Toán [Toán 9] Phương trình, hệ phương trình (ver 2)

[angleofdarkness]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

:Mloa_loa: Mình k biết nên mở lời thế nào, dài dòng văn tự thì k ổn mà ngắn quá cũng k xong ), thôi kết lại:

Topic: $\color{DarkOrange}{\fbox{Toán 9} \text{Phương trình, hệ phương trình (ver 2)}}$ chính thức được mở cửa, là nơi để mn học hỏi, thảo luận về các vấn đề pt, hpt trong bậc THCS. Thường thì phần này chiếm 2 - 3đ / 10đ trong các kì thi vào lớp 10 THPT cũng như thi HSG 9.

Vì vậy để nắm giữ từng con điểm, mình mong pic này sẽ giúp ích các bạn củng cố thêm kiến thức, kĩ năng về pt, hpt.​

:khi (4):

P/S: Mong mn ủng hộ để pic k phải đóng cửa sớm =))​

:khi (4):​

 

[angleofdarkness]

Mình sẽ viết theo chuyên đề vài đánh số thứ tự bài nên mong bạn nào muốn đăng bài tham khảo thì nhớ STT giúp mình nhé

Chuyên đề 1: Phương trình bậc hai

A. KT:

1. Đ/n: Pt bậc hai một ẩn x là pt có dạng $zx^2+bx+c=0(1)$ (a khác 0). Trong đó a, b, c là các số thực.

2. Công thức nghiệm: (các bước làm)

- X/đ rõ hệ số a, b, c (chú ý nếu có b = 2b' thì cần x/đ cả b')

- Tính $\Delta=b^2-4ac$ (hoặc $\Delta '=b'^2-ac$)

+ Nếu $\Delta<0$ thì pt (1) vô nghiệm.

+ Nếu $\Delta=0$ thì pt (1) có nghiệm kép: $x_1=x_2=\dfrac{-b}{2a}$

+ Nếu $\Delta=0$ thì pt (1) có hai nghiệm pb: $x_{1,2}=\dfrac{-b \pm \ \sqrt{\Delta}}{2a}$

- Chú ý: Nếu ac < 0 thì pt (1) có hai nghiệm trái dấu (đk này rất hữu ích, bạn nào k biết thì lưu ý nhé)

3. Đ/l Vi-et thuận và đảo:

a/ Đ/l thuận:

Pt (1) có hai nghiệm $x_1;x_2$ thì $S=x_1+x_2=\dfrac{-b}{a};P=x_1x_2=\dfrac{c}{a}$

a/ Đ/l đảo:

Nếu hai số thực u, v có $u+v=S;uv=P$ thì u; v là hai nghiệm của pt bậc hai: $X^2-S.X+P=0$ (đk: $S^2$ \geq 4P)

 

[angleofdarkness]

B. Bài tập:

Dạng 1: Giải phương trình bậc hai (dạng này dễ nên mình chỉ cho vài câu thôi)

B1: Giải pt sau:

a/ $2x^2-3x=0$

b/ $\sqrt{2}.x^2-3x+\sqrt{2}=0$

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức nghiệm đối xứng

B2: Cho pt: $x^2-\sqrt{2}.x-2+\sqrt{3}=0$ (1) Gọi $x_1;x_2$ là hai nghiệm của (1). K giải pt hãy tính $x_1^3-x_2^3$

B3: Cho pt: $x^2-ax+1=0$ Tính $Q=x_1^6+x_2^6$ theo a.

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để pt bậc hai có nghiệm, vô nghiệm, ...

B4: X/đ m để pt sau có nghiệm kép: $4x^2+m^2+m=0$

Dạng 4: Lập một pt bậc hai biết một hoặc hai nghiệm của nó

B5: Lập pt bậc hai có hai nghiệm là 7; -10.

