Toán [Toán 9]Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9

Thảo luận trong 'Tổng hợp Đại số' bắt đầu bởi cattrang2601, 30 Tháng chín 2011.

Lượt xem: 69,019

Trạng thái chủ đề:
Không mở trả lời sau này.

  1. mik` có một số đề làm ko xuể nhờ các bạn cùng làm một tay
    1, cm các bdt
    [tex] a, a + \frac{1}{b(a-b)} \geq 3 \forall a>b>0 [/tex]

    [tex] b, a+ \frac{4}{(a-b)(b+1)^2} \geq 3 \forall a> b \geq 0[/tex]

    [tex] c, a+ \frac{1}{b(a-b)^2} \geq 2.\sqrt{2} \forall a>b>0[/tex]

    [tex] d, \frac{2a^3 +1}{4b(a-b)} \geq 3 \forall a \geq \frac{1}{2} , a>b [/tex]

    [tex] e, a+ \frac{4a^3}{(a-1)(a+1)^2} >3 \forall a>1[/tex]


    2, tìm min
    [tex] A= \frac{1}{1+ab} + \frac{1}{1+bc} + \frac{1}{1+ca} (a,b,c>0 ; a^2+b^2+c^2 \leq 3 )[/tex]

    [tex] A= \frac {1}{a^2+b^2+c^2} +\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} (a,b,c>0; a+b+c=1)[/tex]

    tks nhìu
     
  2. 1)Ta có [TEX]a-b+b+\frac{1}{b(a-b)}\geq3[/TEX]( Cosi)
    2)[TEX]a-b+\frac{b+1}{2}+\frac{b+1}{2}+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}-1\geq3[/TEX](cosi)
    3)[TEX]\frac{a-b}{2}+\frac{a-b}{2}+b+\frac{1}{b(a-b)^2}\geq2\sqrt{2}[/TEX]
    Nếu có tg s làm tiếp cho, giờ s phải học bài đã
     
    Last edited by a moderator: 2 Tháng mười 2011
  3. cattrang2601

    cattrang2601 Guest

    Tui chữa lại bài ông toàn chút nha
    Câu D không phải bằng 1 đâu nha :D
    Câu C nên làm theo cách này
    [TEX]C=\sqrt{94-42\sqrt{5}}-\sqrt{94+42\sqrt{5}[/TEX]

    [TEX]C=\sqrt{49-42\sqrt{5}+45}-\sqrt{49+42\sqrt{5}+45}[/TEX]

    [TEX]C=(7-3\sqrt{5})-(7+3\sqrt{5})[/TEX]

    [TEX]C=-6\sqrt{5}[/TEX]
     
  4. bboy114crew

    bboy114crew Guest

    Ta có:
    [TEX]A= \frac{1}{1+ab} + \frac{1}{1+bc} + \frac{1}{1+ca} (a,b,c>0 ; a^2+b^2+c^2 \leq 3 )[/TEX]
    [TEX]\geq \frac{9}{3+\sum ab} \geq \geq \frac{9}{3+\sum a^2} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
    phần còn lại ở đây:
    http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=44666&st=90
     
    Last edited by a moderator: 3 Tháng mười 2011
  5. 01263812493

    01263812493 Guest

    [TEX]\blue A \geq \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ac}= \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+ac+bc}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{7}{ab+bc+ac} \geq \frac{(1+1+1)^2}{(a+b+c)^2}+\frac{7}{\frac{(a+b+c)^2}{3}}=...[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 3 Tháng mười 2011
  6. bboy114crew

    bboy114crew Guest

    d.
    Ta có:
    [TEX]\frac{2a^3 +1}{4b(a-b)} \geq 3 \forall a \geq \frac{1}{2}[/TEX]
    [TEX]\Leftrightarrow 2a^3+1+12b^2 \geq 12ab[/TEX]
    áp dụng BDT AM-GM ta co:
    [TEX]a^3+a^3+1 \geq 3a^2 [/TEX]
    ta sẽ CM:
    [TEX]3a^2+12b^2\ geq 12ab \Leftrightarrow a^2+4b^2 \geq 4ab[/TEX]
    Đúng theo AM-GM!
    e.cứ biến đổi tương đương!
    hoặc là bài này:
    http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?p=1698451#post1698451
    Bài trêm của cậu ở đây mà!
    http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=44666&st=90
     
    Last edited by a moderator: 3 Tháng mười 2011
  7. echcon_997

    echcon_997 Guest

    Cho em hỏi cái \sum_{i=1}^k a_i^n là gì thế ạ, em thấy nó trong nhiều sách nhưng 0 hiểu lắm!:(:(:(:(
     

  8. cái này còn có cách khác mà e đc chữa

    [TEX]d, \frac{2a^3 +1}{4b(a-b)} \geq 3 \forall a \geq \frac{1}{2}[/TEX]

    áp dụng BDT [TEX](x+y)^2 \geq 4xy[/TEX]

    [TEX]\rightarrow 0< 4b(a-b) \leq (b+a-b)^2 = a^2[/TEX]

    [TEX]\rightarrow \frac{2a^3 +1}{4b(a-b)} \geq \frac{2a^2 +1}{a^2}[/TEX]

