Toán [Toán 9] Phương trình, hệ phương trình (ver 2)

Thảo luận trong 'Tổng hợp Đại số' bắt đầu bởi angleofdarkness, 30 Tháng tư 2014.

Lượt xem: 11,070

?

Bạn thấy pic này có thật sự có ích cho học sinh lớp 9?

  1. 80.0%
  2. Tôi không biết

    26.7%
Multiple votes are allowed.

  1. Cách 2:

    Pt \Leftrightarrow $x\sqrt{x^2+16}+x^2+16=40$

    \Leftrightarrow $x\sqrt{x^2+16}=24-x^2$

    \Leftrightarrow $x^2(x^2+16)=(24-x^2)^2$

    \Leftrightarrow $64x^2=576$ \Leftrightarrow x = -3; 3.

    Thử lại chọn x = 3.
     
  2. ĐK $|x| \le 2$

    Bình phương lên và biến đổi đc:$$(2\sqrt{2(4-x^2)}+4)^2=(x+4)^2$$

    P/S: Hơi dài =)) =))
     
  3. Tổng kết lại qua 8 bài trên:

    $P^2$ chính hay làm với dạng bài giải pt vô tỉ là bình phương, lập phương ... nói chung là phá căn thức hai vế :D

    Đây là $p^2$ khá phổ biến, chú ý trong $p^2$ này là ĐKXĐ và ĐK k âm (hoặc dương) ở hai vế để khi bình phương tránh xuất hiện nghiệm ngoại lai (giống bài VD B5)

     
  4. B9: $x=\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}$

    B10: $\sqrt[3]{25x(2x^2+9)}=4x+\dfrac{3}{x}$

    B11: $(4x-1)\sqrt{x^2+1}=2x^2+2x+1$

    B12: $\sqrt{25-x^2}-\sqrt{10-x^2}=3$

    B13: $13\sqrt{x-1}+9\sqrt{x+1}=16x$
     
    Last edited by a moderator: 17 Tháng bảy 2014
  5. toiyeu9a3

    toiyeu9a3 Guest

    Bài 12: Đk: $x^2$ \leq 10
    Đặt $\sqrt{25 - x^2} = a$; $\sqrt{10 - x^2} = b$ 9 a; b \geq 0)
    Ta có: a - b = 3 và $a^2 - b^2 = 15$
    \Leftrightarrow a - b = 3 và a + b =5
     
  6. ducdao_pvt

    ducdao_pvt Guest

    $13\sqrt{x-1}+9\sqrt{x+1}=16x(13)$

    $ ĐK: x\geq1 $

    $Đặt $\sqrt{x-1}=a;\sqrt{x+1}=b$

    \Rightarrow $(13):13a+9b=8(a^2+b^2)(1)$

    Ngoài ra: $a^2-b^2=-2(2)$

    $Kết hợp (1),(2)$ \Rightarrow $a,b$

    P.s: Topic này hay vậy mà hẩm hiu quá, thật là đáng tiếc mà :(


    @angle: vấn đề chính là vậy đấy chị, vậy nên em phải đi pr suốt á :((
     
    Last edited by a moderator: 17 Tháng bảy 2014
  7. xuanquynh97

    xuanquynh97 Guest



    Làm bài trước khi đi thi nào (Thi Lí Hóa mà làm Toán :)) )