B6: Lập pt bậc hai có một nghiệm là $\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$

 

[eye_smile]

Chúc pic thành công nhá

B1: Giải pt sau:

a/ $2x^2-3x=0$

b/ $\sqrt{2}.x^2-3x+\sqrt{2}=0$

a,PT \Leftrightarrow $x(2x-3)=0$
\Leftrightarrow x=0 hoặc $x=\dfrac{3}{2}$

b, Xét $\Delta=9-4.\sqrt{2}.\sqrt{2}=1>0$
\Rightarrow PT có 2 nghiệm pb:

$x_1=\dfrac{3+1}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
$x_2=\dfrac{3-1}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

B2: Cho pt: $x^2-\sqrt{2}.x-2+\sqrt{3}=0$ (1) Gọi $x_1;x_2$ là hai nghiệm của (1). K giải pt hãy tính $x_1^3-x_2^3$

Xét thấy $\Delta>0$
\Rightarrow theo Vi-et, ta có: $x_1+x_2=\sqrt{2}$
$x_1.x_2=\sqrt{3}-2$
\Rightarrow $|x_1-x_2|=\sqrt{10-4\sqrt{3}}$
Có: ${x_1^3}-{x_2^3}=(x_1-x_2)[{(x_1+x_2)^2}-x_1.x_2]$
Thay vào tính BT

B3: Cho pt: $x^2-ax+1=0$ Tính $Q=x_1^6+x_2^6$ theo a.

ĐK:a \geq 2 hoặc a \leq -2
Khi đó, theo hệ thức Vi-et ta có:

$x_1+x_2=a$
$x_1.x_2=-1$
Ta có: ${x_1^6}+{x_2^6}=[{(x_1+x_2)^2}-2x_1.x_2].[{[{(x_1+x_2)^2}-2x_1.x_2]^2}-2{(x_1.x_2)^2}]$
Thay vào tính BT

 

[thinhrost1]

B. Bài tập:

Dạng 1: Giải phương trình bậc hai (dạng này dễ nên mình chỉ cho vài câu thôi)

B1: Giải pt sau:

a/ $2x^2-3x=0$

b/ $\sqrt{2}.x^2-3x+\sqrt{2}=0$

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức nghiệm đối xứng

B2: Cho pt: $x^2-\sqrt{2}.x-2+\sqrt{3}=0$ (1) Gọi $x_1;x_2$ là hai nghiệm của (1). K giải pt hãy tính $x_1^3-x_2^3$

B3: Cho pt: $x^2-ax+1=0$ Tính $Q=x_1^6+x_2^6$ theo a.

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để pt bậc hai có nghiệm, vô nghiệm, ...

B4: X/đ m để pt sau có nghiệm kép: $4x^2+m$2+m=0$

Dạng 4: Lập một pt bậc hai biết một hoặc hai nghiệm của nó

B5: Lập pt bậc hai có hai nghiệm là 7; -10.

B6: Lập pt bậc hai có một nghiệm là $\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$

B1:

$a)2x^2-3x=0$ (không biết có đuợc giải bằng cách ptdttnt không nữa)

$\Delta =(-3)^2-4.0.2=9$

Nên pt có nghiệm: $x_{1,2}=\dfrac{3 \pm \ \sqrt{9}}{2.2} $

Hay $x_1=0$ $x_2=\dfrac{3}{2}$

$b) \sqrt{2}.x^2-3x+\sqrt{2}=0$

$\Delta=(-3)^2-4.\sqrt{2}\sqrt{2}=1$
Nên pt có nghiệm:

$x_1,x_2=\dfrac{3 \pm \ \sqrt{1}}{2.\sqrt{2}}$

Hay $x_1=\dfrac{1}{\sqrt[]{2}},x_2=\sqrt{2}$

 

[phuong_july]

B1: Giải pt sau:

a/ $2x^2-3x=0$ (1)

b/ $\sqrt{2}.x^2-3x+\sqrt{2}=0$ (2)

Em xin được làm 2 câu dễ này.
a. (1) [imath]\Leftrightarrow x(2x-3)=0[/imath]
PT có tập: [imath]S=0;\dfrac{3}{2}[/imath]

b. (2) [imath]\Leftrightarrow \sqrt{2}.x^2-2x-x+ \sqrt{2}=0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (x- \sqrt{2})(\sqrt{2}.x-1)=0[/imath]
PT có tập: [imath]S=\sqrt{2}; \dfrac{1}{\sqrt{2}}[/imath]

 

[angleofdarkness]

Đi pr dầm dộ cho topic, mong là ít ra cũng thu hồi được vốn (công viết bài =)) =)) )

Mn làm nốt 3 bài nữa để mình đăng dạng khác.