    [TEX]= 2a +\frac{1}{a^2} = a+a+ \frac{1}{a^2} \geq 3[/TEX]

    [TEX]e, a(a-1)(a+1)^3 = 27.(a-1).\frac{a+1}{3} . \frac{a+1}{3} . \frac{a+1}{3}[/TEX]

    [TEX]\leq 27.(\frac{(a-1) + \frac{a+1}{3} + \frac{a+1}{3} + \frac{a+1}{3}}{4})^4[/TEX]

    [TEX]= 27. \frac{a^4}{16}[/TEX]

    [TEX]\rightarrow a+ \frac{4a^3}{(a-1)(a+1)^3} \geq a+ \frac{64}{27a}\geq 2.\sqrt{a.\frac{64}{27a}} >3 [/TEX]
     
  9. thêm bài nữa
    1. cm bdt

    [tex] a, \frac{x^3}{zy} + \frac{y^3}{zx} +\frac{z^3}{xy} \geq x+y+z ( \forall x,y,z>0)[/tex]

    [tex] \sqrt{x+y+z} \geq \sqrt{x-1} + \sqrt{y-1} + \sqrt{z-1} ( x,y,z \geq 1 ; \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2 ) [/tex]

    [tex] \sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{y^2 + \frac{1}{y^2}} + \sqrt{z^2 +\frac{1}{z^2}} \geq \frac {3}{2} .\sqrt{17}[/tex]

    2.tìm min

    [tex] a, P= \frac{4a}{b+c-a} + \frac{9b}{a+c-b} + \frac{16c}{a+b-c}[/tex]

    [tex] b, A= \frac{1+x^4}{x(x-1)(x+1)} (x>1)[/tex]

    [tex] c, A= \frac{x^2}{x+y} +\frac{y^2}{y+z} + \frac{z^2}{z+x} ( x,y,z>0 ; \sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx} =1)[/tex]

    [tex] d, B= \frac{x^3}{x^2 + xy + y^2} + \frac{y^3}{y^2 + yz + z^2} + \frac{z^3}{z^2 + zx + x^2} (x,y,z>0 ; x+y+z =9 ) [/tex]
     
    Last edited by a moderator: 9 Tháng mười 2011
  10. Tổng hoán vị ấy mà, hồi tr' cũng chả hỉu @@

    Ví dụ như đề cho là a,b,c thì viết [TEX]\sum{a}[/TEX] có nghĩa là tổng a+b+c
     
  11. bboy114crew

    bboy114crew Guest

    Gợi ý:
    1.
    a)[TEX] \frac{x^3}{zy} + \frac{y^3}{zx} \geq 2\frac{xy}{z} [/TEX](AM-GM)
    Làm tương tự rôi cộng lại:
    [TEX]\frac{x^3}{zy} + \frac{y^3}{zx} +\frac{z^3}{xy} \geq\sum\frac{xy}{z}[/TEX]
    Ta lại có:
    [TEX]\frac{xy}{z} +\frac{zy}{x} =y(\frac{x}{z} +\frac{z}{x} ) \geq 2y[/TEX]
    Làm tương tự rồi cộng lại ta được DPCM!
    b)Dùng Cauchy-schwarz
    c.)Dùng mincopxki (đó cũng là một dạng của Cauchy-schwarz)
    2.
    a. Đặt [TEX]b+c-a=x;a+c-b=y;a+b-c=z[/TEX]
    Từ đó tính a,b,c theo x,y,z sau dó dùng AM-GM
    b.
    c. http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=146076
    d. dùng đẳng thức:
    [TEX]\frac{x^3}{x^2 + xy + y^2} + \frac{y^3}{y^2 + yz + z^2} + \frac{z^3}{z^2 + zx + x^2} =\frac{y^3}{x^2 + xy + y^2} + \frac{z^3}{y^2 + yz + z^2} + \frac{x^3}{z^2 + zx + x^2} [/TEX]
     
  12. giúp mik` mấy bài hình này
    1, cho t/g ABC có 3 góc nhọn , đường cao AH, p/g AD , BC=a, AC=b, AB=c, AH=h, AD=d , p= (a+b+c)/2 . cm
    [tex]a, d^2 = \frac{bc[(b+c)^2 - a^2]}{(b+c)^2}[/tex]

    [tex]b, h^2= \frac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{a^2}[/tex]

    [tex]2, \Delta ABC , D \in BC . CM[/tex]

    [tex] AB^2.CD + AC^2.BD - AD^2.BC = DB.DC.BC[/tex]

    [tex] 3, \Delta ABC , BC=a, AC=b, AB=c, [/tex] đ c t/ư [tex]h_a , h_b, h_c . CM[/tex]


    [tex] a, \frac{1}{{h}^2_a} \leq \frac{1}{4}.(b+c+a)(b+c-a)[/tex]

