tớ đã quay trở lại......mấy ngày trc' tớ đang đinh post bài thì ngay lúc đó tớ nhận đc tin bà nội tớ mất.......tớ suy sụp.......không còn khả năng post bài nhưng hôm nay tớ sẽ post bài....hiện tại thì chắc tớ sẽ ít onl hơn....tớ đang buồn....các bạn cứ chăm học nhé
--------------------------
Các phương pháp chứng minh BẤT ĐẲNG THỨC
I. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa
[TEX]a > b \Leftrightarrow a – b > 0[/TEX]
[TEX]a \geq b \Leftrightarrow a-b\geq0[/TEX]
2. Tính chất
• a<b\Leftrightarrow b>a
• a<b;b<c\Leftrightarrow a<c
• a<b \Rightarrow a+c<b+c
• a<b,c<d \Rightarrow a+c<b+d
• a<b,c>0 \Rightarrow ac<bc
• a<b, c<0 \Rightarrow ac>bc
• [TEX]0 \leq a \leq b ;0 \leq c \leq d\Rightarrow 0 \leq ac \leq bd[/TEX]
• a > b > 0 \Rightarrow [TEX] a^n > b^n [/TEX] vs mọi n
a > b\Rightarrow [TEX] a^n > b^n[/TEX] vs n lẻ
|a| > |b| \Rightarrow [TEX] a^n>b^n[/TEX] vs n chẵn
• m > n > 0;a > 1\Rightarrow [TEX]a^m > a^n[/TEX]
m > n > 0;a < 1\Rightarrow [TEX]a^m < a^n[/TEX]
• a < b,ab > 0\Rightarrow [TEX] \frac{1}{a} > \frac{1}{b}[/TEX]
3. Các bất đẳng thức cần nhớ
• [TEX] a^2 \geq 0[/TEX] vs mọi a, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=0
• |a| \geq 0 vs mọi a, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=0
• [TEX] \sqrt{a} \geq 0[/TEX] vs mọi a \geq 0, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=0
• -|a| \leq a \leq |a|; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=0
• |a+b| \leq |a|+|b|, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab \geq 0
• |a-b| \geq |a|-|b|, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab \geq 0
• Bất đẳng thức tam giác: Nếu a,b,c là số đo 3 cạnh of tam giác thì
a,b,c > 0; |b-c| < a < b+c; |a-c| < b < a+c; |a-b| < c < a+b
• Bất đẳng thức Cô-si
Cho 2 số: a\ geq 0; b \geq 0 \Rightarrow [TEX]\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}[/TEX].
Dấu bằg xảy ra khi và chỉ khi a=b
Cho n số:[TEX] a_1,a_2,....,a_n[/TEX] không âm \Rightarrow [TEX] a_1+a_2+...+a_n \geq \sqrt[n]{a_1a_2....a_n}[/TEX]
• Bất đẳng thức bunhiacopxki
Cho 2n số [TEX] a_1,a_2,....,a_n;b_1,b_2,......,b_n[/TEX] thì
+ [TEX](a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2 \leq (a_1^2+a_2^2+....+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+....+b_n^2)[/TEX]
+ [TEX]|a_1b_1+a_2b_2+....+a_nb_n| \leq \sqrt{(a_1^2+a_2^2+....+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)}[/TEX]
Dấu bằg xảy ra khi và chỉ khi [TEX]\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}[/TEX]
II. Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức và bai tập áp dụng
Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩaĐể c/m BĐT [TEX] A \geq B\Leftrightarrow A-B \geq 0 [/TEX]
Lưu í các hằng đẳng thức:
[TEX] (a \pm b)^2=a^2 \pm 2ab+ b^2 \geq 0 [/TEX]
[TEX](a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac \geq 0 [/TEX]
Bài 1: Cmr vs mọi x,y ta luôn có
a, [TEX] \frac{x^2+y^2}{4} \geq xy [/TEX]
b, [TEX] x^2+y^2+1 \geq xy+x+y [/TEX]
c, [TEX] x^4+y^4 \geq xy^3+x^3y [/TEX]
Bài 2: Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn [TEX] 0 < a \leq b \leq c [/TEX]. Cmr
a, [TEX] \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} [/TEX]
b, [TEX] \frac{c}{a}+\frac{b}{c} \geq \frac{b}{a}+\frac{a}{b}[/TEX]
Bài 3: Cho a < b < c < d. Hãy sắp xếp thứ tự tăng dần các số
x = (a+b)(c+d)
y = (a+c)(b+d)
x = (a+d)(b+c)
Phương pháp 2: Sử dụng tính bắc cầu
[TEX] A \geq B [/TEX] và [TEX] B \geq C [/TEX ] thì [TEX] A \geq C [/TEX].
