Toán [Toán 9]Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9

[vitconcatinh_foreverloveyou]

please, help me!$$1, cm: a(1-a^2) \leq \frac{2}{3\sqrt{3}} (a>0)$$

2, cho tg ABC, BC=a, AC=b, AB=c$$m_a, m_b, m_c$$ là các đường trung tuyến tương ứng với 3 cạnh a,b,c .cm

$$a, \frac{a}{m_a} + \frac{b}{m_b} + \frac{c}{m_c} \geq 2\sqrt{3}$$

$$b, \frac{m_a}{a} + \frac{m_b}{b} + \frac{m_c}{c} \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

tks nhìu

 

[bboy114crew]

please, help me!$$1, cm: a(1-a^2) \leq \frac{2}{3\sqrt{3}} (a>0)$$

2, cho tg ABC, BC=a, AC=b, AB=c$$m_a, m_b, m_c$$ là các đường trung tuyến tương ứng với 3 cạnh a,b,c .cm

$$a, \frac{a}{m_a} + \frac{b}{m_b} + \frac{c}{m_c} \geq 2\sqrt{3}$$

$$b, \frac{m_a}{a} + \frac{m_b}{b} + \frac{m_c}{c} \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

tks nhìu

Bạn xem tại đây:
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=139244

 

[duynhan1]

1, cho x,y>0. tìm min
$$A= \frac{(x+y)^3}{xy^2}$$
2. tìm min
$$B= \frac{\overline{abc}}{a+b+c}$$
tks nhìu

Bài 1: Áp dụng BĐT Co-si ta có:
[TEX]xy^2 = 4. x .\frac{y}{2} . \frac{y}{2} \le 4 ( \frac{x+y}{3} )^3 [/TEX]

Bài 2:
[TEX]B = 1 + \frac{99a+9b}{a+b+c} \ge 1 + \frac{99a+9b}{a+b+9} = 10 + \frac{99a-81}{a+b+9} \ge 10 + \frac{99a-81}{a+9+9} (do\ 99a - 81 >0) \ \ = 10 + \frac{99a-81}{a+18} = 109 + \frac{-81-18.99}{a+18} \ge 109 + \frac{-81-18.99}{1+18}[/TEX]
Tóm lại nhỏ nhất khi a=1, b = 9, c=9

 

[asroma11235]

please, help me!$$1, cm: a(1-a^2) \leq \frac{2}{3\sqrt{3}} (a>0)$$

2, cho tg ABC, BC=a, AC=b, AB=c$$m_a, m_b, m_c$$ là các đường trung tuyến tương ứng với 3 cạnh a,b,c .cm

$$a, \frac{a}{m_a} + \frac{b}{m_b} + \frac{c}{m_c} \geq 2\sqrt{3}$$

$$b, \frac{m_a}{a} + \frac{m_b}{b} + \frac{m_c}{c} \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

tks nhìu

Bài 1:
<=>[TEX]3\sqrt{3}a^3 - 3\sqrt{3}a +2 \geq 0[/TEX] (*)
Đặt: [TEX]\sqrt{3}a = t[/TEX]
(*) <=> [TEX]t^3-3t+2 \geq 0[/TEX]
<=>[TEX](t-1)^2(t+2) \geq 0[/TEX]
Đẳng thức xảy ra <=> [TEX]a=\frac{1}{\sqrt{3}}[/TEX]
p/s:mạng nát >"< , nhờ mod del giùm cái trên đi

 

[vitconcatinh_foreverloveyou]

$$1. \Delta ABC, \hat{A} \geq \hat{B} \geq \hat{C}.cm$$

$$\frac{{h^2}_a}{{h^2}_b} + \frac{{h^2}_b}{{h^2}_c} + \frac{{h^2}_c}{{h^2}_a} \geq \frac{h_a}{h_b} + \frac{h_b}{h_c} + \frac{h_c}{h_a}$$

[tex]2. \Delta ABC, BC=a, AB=AC=b, p/g \hat{C} \cap AB = \big{D} / DA + DC=a.CM :a^3 + b^3=3ab^2[/tex]
tks nhìu

 