    ĐK $x \not=0$

    Ta có $x.\sqrt[3]{25x(2x^2+9)}=4x^2+3$

    $\sqrt[3]{5x^2.5x^2.(2x^2+9)}$ \leq $\dfrac{5x^2+5x^2+2x^2+9}{3}=4x^2+3$

    Dấu bằng xảy ra khi $5x^2=2x^2+9$ \Leftrightarrow $x = \pm\sqrt{3}$
     
  8. xuanquynh97

    xuanquynh97 Guest

    Mấy topic bên $\sqrt{MF}$ có cả chục bài

    Bên đó topic HPT,PT,BPT khá là hay :|

    Mod bên mình mà mỗi người xử lý một chuyên môn riêng chắc có hiệu quả hơn

    Đặt $\sqrt{x^2+1}=a$ thì \Rightarrow $x^2=a^2−1.$

    Thay vào phương trình ta được: $2(a^2−1)+2x+1=(4x−1)a$

    Xem phương trình là phương trình bậc 2 ẩn a

    Tính $\Delta$ theo x rồi tìm a theo x là xong :D
     
    Last edited by a moderator: 17 Tháng bảy 2014
  9. chonhoi110

    chonhoi110 Guest

    Bài 11
    Đk : $x \ge 1 ; x \le -1$

    Đặt $4x-1=u ; \sqrt{x^2-1}=v; (v \ge 0)$

    $\Longrightarrow uv=2v^2+\dfrac{1}{2}u+\dfrac{7}{2}$

    .............................
    Èo, nghiệm quá xấu chị ới :( có sai đề ko nhỉ :| Ai đủ can đảm ấn vào coi nghiệm :v ~~> Đây

    Bài 9: Đk: $x > 0$

    pt $\Longrightarrow (x-\sqrt{x-\dfrac{1}{x}})^2=1-\dfrac{1}{x}$

    $\Longleftrightarrow x^2+x-\dfrac{1}{x}-2x\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}=1-\dfrac{1}{x}$

    $\Longleftrightarrow x-\dfrac{1}{x}-2x\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}+1=0$

    $\Longleftrightarrow \sqrt{x-\dfrac{1}{x}}=1 \Longrightarrow x= \dfrac{1}{2}(1+\sqrt{5})$
     
  10. À ừ; đã check :D

    ..............................................


     
  11. chonhoi110

    chonhoi110 Guest

    Giải lại bài 11 :))

    Đặt $u=4x-1 ; v=\sqrt{x^2+1} ;(v \ge 1)$

    pt $\Longleftrightarrow uv=2v^2+\dfrac{1}{2}u-\dfrac{1}{2}$

    $\Longleftrightarrow (2v-1)(2v-u+1)=0$

    $\Longleftrightarrow \left[\begin{matrix}v=\dfrac{1}{2} (L)\\ 2v-u+1=0\end{matrix}\right.$

    $\Longrightarrow 2\sqrt{x^2+1}-4x+1+1=0$

    $\Longleftrightarrow \sqrt{x^2+1}=2x-1$

    $\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \ge \dfrac{1}{2}\\x^2+1=(2x-1)^2 \end{matrix}\right. \Longrightarrow x=\dfrac{4}{3}$
     
  12. forum_

    forum_ Guest

    9/ Con Chồn này viết ĐKXĐ sai rồi, có cách khác ngắn hơn mình mới nghĩ đc :D


    ĐK: x \geq 1

    Viết lại PT và áp dụng $Cauchy$ này:

    $VP$ = $\sqrt[]{x- \dfrac{1}{x}} + \sqrt[]{1- \dfrac{1}{x}}$ = $\sqrt[]{1.(x- \dfrac{1}{x}}) + \sqrt[]{\dfrac{1}{x}.(x-1)}$

    \leq $\dfrac{1+x-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+x-1}{2}$ = $x$ (= $VT$)

    Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi $x = \dfrac{1 \pm \sqrt[]{5}}{2}$

    Đối chiếu ĐK chọn $x = \dfrac{1 + \sqrt[]{5}}{2}$

    Thử lại thỏa mãn ;)

    p/s: hình như đây là đề thi vô địch Toán cộng hòa Yugoslavia (Nam Tư) năm 1977, đa số lời giải đều thực hiện theo phép biến đổi tương đương !!! :)
     
    Last edited by a moderator: 17 Tháng bảy 2014
  13. forum_

    forum_ Guest

    Cách khác, và tiếp tục BĐT :D:D

    ĐK: x \geq 1

    Áp dụng BĐT $BCS$:

    $VT^2 = (\sqrt[]{13}. \sqrt[]{13x-13} + 3\sqrt[]{3}.\sqrt[]{3x+3})^2$

    \leq $(13+27)(13x-13+3x+3) = 40(16x-10)$

    Áp dụng tiếp AM-GM:

    $40(16x-10) = 4.10.(16x-10)$ \leq $4. (\dfrac{10+16x-10}{2})^2 =(16x)^2 = VP^2$

    \Rightarrow VT \leq VP.

    Dấu đẳng thức xảy ra khi chỉ khi:

    $\dfrac{\sqrt[]{13x-13}}{\sqrt[]{13}} = \dfrac{\sqrt[]{3x+3}}{3\sqrt[]{3}}$

    và : 10=16x-10

    $\iff$ vô nghiêm

    Vậy PT đã cho vô nghiệm.