 

[thinhrost1]

B5: Lập pt bậc hai có hai nghiệm là 7; -10.

$S=7+-10=-3$

$P=7.(-10)=-70$​

Ta thấy $S^2 >4P$ Nên ta có pt nhận 7 và -10 là nghiệm:

$X^2-S.X+P=0$

hay $x^2+3-70=0$​

À bài 4 là m.2 hay là m^2 vậy chị?

 

[eye_smile]

B6: Lập pt bậc hai có một nghiệm là $\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$

Ta có: $x_1=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}=-4+\sqrt{15}$
Lấy $x_2=-\sqrt{15}-4$
\Rightarrow lập đc PT:
${x^2}+8x+1=0$

 

[angleofdarkness]

$S=7+-10=-3$

$P=7.(-10)=-70$​

Ta thấy $S^2 >4P$ Nên ta có pt nhận 7 và -10 là nghiệm:

$X^2-S.X+P=0$

hay $x^2+3-70=0$​

À bài 4 là m.2 hay là m^2 vậy chị?

$m^2$

......................................................................

 

[eye_smile]

B4: X/đ m để pt sau có nghiệm kép: $4x^2+m^2+m=0$

PT có nghiệm kép \Leftrightarrow $\Delta=-16({m^2}+m)=0$
\Leftrightarrow m=0 hoặc m=-1

 

[angleofdarkness]

Dạng 5: Chứng minh một pt bậc hai có nghiệm, vô nghiệm, ... (dạng này có bài hơi khó)

B7: C/m pt sau có hai nghiệm trái dấu: $x^2-2x-m^2=0$

B8: C/m pt sau có nghiệm \forall m: $(x+3)(x+1)+m(x+2)(x+4)=0$

B9: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. C/m pt sau vô nghiệm: $b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2=0$

B10: C/m nếu $a_1a_2>2(b_1+b_2)$ thì có ít nhất một trong hai pt sau có nghiệm:
$$x^2+a_1x+b_1=0 \\ x^2+a_2x+b_2=0$$

B11: C/m nếu |a| + |b| > 2 thì pt sau có nghiệm: $2ax^2+bx+1-a=0$

 

[eye_smile]

B7: C/m pt sau có hai nghiệm trái dấu: $x^2-2x-m^2=0$

Phải có ĐK m khác 0 chứa nhỉ?
Xét $ac=1(-{m^2})=-{m^2}<0$
\Rightarrow PT có 2 nghiệm trái dấu

B8: C/m pt sau có nghiệm \forall m: $(x+3)(x+1)+m(x+2)(x+4)=0$

Nhân tung ra, được:
$(m+1){x^2}+2(3m+2)x+8m+3=0$
+$m=-1$,PT có nghiệm $x=-2,5$
+$m$ khác -1
Xét $\Delta'={(2+3m)^2}-(m+1)(8m+3)={m^2}+m+1>0$
\Rightarrow PT luôn có nghiệm

\Rightarrow đpcm

 

[eye_smile]

B9: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. C/m pt sau vô nghiệm: $b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2=0$

Xét $\Delta={({b^2}+{c^2}-{a^2})^2}-4{b^2}{c^2}=({b^2}+{c^2}-{a^2}-2bc)({b^2}+{c^2}-{a^2}+2bc)=(b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(a+b+c)<0$
\Rightarrow PT vô nghiệm

 

[angleofdarkness]

Xét $\Delta={({b^2}+{c^2}-{a^2})^2}-4{b^2}{c^2}=({b^2}+{c^2}-{a^2}-2bc)({b^2}+{c^2}-{a^2}+2bc)=(b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(a+b+c)<0$
\Rightarrow PT vô nghiệm

Cách khác:

$\Delta=(b^2+c^2-a^2)^2-4b^2c^2 \\ =b^4+c^4+a^4+2b^2c^2-2c^2a^2-2a^2b^2-4b^2c^2 \\ =b^4+c^4+a^4-2b^2c^2-2c^2a^2-2a^2b^2$

a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên a + b > c.