[ngocanh_181]

mÍ cÂu thi HSG chỗ mIk` ^^

1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = [TEX]3sin\alpha + \sqrt{3}cos\alpha[/TEX]
Khi đó góc nhọn [TEX]\alpha[/TEX] có giá trị bằng bao nhiêu ?
2.Tìm [TEX]n \in N[/TEX] để n+18 và n-41 là 2 số chính phương
3. Cho [TEX]\triangle ABC[/TEX], AB = c, BC =a, CA =b và b+c =2a. AD là phân giác trong góc A. Tinh AD theo b,c

 

[asroma11235]

Bài 1:
Dùng Holder (hay Bunhiacopxki):
[TEX](3sina+ \sqrt{3}cosa) \leq (3^2+3)(sin^2a+cos^2a)[/TEX]
=>[TEX]P \leq \sqrt{12}[/TEX]
ĐT xảy ra <=> [TEX]\alpha =60^0[/TEX]

 

[vitconcatinh_foreverloveyou]

1. cho điểm A nằm ở miền trong của 2 đt // a và b. Hãy dựng điểm B trên a, C trên b sao cho tg ABC vuông tại A có dt nhỏ nhất.
2. giải hệ

$$\left\{ \begin{array}{l} x^2 + xy - y^2 =5 \\ \frac{y}{x} - \frac{2x}{y} = \frac{-5}{2} - \frac{2}{xy} \end{array} \right.$$

 

[thienlong_cuong]

$$1. \Delta ABC, \hat{A} \geq \hat{B} \geq \hat{C}.cm$$

$$\frac{{h^2}_a}{{h^2}_b} + \frac{{h^2}_b}{{h^2}_c} + \frac{{h^2}_c}{{h^2}_a} \geq \frac{h_a}{h_b} + \frac{h_b}{h_c} + \frac{h_c}{h_a}$$

[tex]2. \Delta ABC, BC=a, AB=AC=b, p/g \hat{C} \cap AB = \big{D} / DA + DC=a.CM :a^3 + b^3=3ab^2[/tex]
tks nhìu

bài 1 dịch ra ngôn ngữ đại thì
[TEX] \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} + \frac{c^2}{a^2} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} [/TEX]

Luôn đúng vì
[TEX](\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} + \frac{c^2}{a^2})(1 + 1 + 1) \geq [\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}]^2 [/TEX]

Mà [TEX]\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq 3[/TEX]

 

[duynhan1]

Anh *** hình nên chỉ giúp em được bài hê này thôi

2. Giải hệ:
$$\left\{ \begin{array}{l} x^2 + xy - y^2 =5 \\ \frac{y}{x} - \frac{2x}{y} = \frac{-5}{2} - \frac{2}{xy} \end{array} \right.$$

Điều kiện: [TEX]xy \not= 0[/TEX]
[TEX]\left{ x^2 + xy - y^2 =5 \\ \frac{y}{x} - \frac{2x}{y} = \frac{-5}{2} - \frac{2}{xy} \right. \\ \Leftrightarrow \left{ x^2 + xy - y^2 = 5 \\ y^2 - 2x^2 + \frac52 xy = -2 \right. \Rightarrow -2( x^2 + xy - y^2) = 5( y^2 - 2x^2 + \frac52 xy)[/TEX]
Phân tích cái trên thành nhân tử nhé.

Để phân tích cái:[TEX] ax^2 + b xy + cy^2 = 0[/TEX] ta chia 2 vế cho y^2 thì ta sẽ có [TEX]a (\frac{x}{y})^2 + b ( \frac{x}{y}) + c = 0[/TEX], cái này thì quen rồi.
Ví dụ: Ta muốn phân tích [TEX]x^2 - 5xy + 6 y^2 = 0[/TEX], chia như trên có 2 nghiệm là 2, 3 do đó phương trình trên tương đương [TEX](x-2y)(x-3y) = 0[/TEX]

 

[linhhuyenvuong]

Cho a,b,c dương và abc=1
CM: [TEX]a^n+b^n+c^n \geq a^{n-1} +b^{n-1} +c^{n-1}[/TEX]

 

[asroma11235]

Giả sử [TEX]a \geq b \geq c[/TEX]
Áp dụng BDT chebyshev cho hai dãy đơn điệu cùng tăng [TEX]a,b,c[/TEX] và [TEX]a^{n-1},b^{n-1},c^{n-1}[/TEX] , ta có:
[TEX]a^{n-1}.a+b^{n-1}.b +c^{n-1}.c \geq \frac{1}{3}(a+b+c)(a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1})[/TEX]
Mặt khác: [TEX]a+b+c \geq 3[/TEX] (do abc=1)
Từ đây suy ra đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1