     
  14. forum_

    forum_ Guest

    Hết đề rồi, mình góp vui 1 bài vậy :)

    Không khó lắm ;)

    GPT:

    $\sqrt[]{x^2+12} + 5 = 3x + \sqrt[]{x^2+5}$

    Đề thi HSG TP. Hà Nội , năm mấy thì quên rồi :).
     
  15. Ù ù bài mụ 4frum sai một bước: xét dấu = nên kết luận sai.

    Bài này có nghiệm $\dfrac{5}{4}$ mà =)) =))


     
    Last edited by a moderator: 18 Tháng bảy 2014
  16. Cách 3:

    Pt \Leftrightarrow $13(x-1-\sqrt{x-1}+\dfrac{1}{4})+3(x+1-3\sqrt{x+1}+\dfrac{9}{4})=0$

    \Leftrightarrow $13(\sqrt{x-1}-\dfrac{1}{2})^2+3(\sqrt{x+1}-\dfrac{3}{2})^2=0$

    \Leftrightarrow $x=\dfrac{5}{4}$
     
  17. Cách 4:

    A-G thôi :D

    $13\sqrt{x-1}+9\sqrt{x+1}=13.2.\dfrac{1}{2}\sqrt{x-1}+3.2.\dfrac{1}{2}\sqrt{x+1} \\ \le 13(x-1+\dfrac{1}{4})+3(x+1+\dfrac{1}{4}) \\ =16x$

    Dấu = khi $x=\dfrac{5}{4}$
     
  18. Dễ thấy, nếu x < 0:
    $VT = \sqrt{x^2 + 5} + 3x < \sqrt{x^2 + 12} < \sqrt{x^2 + 12} + 5$.
    Phương trình vô nghiệm. Vậy $x \ge 0$.

    PT tương đương:
    $(\sqrt{x^2 + 5} - 3) - (\sqrt{x^2 + 12} - 4) + 3x - 6 = 0$

    \Leftrightarrow $\dfrac{x^2 - 4}{\sqrt{x^2 + 5} + 3} - \dfrac{x^2 - 4}{\sqrt{x^2 + 12} + 4} + 3(x - 2) = 0$

    \Leftrightarrow $(x - 2)[\dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 5} + 3} - \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 12} + 4} + 3] = 0$

    \Leftrightarrow $\left[\begin{array}{l} x = 2\\\dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 5} + 3} - \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 12} + 4} + 3 = 0\,\,\,\, (2)\end{array}\right.$

    Ta có:
    (2) \Leftrightarrow $(x + 2)[\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 5} + 3} - \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 12} + 4}] + 3 = 0$

    \Leftrightarrow ($x + 2).\dfrac{\sqrt{x^2 + 12} - \sqrt{x^2 + 5} + 1}{(\sqrt{x^2 + 5} + 3)(\sqrt{x^2 + 12} + 4)} = 0 $

    Do x > 0 nên VT > 0 = VF. Do đó phương trình (2) vô nghiệm.

    Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất x = 2.

    P/S: Mấy bài pt chứa căn thức trong đề thi vào 10 thpt hay thi HSG mình sẽ cho sau, đợi qua mấy dạng cơ bản để tập hợp $p^2$ làm đã :D
     
  19. Cách 2:

    Chuyển vế và nhân liên hợp ta có $\sqrt{x^{2}+12}+\sqrt{x^{2}+5}=\dfrac{7}{3x-5}$

    Từ pt trên suy ra x > 0.

    Ta sử dụng tính đơn điệu của hàm số :D

    Xét x > 2 $\to$ VT > VP.

    Xét x < 2 $\to$ VT < VP.

    Xét x = 2 $\to$ đúng.

    Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 2.
     
  20. Tổng hợp lại phương pháp làm

    Qua 5 bài trên ta bắt gặp tiếp các $p^2$ làm cơ bản sau:

    - Đặt ẩn phụ.

    - Áp dụng các BĐT cổ điển như A - G; BCS; ....

    Qua đó việc dùng BĐT A- G là phổ biến hơn, dễ áp dụng khi nghiệm số đẹp :D
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY