\
P=m-2<0 &
\end{matrix}\right.$

\Rightarrow $2>m$ (t.m)

+Nếu có 2 nghiệm dương:

\Rightarrow $\Delta '=3-m>0$ và:

$\left\{\begin{matrix}
S=x_1+x_2=2>0 & \\
P=m-2>0 &
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $3>m>2$

Kết hợp lại ta có hoặc $2>m$ hoặc $3>m>2$ thì pt có ít nhất 1 nghiệm dương

Xem lại nhé
Tại kq khác)

 

[eye_smile]

B14: Cho pt: $(m+1)x^3+(3m-1)x^2-x-4m+1=0$ X/đ m để pt có ba nghiệm pb, trong đó có hai nghiệm âm.

PT \Leftrightarrow $(x-1)[(m+1){x^2}+4mx+4m-1]=0$
PT luôn có nghiệm x=1
nên PT ban đầu có 3 nghiệm pb trong đó có 2 nghiệm âm
\Leftrightarrow PT $(m+1)({x^2}+4mx+4m-1=0$ có 2 nghiệm pb đều âm
\Leftrightarrow $m+1$ khác 0 \Leftrightarrow m khác -1
$\Delta'=1-3m$ \geq 0 \Leftrightarrow m \leq $\dfrac{1}{3}$
$\dfrac{-4m}{m+1}<0$
$\dfrac{4m-1}{m+1}<0$
Giải ra và kết hợp đc $\dfrac{1}{4}<m$ \leq $\dfrac{1}{3}$ và m khác -1
hoặc m <-1

 

[eye_smile]

Bạn chưa chú ý đến đk để có pt bậc hai là hệ số đi với $x^2$ phải khác 0, ở đây là có a khác 0. (đưa ngay lên đầu, k nên xét ở dưới)

Chỗ này thiếu mũ 2 rồi, fix đi bạn.

Cái này đâu đúng, a âm thì đâu có pt bậc hai mà tính $\Delta$

P/S: topic của mình mới mà, với lại ngại đi pr quá, pr khoảng 30 mem 99 rồi lại thôi =)) =)) Thanks cách tmod đã ghé qua ạ )

Đoạn màu xanh bình phương ấy hình như k đúng
Vì vế bên kia chưa biết âm hay dương mà

 

[angleofdarkness]

Đoạn màu xanh bình phương ấy hình như k đúng
Vì vế bên kia chưa biết âm hay dương mà

Ừ, nói chung là bài này bạn letsmile519 làm chưa chặt chẽ và chuẩn cho lắm.

 

[angleofdarkness]

$\Delta '=3-m$

để pt có ít nhất 1 nghiệm dương ta xét 2 trường hợp

+Nếu có 1 nghiệm dương

\Rightarrow $\Delta '=3-m$\geq0 và:

$\left\{\begin{matrix}
S=x_1+x_2=2>0 & \\
P=m-2<0 &
\end{matrix}\right.$

\Rightarrow $2>m$ (t.m)

+Nếu có 2 nghiệm dương:

\Rightarrow $\Delta '=3-m>0$ và:

$\left\{\begin{matrix}
S=x_1+x_2=2>0 & \\
P=m-2>0 &
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $3>m>2$

Kết hợp lại ta có hoặc $2>m$ hoặc $3>m>2$ thì pt có ít nhất 1 nghiệm dương

ĐK để PT có 2 nghiệm $\Delta'=1-(m-2)=3-m$ \geq 0 \Leftrightarrow m \leq 3
Khi đó $x_1+x_2=2>0$ nên luôn có ít nhất 1 nghiệm dương

\Rightarrow chỉ cần ĐK m \leq 3 là đủ


Xem lại nhé
Tại kq khác)

Kq của eye_smile đúng

Bạn letsmile519 xét thiếu T.h, cụ thể có 4T.h sau:

- Pt có nghiệm kép dương.

- Pt có 2 nghiệm pb, trong đó 1 nghiệm là 0, nghiệm còn lại dương.

- Pt có hai nghiệm trái dấu. (phần KT mình đã bảo cái này rất quan trọng mà ) )

- Pt có 2 nghiệm pb đều dương.

 

[kride_dragon]

Mình tham gia page với nhé! Mong các bạn chỉ dạy!!!!!!!!!!!

 

[angleofdarkness]

Dạng 7: Hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai

B16: Cho pt: $x^2-5mx-4m=0$ có hai nghiệm pb. Tìm m để biểu thức sau đạt giá trị min:
$$A=\dfrac{m^2}{x_1^2+5mx_2+12m}+\dfrac{x_2^2+5mx_1+12m}{m^2}$$
B17: Xét pt: $mx^2+(2m-1)x+m-2=0$. Tìm m để pt có hai nghiệm $x_1;x_2$ thỏa mãn $x_1^2+x_2^2+x_1x_2=4$

B18: Cho pt: $x^2+2(m+4)x+m^2-8=0$ có hai nghiệm $x_1;x_2$. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm này độc lập với m.

B19: Cho pt: $8x^2-4(m-2)x+m(m-4)=0$. Định m để pt có hai nghiệm x_1;x_2$. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm này độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm đối với hai số -1 và 1.

B20: Cho pt: $(m-1)^2x^2-(m-1)(m+2)x+m=0$ Khi pt có nghiệm. Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm này không phụ thuộc vào m.