 

[linhhuyenvuong]

Giả sử [TEX]a \geq b \geq c[/TEX]
Áp dụng BDT chebyshev cho hai dãy đơn điệu cùng tăng [TEX]a,b,c[/TEX] và [TEX]a^{n-1},b^{n-1},c^{n-1}[/TEX] , ta có:
[TEX]a^{n-1}.a+b^{n-1}.b +c^{n-1}.c \geq \frac{1}{3}(a+b+c)(a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1})[/TEX]
Mặt khác: [TEX]a+b+c \geq 3[/TEX] (do abc=1)
Từ đây suy ra đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c

BĐT Chebyshev ko đc học chính thức nên khi dùng phải c/m.
Mà bài này cô chỉ cho vận dụng BĐT cô-si thôi!!!!!

Cho hình vuông ABCD. M,N,P,Q thuộc cac cạnh AB,BC,CD,DA.
Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác MNPQ.( làm bằng nhiều cách)

 

[asroma11235]

BĐT Chebyshev ko đc học chính thức nên khi dùng phải c/m.
Mà bài này cô chỉ cho vận dụng BĐT cô-si thôi!!!!!

Cho hình vuông ABCD. M,N,P,Q thuộc cac cạnh AB,BC,CD,DA.
Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác MNPQ.( làm bằng nhiều cách)

Cho a,b,c dương và abc=1
CM: [TEX]a^n+b^n+c^n \geq a^{n-1} +b^{n-1} +c^{n-1}[/TEX]

Cho hẳn bài tổng quát:
[TEX]a_{1}^k+...+a_{n}^k \geq a_{1}^{k-1}+...+a_{n}^{k-1}[/TEX]
Lời giải dùng AM-GM:
[TEX](k-1)a^{k}+1 = a^{k}+a^{k}+...+1 \geq k\sqrt[k]{a^{k(k-1)}}=k.a^{k-1}[/TEX]
Thế a bởi [TEX]a_{1};a_{2},..,a_{n}[/TEX] ta được:
[TEX](k-1)(a_{1}^{k}+...+ a_{n}^k )+n \geq k(a_{1}^{k-1}+...+ a_{n}^{k-1})[/TEX] (+)
Từ VP của BĐT(+) ,ta thấy chỉ cần chỉ ra: [TEX]a_{1}^{k-1}+...+ a_{n}^{k-1} \geq n[/TEX] là bđt xong!
Ta có:
[TEX]a^{k-1}+ (k-2)=a^{k-1}+1+...1 \geq (k-1). \sqrt[k-1]{a^{k-1}}=(k-1)a[/TEX]
Thay a bởi [TEX]a_{1};a_{2},..,a_{n}[/TEX] ta được:
[TEX]a_{1}^{k-1}+...+ a_{n}^{k-1} + n(k-2) \geq (k-1)(a_{1}+..+a_{n})=(k-1)n [/TEX] (Vì [TEX]a_{1}...a_{n}=1[/TEX])
\Rightarrow[TEX]a_{1}^{k-1}+...+ a_{n}^{k-1} \geq n[/TEX]
Đẳng thức xảy ra <=> [TEX]a_{1}=....= a_{n}=1[/TEX]
End.!!!
p/s: Ai nói với bạn là chebyshev ko dc dùng ở cấp 2!!!!!
Ngay đến cả schwarz ta vẫn được dùng kia mà

 

[hung9dhandsome]

mình post 1 bài nha
5) Tìm Min và Max của : A = ((2 nhân x bình)+1+x) / ((x bình) +1)

 

[asroma11235]

mình post 1 bài nha
5) Tìm Min và Max của : A = ((2 nhân x bình)+1+x) / ((x bình) +1)

Đặt [TEX]y= \frac{2x^2+x+1}{x^2+1}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow y(x^2+1)=2x^2+x+1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2(2-y)+x+1-y=0[/TEX]
[TEX]\triangle_{x}= -4y^2+12y-7 \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[y\geq \frac{3- 2\sqrt{2}}{2} \\ y \leq \frac{3+ 2\sqrt{2}}{2} [/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{3+ 2\sqrt{2}}{2} \geq A \geq \frac{3- 2\sqrt{2}}{2}[/TEX]

 

[ph2k11]

