Toán [Toán 9]Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9

Thảo luận trong 'Tổng hợp Đại số' bắt đầu bởi cattrang2601, 30 Tháng chín 2011.

Lượt xem: 69,014

Trạng thái chủ đề:
Không mở trả lời sau này.

  1. Gọi [TEX]\overline{ab}=A[/TEX]
    Có: 2A+1 là số chính phương lẻ nên chia 8 dư 1 \Rightarrow A chẵn \Rightarrow 3A+1 là số chính phương lẻ nên chia 8 dư 1\Rightarrow [TEX]3A\vdots 8[/TEX] \Rightarrow[TEX]A\vdots 8 (1)[/TEX]

    3A+1 tận cùng là 1,5,9 \Rightarrow 3A tận cùng là 0,4,8
    \RightarrowA tận cùng là 0,8,6
    -Loại A tận cùng là 8vì 2A+1tận cùng là7
    -Loại A tận cùng là 6 vì 2A+1 tận cùng là 3
    _A tận cùng là 0(t/m)
    \Rightarrow[TEX]A \vdots 5(2)[/TEX]
    (1);(2) \Rightarrow[TEX]A \vdots 40[/TEX]
    \RightarrowA=40(t/m); A=80(loại)
     
  2. son9701

    son9701 Guest

    hix.chém:
    câu 1 phải là m là số tự nhiên không chia hết cho 3 chứ nhỉ ??
    câu 2: [TEX]2^n-1[/TEX] là số nguyên tố > 3 [TEX]\Rightarrow 2^n-1[/TEX] không chia hết cho 3 --> n lẻ --> [TEX]2^n+1 \vdots 3[/TEX] là hợp số
    [TEX]2^n+1 [/TEX] là số nguyên tố tg tự --> n chẵn --> [tex]2^n+1\vdots 3[/tex] là hợp số
    câu 3: [TEX]a^2 + b^2 \vdots 5 \Rightarrow[/TEX]a;b đều chia hết cho 5 hoặc có 1 số chia 5 dư 1,1 số chia 5 dư 2.từ đó thay vào A;B;A';B' là ra :d
    câu1 (vs đề bài là m k chia hết cho 3) : Ta có: 1 số tự nhiên k chia hết cho 3 thì số đó bình phương chia 9 dư 1;4;7.Thay 3 trường hợp này vào (hơi trâu,có lẽ nên thử cách khác,t sẽ nghĩ sau)
    oài :)|
     
  3. Số chính phương

    Chứng minh: [TEX] 23^5 + 23^{12} + 23^{2003}[/TEX] không là số chính phương, nhờ các bạn làm cụ thể , thanks :D
    * đề là mũ 12 và mũ 2003 , mình đã tex rồi mà chỉ mũ được số đầu :(( *

    son9701: đánh mũ đầy đủ : [tex]A^{BC}[/tex] = A^{BC} bạn nhé
     
    Last edited by a moderator: 28 Tháng một 2012
  4. Ta có:
    [TEX]23^5\equiv 3(mod\4)\\23^{12}=23^5.23^4.23^3\equiv 3.1.3 \equiv 9 \equiv 1(mod\4)\\23^{2003}=(23^4)^{500}.23^3 \equiv 1^{500}.3\equiv 3(mod\4)\\\Rightarrow 23^5+23^{12}+23^{2003}\equiv 3+1+3 \equiv 7 \equiv 3(mod 4) [/TEX]
    Do ko có số chính phương chia 4 dư 3 nên được đpcm
     
  5. Tiếp số chính phương

    1. Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, trên mỗi mảnh bìa được ghi một số trong các số từ 2 đến 1001 sao cho không có hai mảnh nào ghi số giống nhau. Chứng minh rằng: Không thể ghép tất cả các mảnh bìa này liền nhau để được một số chình phương.

    2. CMR: [TEX]333^{333} + 555^{555} + 777^{777}[/TEX] không là số chính phương.


    3. Lúc đầu có hai mảnh bìa, một cậu bé tinh nghịch cứ cầm một mảnh bìa lên lại xé ra làm 4 mảnh. Cậu ta monh rằng cứ làm như vậy đến một lúc nào đó sẽ được số mảnh bìa là một số chính phương. Cậu ta có thực hiện được mong muốn đó không ?

    Thanks !
     