Lưu í:
+ [TEX] 0 \leq x \leq 1 [/TEX] thì [TEX] x^2 \leq x [/TEX] (Vì [TEX] x-x^2=x(1-x) \geq 0 [/TEX] )
+ [TEX] (1-x)(1-y)(1-z)=1-x-y-z+xy+xz+yz-xyz [/TEX]
Bài 4: Cho [TEX] 0 \leq x,y,z\leq 1 [/TEX], cmr
a, [TEX] 0 \leq x+y+z-xy-yz-xz \leq 1 [/TEX]
b, [TEX] x^2+y^2+z^2 \leq 1+x^2y+y^2z+z^2x [/TEX]
c, [TEX] \frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1} [/TEX]
Bài 5: a, Cmr vs mọi [TEX] x > \sqrt{2} \ \ và\\y>\sqrt{2} [/TEX] ta có:
[TEX] x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4 > x^2+y^2 [/TEX]
b, Chứng minh [TEX] \frac{1}{2} < \frac{5-\sqrt{13}}{2} < 1 [/TEX]
Phương pháp 3: Dùng biến đổi tương đương
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương vs bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã đc Cm đúng. Chú í các hằng đẳng thức:
+ [TEX](a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 [/TEX]
+ [TEX] (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)[/TEX]
+ [TEX] a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)[/TEX]
Bài 6:
a, Với a,b,c > 0 chứng minh [TEX] \frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab} \geq 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c})[/TEX]
b, Cmr [/TEX] (x-1)(x-3)(x-4)(x-6)+10 \geq 1 [/TEX]
c, Cho [TEX] a \geq c \geq 0, b \geq c. Cm \sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{ab} [/TEX]
Bài 7: cm vs mọi x,y > 0 ta luôn có [TEX] \frac{x^3}{x^2+xy+y^2} \geq \frac{2x-y}{3} [/TEX]
Áp dụng cmr vs a,b,c > 0 ta luôn có
[TEX] \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2} \geq \frac{a+b+c}{3} [/TEX]
Bài 8: Cmr nếu a>0,b>0,c>0 thì [TEX] \frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b} >\frac{3}{a+b+c} [/TEX]
Phương pháp 4: Sử dụng các bất đẳng thức phụ
A. Bất đẳng thức phụ [TEX] x^2+y^2 \geq 2|xy| [/TEX]
Hệ qả: * [TEX] x^2+y^2 \geq 2xy [/TEX]
*[TEX](x+y)^2 \geq 4ab [/TEX]
Bài 9:
a, Cho a,b thỏa mãn [TEX] a^2+b^2 \leq 2 [/TEX], chứng minh [TEX] -2 \leq a+b \leq 2 [/TEX]
b, Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn [TEX] a^2 < bc \,\ b^2 < ac [/TEX]. Cm a+b < 2c
Bài 10: Cho a,b,c \geq 0 và a+b+c=1, Cm a+2b+c \geq 4(1-a)(1-b)(1-c)
B. Bất đẳng thức phụ [TEX] x+\frac{1}{x} \geq 2 [/TEX] (x > 0)
Hệ quả: * ab > 0 thì [TEX] \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2 [/TEX]
*ab < 0 thì [TEX] \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \leq -2 [/TEX]
Bài 11: Cho a,b,c > 0.Cmr:
a, [TEX] (a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \geq 4 [/TEX]
b, [TEX] (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 9 [/TEX]
c, [TEX] \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2} [/TEX]
Bài 12:
a, Cmr [TEX] \frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}\geq 2 [/TEX] vs mọi x
b, Hai số duơng a,b thoả mãn ab > a + b, cmr a+b >4
C. Bất đẳng thức phụ [TEX] x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+xz [/TEX]
Bài 13:
a, Cho a+b+c \neq 0, cmr [TEX] \frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{a+b+c} \geq 0 [/TEX]
b, Cho a+b+c=1, cmr [TEX] a^4+b^4+c^4 \geq abc [/TEX]
Bài 14:
a, Cho a,b,c thoả mãn [TEX] a^2+b^2+c^2 =1 [/TEX]. Cm [TEX] \frac{-1}{2} \leq ab+bc+ac \leq 1 [/TEX]