    [tex]b, \frac{1}{{h}^2_a} + \frac{1}{{h}^2_b} + \frac{1}{{h}^2_c} \leq \frac{1}{4}. (a+b+c)^2[/tex]

    tks nhìu
     
  13. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Áp dụng vào bài toán ta có:
    [TEX]\frac12bd sin {\frac{A}{2}} + frac12bd sin {\frac{A}{2}}= \frac12 bc sin A \\ \Leftrightarrow (b+c) d =2 bc . cos{\frac{A}{2}} \\ \Leftrightarrow (b+c)^2 d^2 = 2b^2c^2 ( 1 + cos A) = bc ( 2bc + 2bc cos A) = bc ( 2bc + ( b^2 + c^2 -a^2)) \\ \Leftrightarrow d^2 = \frac{bc( (b+c)^2 -a^2) }{(b+c)^2}[/TEX]
    P/s: Không biết em học mấy CT đó chưa nhưng anh bí quá rồi :D
    Công thức Herong xong rồi ^^
    Anh nghĩ đề là :
    [TEX]h_a^2 \le \frac{1}{4}.(b+c+a)(b+c-a) [/TEX]
    Tương tự cho câu b^^
    Gợi ý: Áp dụng câu 1b
     
  14. cuonghyp1997

    cuonghyp1997 Guest

    Giúp em mấy bài về SNT:

    1, Cho a,b,c,d thuộc N sao, sao cho [TEX]ab=cd.[/TEX]
    CM: [TEX]a^n+b^n+c^n+d^n [/TEX]là hợp số.(n thuộc N)

    2.a> Tìm p là SNtố để [TEX]2^p+p^2[/TEX] ng tố.
    b> Tìm n thuộc Z để [TEX]n^{1998} +n^{1997}+1[/TEX] là số ng tố.

    Thanks mọi người
    .
     
    Last edited by a moderator: 14 Tháng mười 2011
  15. kém coi mới chỉ chém đc bài này !

    Với p = 3k + 1 và 3k + 2

    Thì [TEX]p^2 = 3k + 1[/TEX] (*)

    Do p nguyên tố nên p lẻ (thử p =2 ko t/m)

    Nên [TEX]2^p = 3k - 1[/TEX] (*)(*)

    Cộng 2 vế (*) và (*)(*) \Rightarrow [TEX]2^p + p^2 [/TEX] chia hết 3

    Vậy p = 3k
    \Rightarrow p = 3
     
  16. cattrang2601

    cattrang2601 Guest

    đại số 9. toán dãy số có quy luật

    Kì thi học sinh giỏi toán tới, mình nghĩ sẽ có dạng toán này nên mình post lên cho các bạn tham khảo nha.

    Chú ý:
    [FONT=&quot]có 4 cách thông thường để giải loại toán này
    Cách 1: truy toán
    Cách 2: phân tích đánh giá số hạng tổng quát
    Cách 3: quy nạp toán học
    Cách 4: đưa về tính nghiệm của một phương trình
    Cách 5: vận dụng các cách đã học
    Ví dụ 1:
    [/FONT]
    [FONT=&quot] Cho A= [/FONT][TEX]\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}[/TEX] có 100 dấu căn.
    Chứng minh A không phải là số tự nhiên.
    GIẢI

    Dễ thấy A> 1. sau đây ta chứng minh A < 2
    Thật vậy[TEX]\sqrt{2+\sqrt{2}} < \sqrt{2+2}= \sqrt{4}=2[/TEX]
    [TEX]\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} < \sqrt{2+2}= \sqrt{4}=2[/TEX]
    .......
    [TEX]A=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}} < \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2[/TEX]
    Do vậy ta có 1 < A < 2 \Rightarrow [TEX]A\notin N [/TEX]( đpcm)
    Cách này thường được gọi là truy toán
     

  17. mấy cái ct kia chắc là e cm đc
    nhưng cái phần ct hẻong là j ạ
    e chưa a có thể nói kĩ phần này đc ko ạ?
     
  18. cattrang2601

    cattrang2601 Guest

    Ví dụ 2: rút gọn dãy tính sau:
    [TEX]\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}[/TEX]
    với n là số tự nhiên lớn hơn 1
    Giải:

    Xét số hạng tổng quát
    [TEX]\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}{n-n+1}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}[/TEX]

    Vậy:[TEX]\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}[/TEX]

    [TEX]=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+...+(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})[/TEX]

    [TEX]=\sqrt{n}-1[/TEX]

    Cách này gọi là cách phân tích đánh giá số hạng tổng quát


     
  19. :D bai nay chac khong co ai giai duoc dau
    ngtu sat gom 26 proton, 30 noron va 26 electron. tinh khoi luong electron co trong 1 kg sat. biet: khoi luong cua e la 9,1095.10^-27 kg
    khoi luong cua p =1,6726.10^-27
    khoi luong cua n=1,6750.10^-27
     
  20. 1, cho x,y>0. tìm min
    [tex] A= \frac{(x+y)^3}{xy^2}[/tex]
    2. tìm min
    [tex]B= \frac{\overline{abc}}{a+b+c}[/tex]
    tks nhìu
     
    Last edited by a moderator: 21 Tháng mười 2011
    Chiến trương thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted
Trạng thái chủ đề:
Không mở trả lời sau này.

CHIA SẺ TRANG NÀY