Toán [Toán 9]Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9

[linhhuyenvuong]

2, Tìm các số có 2 chữ số [TEX]\overline{ab}[/TEX] sao cho [TEX]3 . \overline{ab} + 1 [/TEX] và [TEX]2 . \overline{ab} + 1 [/TEX] là các số chính phương

tks nhìu

Gọi [TEX]\overline{ab}=A[/TEX]
Có: 2A+1 là số chính phương lẻ nên chia 8 dư 1 \Rightarrow A chẵn \Rightarrow 3A+1 là số chính phương lẻ nên chia 8 dư 1\Rightarrow [TEX]3A\vdots 8[/TEX] \Rightarrow[TEX]A\vdots 8 (1)[/TEX]

3A+1 tận cùng là 1,5,9 \Rightarrow 3A tận cùng là 0,4,8
\RightarrowA tận cùng là 0,8,6
-Loại A tận cùng là 8vì 2A+1tận cùng là7
-Loại A tận cùng là 6 vì 2A+1 tận cùng là 3
_A tận cùng là 0(t/m)
\Rightarrow[TEX]A \vdots 5(2)[/TEX]
(1);(2) \Rightarrow[TEX]A \vdots 40[/TEX]
\RightarrowA=40(t/m); A=80(loại)

 

[son9701]

Một vài bài với mình là khó
1) Cho m là số tự nhiên lẻ. CMR: [tex] m^{12}-m^8-m^4+1 [/tex] chia hết cho 9
2) CMR Nếu [tex]2^n-1[/tex] là số nguyên tố (n>2) thì [tex] 2^n+1[/tex] là hợp số và ngược lại
3) CMR Nếu [tex] a^2+b^2[/tex] chia hết cho 5 thì hai số A=2a+b, B=2b-a hoặc hai số A'=2a-b, B'=2b+a chia hết cho 5

hix.chém:
câu 1 phải là m là số tự nhiên không chia hết cho 3 chứ nhỉ ??
câu 2: [TEX]2^n-1[/TEX] là số nguyên tố > 3 [TEX]\Rightarrow 2^n-1[/TEX] không chia hết cho 3 --> n lẻ --> [TEX]2^n+1 \vdots 3[/TEX] là hợp số
[TEX]2^n+1 [/TEX] là số nguyên tố tg tự --> n chẵn --> [tex]2^n+1\vdots 3[/tex] là hợp số
câu 3: [TEX]a^2 + b^2 \vdots 5 \Rightarrow[/TEX]a;b đều chia hết cho 5 hoặc có 1 số chia 5 dư 1,1 số chia 5 dư 2.từ đó thay vào A;B;A';B' là ra :d
câu1 (vs đề bài là m k chia hết cho 3) : Ta có: 1 số tự nhiên k chia hết cho 3 thì số đó bình phương chia 9 dư 1;4;7.Thay 3 trường hợp này vào (hơi trâu,có lẽ nên thử cách khác,t sẽ nghĩ sau)
oài |

 

[coolguy_coolkid]

Số chính phương

Chứng minh: [TEX] 23^5 + 23^{12} + 23^{2003}[/TEX] không là số chính phương, nhờ các bạn làm cụ thể , thanks
* đề là mũ 12 và mũ 2003 , mình đã tex rồi mà chỉ mũ được số đầu ( *

son9701: đánh mũ đầy đủ : [tex]A^{BC}[/tex] = A^{BC} bạn nhé

 

[conangbuongbinh_97]

Chứng minh: [TEX] 23^5 + 23^{12} + 23^{2003}[/TEX] không là số chính phương, nhờ các bạn làm cụ thể , thanks
* đề là mũ 12 và mũ 2003 , mình đã tex rồi mà chỉ mũ được số đầu ( *

Ta có:
[TEX]23^5\equiv 3(mod\4)\\23^{12}=23^5.23^4.23^3\equiv 3.1.3 \equiv 9 \equiv 1(mod\4)\\23^{2003}=(23^4)^{500}.23^3 \equiv 1^{500}.3\equiv 3(mod\4)\\\Rightarrow 23^5+23^{12}+23^{2003}\equiv 3+1+3 \equiv 7 \equiv 3(mod 4) [/TEX]
Do ko có số chính phương chia 4 dư 3 nên được đpcm

 

[coolguy_coolkid]

Tiếp số chính phương

1. Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, trên mỗi mảnh bìa được ghi một số trong các số từ 2 đến 1001 sao cho không có hai mảnh nào ghi số giống nhau. Chứng minh rằng: Không thể ghép tất cả các mảnh bìa này liền nhau để được một số chình phương.

2. CMR: [TEX]333^{333} + 555^{555} + 777^{777}[/TEX] không là số chính phương.

3. Lúc đầu có hai mảnh bìa, một cậu bé tinh nghịch cứ cầm một mảnh bìa lên lại xé ra làm 4 mảnh. Cậu ta monh rằng cứ làm như vậy đến một lúc nào đó sẽ được số mảnh bìa là một số chính phương. Cậu ta có thực hiện được mong muốn đó không ?