  6. Bài 1 và 2 ác quá ! :D

    Bài 1 : Xét tổng
    [TEX] 2 + .... + 1001 = \frac{(1001 +2).(1001 - 2 + 1)}{2} = 3k + 2 \Rightarrow No CP[/TEX]

    Bài 2 :
    [TEX]333^{333} \equiv 5^{333} \equiv 1 (mod 8)[/TEX]

    [TEX]555^{555} \equiv 3^{555} \equiv 1 (pmod 8)[/TEX]

    [TEX]777^{777} \equiv 1 \pmod 8[/TEX]

    Cộng 3 cái này lại \Rightarrow Đpcm !
     
  7. son9701

    son9701 Guest

    Hic.Chém bài 2 : Ta có :
    A=[tex]333^{333}+555^{555}+777^{777} = 111^{333}(3^{333}+5^{555}.111^{222}+7^{777}.111^{444})[/tex]
    Do A là 1 số chính phương,mà số chính phương khi ptích ra thừa số nguyên tố chỉ chứa luỹ thừa bậc chẵn.Vì vậy,A[tex]\vdots 111^{333}\Rightarrow A \vdots 111^{334}[/tex]hay biểu thức trong ngoặc chia hết cho 111 --> [tex]3^{333} \vdots 111[/tex] mà điều này vô lí.
    Vậy A k là scp (đpcm)
     
  8. :)|

    Số mảnh bìa sau n lần xé của cậu bé đó là
    [TEX]1 + 4^n[/TEX] mảnh

    Mà [TEX]1 + 4^n = 3k + 2[/TEX] ko là số chính phương !~!
     
  9. Tội ngiệp cậu bé,
    mình post đề nhé:
    Câu 1:Tìm số tự nhiên n biết tổng các chữ số của n bằng [tex]n^2-2007n+9[/tex]
    Câu 2:Tìm nghiệm nguyên của pt:[tex]x^6+3x^3+1=y^2[/tex]
    Câu 3:Tìm nghiệm nguyên dương của hệ
    [tex]\left\{ \begin{array}{l} x^3-y^3-z^3=3xyz \\ x^2=2(y+z) \end{array} \right.[/tex]
    Câu 4:Hãy giải phương trình sau
    xyz=x+y+z+5 với x,y,z là các số nguyên dương
    Chúc mọi người có thêm kinh nghiệm qua nhưng bài tập trên:D
     
  10. son9701

    son9701 Guest

    Chém :
    Câu 1: Vs n=2007 --> đúng.
    Với n >2007 --> [tex]n^2-2007n+9 > n(n-2007)>n[/tex] --> vô nghiệm
    Với [tex]1 \leq n\leq 2006[/tex] --> [tex](n-1)(n-2006) \leq 0 \Leftrightarrow n^2-2007n \leq -2006 < - 9 \Rightarrow n^2-2007n + 9 < 0 [/tex] --> vô nghiệm

    Vậy n=2007
    Câu 2: Đặt [tex]x^3=t \Rightarrow t^2+3t+1=y^2[/tex] rồi đưa về pt bậc 2 ẩn t,biện luận ép delta là số chính phương
     
    Last edited by a moderator: 1 Tháng hai 2012
  11. hê hê,ép denta đến sáng mai cũng ko ra:))
    Câu 1:giải thiếu tính khoa học:D
    dặt tổng các chữ số của n bằng D
    dễ dàng nhận thấy
    0<D<n
    với D>0
    =>[tex]n^2-2007n+9>0[/tex]
    =>[tex]n^2-2007n+2006>0[/tex]
    =>(n-1) (n-2006)>0=>hiển nhiên n>2006(*1)
    TA có D<n
    =>[tex]n^2-2007n+9<n[/tex]
    =>[tex]n^2-2008n+9<0[/tex]
    =>[tex]n^2-2008n<0[/tex]
    =>n(n-2008)<0 hiển nhiên n<2008(*2)
    Từ (*1)(*2)=>n=2007
     
  12. ae97

    ae97 Guest

    bài 2
    ta có [TEX]t^2+3t+1=y^2[/TEX]
    \Rightarrow [TEX](t+1)^2+t=y^2[/TEX]
    \Rightarrow [TEX]t=(y-t-1)(y+t+1)[/TEX]
    do y,t là nguyên nên t chia hết cho y+t+1 và y-t-1
    \Rightarrow y+1 chia hết cho y+t+1 suy ra [TEX]t\leq0[/TEX]
    \Rightarrow y-1 chia hết cho y-t-1 suy ra [TEX]t\geq0[/TEX]
    suy ra t=0 hay x=0 y=1
    làm bừa ko biết đúng ko :D
     