b, Cho a,b,c > 0. Cm [TEX] \frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3} \geq \frac {1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} [/TEX]
Phuơng pháp 5: Phương pháp phản chứng
Giả sử phải Cm BĐT nào đó đúng, ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp vs các giả thiết rồi suy ra điều vô lí. Điều vô lí có thể trái vs giả thiết, trái vs các tính chất, các định lí….Từ đó suy ra bất đẳng thức cần cm là đúng
Bài 15: Cho 3 số duơng a,b,c < 2. Cmr có ít nhất 1 trong các bất đẳng thức sau là sai
a(2-a) > 1 ; b(b-2) > 1 ; c(c-1) > 1
Bài 16: Cho các số thực a,b,c thoả mãn cả 3 điều kiện a+b+c > 0;ab+bc+ca > 0;abc > 0. Cmr cả 3 số a,b,c đều là số dương
Phuơng pháp 6: Dùng tính chất của tỷ số1, Cho 3 số dương a,b,c khi đó
a, Nếu [TEX] \frac{a}{b} <1 \\ thi \\ \frac{a}{b} <\frac{a+c}{b+c} [/TEX]
b, Nếu [TEX] \frac{a}{b} >1 \\ thi \\ \frac{a}{b} > \frac{a+b}{b+c}[/TEX]
2, Nếu b,d > 0 thì từ [TEX] \frac{a}{b} \leq \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{b} \leq {a+c}{b+d} \leq \frac{c}{d} [/TEX]
Bài 17: a,b,c là 3 số dương, cmr [TEX] 1 < \frac{a}{a+b} +\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} < 2 [/TEX]
Bài 18: Cho các số duơng [TEX] a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3 [/TEX] thoả mãn [TEX] \frac{a_1}{b_1} \leq \frac{a_2}{b_2} \leq \frac{a_3}{b_3} [/TEX]
Cmr [TEX] \frac{a_1}{b_1} \leq \frac{a_1+a_2+a_3}{b_1+b_2+b_3} \leq \frac{a_3}{b_3} [/TEX]
Phương pháp 7: Dùng bất đẳng thức tam giác
Nếu a,b,c là số đo 3 cạnh tam giác thì a,b,c > 0 và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < a+b
Bài 19: a,b,c là số đo 3 cạnh tam giác, cmr
a, [TEX]a^2+b^2+c^2 < 2(ab+bc+ca)[/TEX]
b, [TEX] abc \geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) [/TEX]
c, [TEX] a^3(b^2-c^2)+b^3(c^2-a^2)+c^3(a^2-b^2) < 0 [/TEX] vs a < b < c
Bài 20: Cho a,b,c là số đo 3 cạnh tam giác và có chu vi là 2
CMR [TEX] a^2+b^2+c^2+2abc < 2 [/TEX]
Phuơng pháp 8: Dùng phuơng pháp làm trội
Dùng các tính chất của bất đẳng thức để đưa một vế bất đẳng thức về dạng tính đc tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.
1. Phuơng pháp chung để tính tổng hữu hạn (sai phân hữu hạn)
[TEX]S= u_1+u_2+...+u_n [/TEX]
Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát [TEX] u_k [/TEX] về hiệu of 2 số hạng liên tiếp nhau [TEX] u_k=a_k-a_{k+1}[/TEX]. Khi đó [TEX] S=(a_1-a_2)+(a_2-a_3)+...+(a_n-a_{n+1})=a_1-a_{n+1} [/TEX]
2. Phuơng pháp chung để tính tích hữu hạn [TEX] p=u_1u_2…u_n[/TEX]
Ta biến đổi nhân tử [TEX] u_k[/TEX] về thuơng hai số liên tiếp [TEX] u_k=\frac{a_k}{a_{k+1}}[/TEX]
Khi đó [TEX] p=\frac{a_1}{a_2}.\frac{a_2}{b_2}....\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{a_1}{a_{n+1}}[/TEX]
Bài 21: Cho n số tự nhiên, cmr
a, [TEX] \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+....+\frac{1}{(n-1).n} < 1 [/TEX]
b, [TEX] \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2} < 2 - \frac{1}{n}[/TEX] (n > 1)
c, [TEX] \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...rac{1}{n^2} < \frac{5}{3}[/TEX]
Bài 22: Vs các số tụ nhiên n \geq 1, cmr
a, [TEX] \frac{1}{2}.\frac{3}{4}..\frac{2n-1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{2n+1}} [/TEX]
b, [TEX] \frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}} <2 [/TEX]