Dạng II : Biến đổi đồng nhất. Có giải:
1 số bài cho mọi người tham khảo thêm:
a/ Cho Cho x,y,z là các số âm thoả mãn:

x + xy + y = 1

y + zy + z = 3
z + zx + x = 7
​

Tính M = x + [TEX]y^2[/TEX] + [TEX]z^3[/TEX]

Giải:
​

Biến đổi:
x + xy + y = 1 \Leftrightarrow x(y+1) + (y + 1) = 1 +1 \Leftrightarrow (x+1)(y+1) = 2
y + zy + z = 3 \Leftrightarrow (y+1) + (y + 1)z = 3+1 \Leftrightarrow (y+1)(x+1) = 4
z + zx + x = 7 \Leftrightarrow (x+1) + z(x+1) = 7+1 \Leftrightarrow (x+1)(z+1) = 8
\Rightarrow [TEX](x+1)^2 (y-1)^2 (z+1)^2[/TEX] = 64
ĐS: M= 1 + [TEX]0^2[/TEX] + [TEX]3^3[/TEX] = 28

b/ Cho 4 số nguyên a,b,c,d thỏa mãn:
a+b=c+d và ab + 1 = cd
C/m: c=d

Giải​

Từ gt ta có: a = c+d-b thay vào ab + 1 = cd
Lại có: (c+d-b)b + 1 = cd \Rightarrow b (d-b) +cd - cd +1 = 0
\Rightarrow (d-b)(b-c) = -1
Vì a,b,c là các số nguyên :
\Rightarrow -d+b = b - c = 1 hoặc -d + b = b -c = -1
Vậy c =d

 

[echcon_997]

Dạng II : Biến đổi đồng nhất. Có giải:
1 số bài cho mọi người tham khảo thêm:
a/ Cho Cho x,y,z là các số âm thoả mãn:

x + xy + y = 1

y + zy + z = 3
z + zx + x = 7
​

Tính M = x + [TEX]y^2[/TEX] + [TEX]z^3[/TEX]

Giải:
​

Biến đổi:
x + xy + y = 1 \Leftrightarrow x(y+1) + (y + 1) = 1 +1 \Leftrightarrow (x+1)(y+1) = 2
y + zy + z = 3 \Leftrightarrow (y+1) + (y + 1)z = 3+1 \Leftrightarrow (y+1)(x+1) = 4
z + zx + x = 7 \Leftrightarrow (x+1) + z(x+1) = 7+1 \Leftrightarrow (x+1)(z+1) = 8
\Rightarrow [TEX](x+1)^2 (y-1)^2 (z+1)^2[/TEX] = 64
ĐS: M= 1 + [TEX]0^2[/TEX] + [TEX]3^3[/TEX] = 28

b/ Cho 4 số nguyên a,b,c,d thỏa mãn:
a+b=c+d và ab + 1 = cd
C/m: c=d

Giải​

Từ gt ta có: a = c+d-b thay vào ab + 1 = cd
Lại có: (c+d-b)b + 1 = cd \Rightarrow b (d-b) +cd - cd +1 = 0
\Rightarrow (d-b)(b-c) = -1
Vì a,b,c là các số nguyên :
\Rightarrow -d+b = b - c = 1 hoặc -d + b = b -c = -1
Vậy c =d

Cho thêm bài áp dụng đi bạn___________________________________________

 

[hoang19697]

Mình ôn theo những dạng như sau:
Dạng 1: RÚT GỌN.
Dạng 2: VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ.
Dạng 3: RÚT GỌN, C/M BIỂU THỨC CHỨA CĂN CÓ QUY LUẬT.
HÀM SỐ BẬC NHẤT
Dạng 1: Tìm ĐK để hàm số y=ax+b đồng biến, nghịch biến trên R.
*PP:
- Biến đổi hàm số đã cho về dạng tổng quát y=ax+b.
- Giải ĐK: a>0 => hàm đồng biến
a<0 => hàm nghịch biến
Dạng 2: Tìm ĐK để đồ thị hàm số y=ax+b đi qua I(x0;y0).
*PP:
- Thay x=x0; y=y0 vào hàm số đã cho và giải ptr tìm được.
(còn nhiều dạng lắm nhưng hôm nay mình chỉ viết được đến đây thôi, hôm sau mình viết tiếp)

 

[hocmajthojnhj]

Cho mình hỏi khi nào các bạn thi vậy
Mình cũng sắp thi rùi thì phải