  13. Thấy (0;0;0) ko phải là nghiệm của PT

    Chia 2 vế PT trên cho xyz

    [TEX]\Rightarrow PT \Leftrightarrow \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} + \frac{5}{xyz} = 1[/TEX]
    Do vai trò của x , y , z bình đẳng nên ta có thể giả sử
    [TEX]x \geq y \geq z > 0[/TEX]

    Khi đó [TEX]xy \geq xz \geq yz \geq z^2 > 0[/TEX]
    [TEX] xyz \geq z^3[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow 1 \leq \frac{3}{z^2} + \frac{5}{z^3} = \frac{3z + 5}{z^3}[/TEX]

    Bây giờ giải BPT
    [TEX]3z + 5 \geq z^3 [/TEX]
    Tìm đk của z , xét z nghiệm dương !
    Tìm đc z thế vào PT ban đầu ùi đi kiếm x , y (tới đó thì dễ)

     
  14. phuphu123

    phuphu123 Guest

    Mình bon chen 1 bài nha :D

    Cho ABC là tam giác có ba góc nhọn, hãy chứng minh
    [TEX]tan^5 A + tan^5 B + tan^5 C \ge 9(tanA +tanB +tanC)[/TEX]
     
  15. Vì x,y,z nguyên dương nên xyz>0
    chia 2 vế của pt với xyz
    [TEX]\Rightarrow PT \Leftrightarrow \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} + \frac{5}{xyz} = 1[/TEX]
    TA giả sử [tex] 0<x\leq y\leq z[/tex]
    =>[tex]\frac{1}{xy}\leq\frac{1}{x^2},\frac{1}{yz} \leq \frac{1}{x^2},\frac{1}{xz}\leq\frac{1}{x^2},\frac{5}{xyz}\leq\frac{5}{x^2}[/tex]
    =>[tex]\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} + \frac{5}{xyz}\leq\frac{8}{x^2}[/tex]
    =>[tex]1\leq\frac{8}{x^2}[/tex]
    => x^2\leq 8
    như vậy x=1 hoặc x=2(vì x nguyên dương)
    Thay x vào phương trình ban đầu và sử dụng phuwong pháp ước số là tìm được y và z....
     
    Last edited by a moderator: 29 Tháng một 2012
  16. Phương trình nghiệm nguyên

    Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên
    [TEX]7^x = 2^y - 3^z - 1[/TEX]
    hình như dùng dấu hiệu chia hết, nhưng dùng thế nào?
     
  17. minhtuyb

    minhtuyb Guest

    -Với [TEX]y=0[/TEX] thì [TEX](1)\Leftrightarrow 7^x=-3^z[/TEX]. Pt này vô nghiệm nguyên
    -Với [TEX]y\geq 1[/TEX], ta thấy [TEX]VT(1)[/TEX] luôn là một số lẻ, [TEX]VP(1)[/TEX] luôn là một số chẵn với [TEX]\forall x,y,z\in Z\Rightarrow (1)[/TEX] vô nghiệm
    Vậy pt đã cho không có nghiệm nguyên
    P/s: Dấu hiệu chiu hết cho 2 :))
     
  18. Phương pháp công thức nghiệm bậc hai

    Tìm nghiệm nguyên bằng phương pháp công thức nghiệm bậc 2: (cái này chưa học =(( )
    a. [TEX]2x^2 - 2xy + x + y + 15 = 0[/TEX]
    b. [TEX]5(x^2 + xy + y^2) = 7(x + 2y)[/TEX]
    c. [TEX]x(x+1) = y(y+1)(y^2 + 2)[/TEX]
     
  19. Giải mẫu câu a:
    pt đã cho tương đương với:[TEX]2x^2 +x(1-2y) +y + 15 = 0[/TEX]
    Pt bậc 2 ẩn x có [TEX]\Delta = {(2y-1)}^{2}-8(y+15)={4y}^{2}-12y-119[/TEX]
    rồi xét đk để pt có nghiệm nguyên là [TEX]\Delta[/TEX] là số chính phương
     
  20. Chuyên đề tìm n0 hữu tỉ của pt chứa dấu căn

    1. Chứng minh số 99999 + 11111[TEX]\sqrt{3}[/TEX] không thể viết dưới dạng
    [TEX](A + B\sqrt{3})^2[/TEX], A,B thuộc N
    2. Cho đẳng thức [TEX]a + b\sqrt{2} + c\sqrt[3]{4} = 0[/TEX] với a,b,c thuộc Q. Chứng minh a=b=c=0
    %%-
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted
Trạng thái chủ đề:
Không mở trả lời sau này.

CHIA SẺ TRANG NÀY