 

[eye_smile]

B11: C/m nếu |a| + |b| > 2 thì pt sau có nghiệm: $2ax^2+bx+1-a=0$

Tớ làm lại thử xem)
TH1:a=0 \Rightarrow b khác 0
\Rightarrow PT luôn có nghiệm $x=\dfrac{-1}{b}$
TH2: a khác 0 \Rightarrow $|b|>2-|a|$
Xét $\Delta={b^2}+8{a^2}-8a$
%%- $2-|a|$ \geq 0 \Leftrightarrow -2 \leq a \leq 2 và a khác 0
\Rightarrow ${b^2}>{a^2}-4|a|+4$
+0<a \leq 2, ta có:$\Delta>8{a^2}-8a+{a^2}-4a+4={(3a-2)^2}$ \geq 0
+-2 \leq a <0 \Rightarrow -8a>0
\geq $\Delta>0$

%%- $2-|a|<0$ \Leftrightarrow a>2 hoặc a<-2
\Rightarrow ${b^2}<{a^2}-4|a|+4$
+a>2, ta có: $\Delta=2({a^2}-4a+4)+6{a^2}+{b^2}-8>2{b^2}+6{a^2}+{b^2}-8=3{b^2}+6{a^2}-8>0$
+a<-2 \Rightarrow -8a> 0
\Rightarrow $\Delta>0$

\Rightarrow đpcm

 

[angleofdarkness]

Tớ làm lại thử xem)
TH1:a=0 \Rightarrow b khác 0
\Rightarrow PT luôn có nghiệm $x=\dfrac{-1}{b}$
TH2: a khác 0 \Rightarrow $|b|>2-|a|$
Xét $\Delta={b^2}+8{a^2}-8a$
%%- $2-|a|$ \geq 0 \Leftrightarrow -2 \leq a \leq 2 và a khác 0
\Rightarrow ${b^2}>{a^2}-4|a|+4$
+0<a \leq 2, ta có:$\Delta>8{a^2}-8a+{a^2}-4a+4={(3a-2)^2}$ \geq 0
+-2 \leq a <0 \Rightarrow -8a>0
\geq $\Delta>0$

%%- $2-|a|<0$ \Leftrightarrow a>2 hoặc a<-2
\Rightarrow ${b^2}<{a^2}-4|a|+4$
+a>2, ta có: $\Delta=2({a^2}-4a+4)+6{a^2}+{b^2}-8>2{b^2}+6{a^2}+{b^2}-8=3{b^2}+6{a^2}-8>0$
+a<-2 \Rightarrow -8a> 0
\Rightarrow $\Delta>0$

\Rightarrow đpcm

Cách này của bạn chắc ổn hơn khắc phục đc lỗi dấu rồi.

Cách khác của mình:

Xét a = 0.

Xét a khác 0. Có pt bậc hai ẩn x nên $\Delta=b^2+8a^2-8a$

(*) Nếu |a| \geq 2 thì a \geq 2 hoặc a \leq -2.

\Rightarrow a > 0; 1 - a \leq -1 < 0 hoặc a < 0; c - a \geq 3 > 0.

Cả 2 T.h trên đều quy ra 2a(1 - a) < 0.

\Rightarrow Pt luôn có hai nghiệm pb trái dấu. (nhắc lại cái dấu hiệu này rất quan trọng ạ =)) )

(*) Nếu 0< |a| < 2. Kết hợp với |a| + |b| > 2 thì |b| > 2 - |a| > 0.

Tương tự bạn eye_smile, chỉ ra $\Delta$ \geq $(3a-2)^2$ \geq 0.

 

[eye_smile]

B16: Cho pt: $x^2-5mx-4m=0$ có hai nghiệm pb. Tìm m để biểu thức sau đạt giá trị min:
$$A=\dfrac{m^2}{x_1^2+5mx_2+12m}+\dfrac{x_2^2+5mx_1+12m}{m^2}$$

PT có 2 nghiệm pb \Leftrightarrow $\Delta=25{m^2}+16m>0$
Ta có: $A=\dfrac{m^2}{x_1^2+5mx_2+12m}+\dfrac{x_2^2+5mx_1+12m}{m^2}=\dfrac{{m^2}}{25{m^2}+16m}+\dfrac{25{m^2}+16m}{{m^2}}$ \geq 2
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow ${m^4}={(16m+25{m^2})^2}$
\Leftrightarrow ${m^2}={(16m+25)^2}$
Giải PT tìm m, lấy GT m tm $\Delta>0$

 

[eye_smile]

B17: Xét pt: $mx^2+(2m-1)x+m-2=0$. Tìm m để pt có hai nghiệm $x_1;x_2$ thỏa mãn $x_1^2+x_2^2+x_1x_2=4$

PT có 2 nghiệm \Leftrightarrow $m$ khác 0 và $\Delta=4m+1$ \geq 0
\Leftrightarrow m khác 0 và m \geq $\dfrac{-1}{4}$
Khi đó, $x_1+x_2=\dfrac{1-2m}{m}$
$x_1.x_2=\dfrac{m-2}{m}$
Có: $A={x_1^2}+{x_2^2}+x_1.x_2={(x_1+x_2)^2}-x_1.x_2={(\dfrac{1-2m}{m})^2}-\dfrac{m-2}{m}=4$
\Leftrightarrow ${m^2}+2m-1=0$
\Leftrightarrow $m=\sqrt{2}-1$ (tm) hoặc $m=-\sqrt{2}-1$ (ktm)

 

[eye_smile]

B18: Cho pt: $x^2+2(m+4)x+m^2-8=0$ có hai nghiệm $x_1;x_2$. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm này độc lập với m.

PT có 2 nghiệm \Leftrightarrow $\Delta=8(m+3)$ \geq 0
\Leftrightarrow m \geq -3
Khi đó
$x_1+x_2=-2(m+4)$ \Leftrightarrow $m=\dfrac{-x_1-x_2-8}{2}$
$x_1.x_2={m^2}-8={(\dfrac{x_1+x_2+8}{2})^2}-8$