\Rightarrow $(a+b)^2>c^2$ \Rightarrow $a^2c^2+b^2c^2+2abc^2>c^4$

Tương tự \Rightarrow $a^2c^2+b^2c^2+2abc^2+b^2c^2+b^2a^2+2ab^2c+b^2a^2+a^2c^2+2a^2bc>c^4+b^4+a^4$

\Rightarrow $b^4+c^4+a^4-2b^2c^2-2c^2a^2-2a^2b^2>0$

đpcm.

P/S: kì công phân tích phết =))

 

[angleofdarkness]

Ta có: $x_1=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}=-4+\sqrt{15}$
Lấy $x_2=-\sqrt{15}-4$
\Rightarrow lập đc PT:
${x^2}+8x+1=0$

Có $x=-4+\sqrt{15}$ \Leftrightarrow $x+4=\sqrt{15}$

Lúc này bình lên là mất căn, nhanh hơn, K cần chỉ ra $x_2$.

 

[letsmile519]

B10: C/m nếu $a_1a_2>2(b_1+b_2)$ thì có ít nhất một trong hai pt sau có nghiệm:
$$x^2+a_1x+b_1=0 \\ x^2+a_2x+b_2=0$$

B10:

Ta có $\Delta _1=a_1^2-4b_1;\Delta _2=a_2^2-4b_2$

\Rightarrow $\Delta _1+\Delta _2=a_1^2-4b_1+a_2^2-4b_2$

Theo GT thì => $-2a_1.a_2<-4(b_1+b_2)$

\Leftrightarrow $\Delta _1+\Delta _2>a_1^2+a_2^2-2a_1a_2=(a_1+a_2)^2$\geq0

\Rightarrow tồn tại ít nhất 1 trong 2 pt có nghiệm

 

[letsmile519]

B11: C/m nếu |a| + |b| > 2 thì pt sau có nghiệm: $2ax^2+bx+1-a=0$

xét a=0 -> b khác 0 => $x=-1/b$ (có nghiệm)

Ta có $\Delta =b^2-4.2a(1-a)=b^2-8a+8a^a$

theo GT ta có $b^2>(2-\left |a \right |)^2$

$\Delta>(2-\left |a \right |)^2-8a+8a^2$

\Leftrightarrow $\Delta>4+9a^2-4\left | a \right |-8a$

Xét a âm được

$\Delta>9a^2-4a+8a+4=5a^2+(2a+2)^2>0$ (t.m)

Xét a dương được

$\Delta>9a^2-12a+4=(3a-2)^2$\geq0

P.s: chúc mừng chúc mừng.....topic rất chi là sôi nổi....nhưng mà toàn t/mod ...it men giống topic mình vậy !! )

 

[angleofdarkness]

B10:

Ta có $\Delta _1=a_1^2-4b_1;\Delta _2=a_2^2-4b_2$

\Rightarrow $\Delta _1+\Delta _2=a_1^2-4b_1+a_2^2-4b_2$

Theo GT thì => $-a_1.a_2<-4(b_1+b_2)$

\Leftrightarrow $\Delta _1+\Delta _2>a_1^2+a_2^2-2a_1a_2=(a_1+a_2)^2$\geq0

\Rightarrow tồn tại ít nhất 1 trong 2 pt có nghiệm

Chỗ màu đỏ k đúng, gt \Rightarrow $-a_1.a_2<-2(b_1+b_2)<-4(b_1+b_2)$- 2 < - 4 (vô lí mà)

Bạn xem lại giúp mình.

 

[eye_smile]

B10: C/m nếu $a_1a_2>2(b_1+b_2)$ thì có ít nhất một trong hai pt sau có nghiệm:
$$x^2+a_1x+b_1=0 \\ x^2+a_2x+b_2=0$$

Ta có: $\Delta_1+\Delta_2={a_1^2}+{a_2^2}-4(b_1+b_2)={(a_1-a_2)^2}+2a_1.a_2-4(b_1+b_2)>0$
\Rightarrow Có ít nhất 1 trong 2 PT có nghiệm

p.s:Mất mạng(