c, [TEX] \frac{1}{2\sqrt{n}}<\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{2n-1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{2n}}[/TEX]
Phuơng pháp 9: Bất đẳng thức Cô-si
1. Bất đẳng thức Cô-si cho 2 số
Cho a, b không âm (a \geq 0, b \geq 0 ), ta có bất đẳng thức [TEX] \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} [/TEX]
2. Bất đẳng thức Cô-si cho n số
Cho n số [TEX]a_1,a_2...,a_n[/TEX] không âm, ta có bất đẳng thức [TEX] \frac{a_1+a_2+....+a_n}{n} \geq \sqrt[n] {a_1a_2...a_n} [/TEX]
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [TEX] a_1 = a_2= ....= a_n [/TEX]
Bài 23: Chứng minh
a. [TEX] a+b+c \geq \sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc} \\\\ (a,b,c \geq 0 ) [/TEX]
b. [TEX] (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 9 \\\ (a,b,c > 0)[/TEX]
c. [TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq 3\\\(a,b,c > 0)[/TEX]
d. [TEX] a+\frac{1}{b(a-b)}\geq 3 \\\( vs a > b > 0) [/TEX]
Bài 24:
a. Cho a,b \geq 0, cm [TEX] a+b+\frac{1}{2} \geq \sqrt{a}+\sqrt{b}[/TEX]
b. [TEX] \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2} \geq \sqrt{2}(a+b+c)[/TEX]
c. Cho a,b,c là 3 cạh tam giác, cmr
[TEX]\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b} \leq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}[/TEX]
Phuơng pháp 10: Bất đẳng thức Bunhiacopxki
Cho 2n số [TEX]a_1,a_2,..,a_n;b_1,b_2,...,b_n[/TEX] ta luôn có
[TEX] (a_1b_1+a_2b_2+....+a_nb_n)^2 \leq (a_1^2+a_2^2+....a_n^2)(b_1^2+b_2^2+....b_n^2)[/TEX]
Hay [TEX] |a_1b_1+a_2b_2+....+a_nb_n| \leq \sqrt{(a_1^2+a_2^2+....+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+....b_n^2)}[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi [TEX]\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=....=\frac{a_n}{b_n}[/TEX]
Bài 25:
a. Cho [TEX] a^2+b^2+c^2=1[/TEX]. C/m [TEX]|a+2b+3c| \leq \sqrt{14}[/TEX]
b. Cho [TEX] a,b,c \geq 0 ; a+b+c=1[/TEX]. C/m [TEX]\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a} \leq \sqrt{6}[/TEX]
c. Cho [TEX]x^2+y^2=u^2+v^2=1[/TEX]. C/m[TEX]|u(x-y)+v(x+y)| \leq \sqrt{2}[/TEX]
Bài 26: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn [TEX]x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) \leq \frac{4}{3}[/TEX]. CMR [TEX] x+y+x \leq 4 [/TEX]
Phương pháp 11
ùng phương pháp chứng minh quy nạp
Để chứng minh bất đẳng thức đúng vs mọi [TEX] n \geq n_0[/TEX] ta thực hiện các bước sau:
1. Kiểm tra BĐT đúng vs [TEX] n=n_0[/TEX]
2. Giả sử BĐT đúng vs n=k (thay n=k vào BĐT cần chứng minh và BĐT có được gọi là giả thiết quy nạp)
3. Ta chứng minh BĐT đúng vs n=k+1 (thay n=k+1 vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để áp dụng giả thiết quy nạp).KL: BĐT đúng vs mọi [TEX] n \geq n_0 [/TEX]
Bài 27: Chứng minh các bất đẳng thức sau
a. [TEX]2^{n+2} > 2n+5 \\ vs\\ n \geq 1(n \in N) [/TEX]
b. [TEX]\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+....+\frac{1}{2n} > \frac{13}{24} (n>1)[/TEX]
c. [TEX]\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}....\frac{2n-1}{2n} \leq \frac{1}{\sqrt{3n+1}} (n \geq 1)[/TEX]
Bài 28: a,b,c là số đo ba cạnh of 1 tam giác vuông, vs c là cạnh huyền. CMR [TEX] a^{2n}+b^{2n} \leq c^{2n} (n \geq1, n \in N) [/TEX]
-----------
Có gì sai sót các bác cứ nói em xem xét ùi sẽ sửa