Thanks !

 

[thienlong_cuong]

1. Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, trên mỗi mảnh bìa được ghi một số trong các số từ 2 đến 1001 sao cho không có hai mảnh nào ghi số giống nhau. Chứng minh rằng: Không thể ghép tất cả các mảnh bìa này liền nhau để được một số chình phương.

2. CMR: [TEX]333^{333} + 555^{555} + 777^{777}[/TEX] không là số chính phương.

3. Lúc đầu có hai mảnh bìa, một cậu bé tinh nghịch cứ cầm một mảnh bìa lên lại xé ra làm 4 mảnh. Cậu ta monh rằng cứ làm như vậy đến một lúc nào đó sẽ được số mảnh bìa là một số chính phương. Cậu ta có thực hiện được mong muốn đó không ?

Thanks !

Bài 1 và 2 ác quá !

Bài 1 : Xét tổng
[TEX] 2 + .... + 1001 = \frac{(1001 +2).(1001 - 2 + 1)}{2} = 3k + 2 \Rightarrow No CP[/TEX]

Bài 2 :
[TEX]333^{333} \equiv 5^{333} \equiv 1 (mod 8)[/TEX]

[TEX]555^{555} \equiv 3^{555} \equiv 1 (pmod 8)[/TEX]

[TEX]777^{777} \equiv 1 \pmod 8[/TEX]

Cộng 3 cái này lại \Rightarrow Đpcm !

 

[son9701]

1. Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, trên mỗi mảnh bìa được ghi một số trong các số từ 2 đến 1001 sao cho không có hai mảnh nào ghi số giống nhau. Chứng minh rằng: Không thể ghép tất cả các mảnh bìa này liền nhau để được một số chình phương.

2. CMR: [TEX]333^{333} + 555^{555} + 777^{777}[/TEX] không là số chính phương.

3. Lúc đầu có hai mảnh bìa, một cậu bé tinh nghịch cứ cầm một mảnh bìa lên lại xé ra làm 4 mảnh. Cậu ta monh rằng cứ làm như vậy đến một lúc nào đó sẽ được số mảnh bìa là một số chính phương. Cậu ta có thực hiện được mong muốn đó không ?

Thanks !

Hic.Chém bài 2 : Ta có :
A=[tex]333^{333}+555^{555}+777^{777} = 111^{333}(3^{333}+5^{555}.111^{222}+7^{777}.111^{444})[/tex]
Do A là 1 số chính phương,mà số chính phương khi ptích ra thừa số nguyên tố chỉ chứa luỹ thừa bậc chẵn.Vì vậy,A[tex]\vdots 111^{333}\Rightarrow A \vdots 111^{334}[/tex]hay biểu thức trong ngoặc chia hết cho 111 --> [tex]3^{333} \vdots 111[/tex] mà điều này vô lí.
Vậy A k là scp (đpcm)

 

[thienlong_cuong]

3. Lúc đầu có hai mảnh bìa, một cậu bé tinh nghịch cứ cầm một mảnh bìa lên lại xé ra làm 4 mảnh. Cậu ta monh rằng cứ làm như vậy đến một lúc nào đó sẽ được số mảnh bìa là một số chính phương. Cậu ta có thực hiện được mong muốn đó không ?

Thanks !

|

Số mảnh bìa sau n lần xé của cậu bé đó là
[TEX]1 + 4^n[/TEX] mảnh

Mà [TEX]1 + 4^n = 3k + 2[/TEX] ko là số chính phương !~!

 

[i_love_math1997]

|

Số mảnh bìa sau n lần xé của cậu bé đó là
[TEX]1 + 4^n[/TEX] mảnh

Mà [TEX]1 + 4^n = 3k + 2[/TEX] ko là số chính phương !~!

Tội ngiệp cậu bé,
mình post đề nhé:
Câu 1:Tìm số tự nhiên n biết tổng các chữ số của n bằng [tex]n^2-2007n+9[/tex]
Câu 2:Tìm nghiệm nguyên của pt:[tex]x^6+3x^3+1=y^2[/tex]
Câu 3:Tìm nghiệm nguyên dương của hệ
[tex]\left\{ \begin{array}{l} x^3-y^3-z^3=3xyz \\ x^2=2(y+z) \end{array} \right.[/tex]
Câu 4:Hãy giải phương trình sau
xyz=x+y+z+5 với x,y,z là các số nguyên dương
Chúc mọi người có thêm kinh nghiệm qua nhưng bài tập trên

 

[son9701]

Tội ngiệp cậu bé,
mình post đề nhé:
Câu 1:Tìm số tự nhiên n biết tổng các chữ số của n bằng [tex]n^2-2007n+9[/tex]
Câu 2:Tìm nghiệm nguyên của pt:[tex]x^6+3x^3+1=y^2[/tex]
Câu 3:Tìm nghiệm nguyên dương của hệ
[tex]\left\{ \begin{array}{l} x^3-y^3-z^3=3xyz \\ x^2=2(y+z) \end{array} \right.[/tex]
Câu 4:Hãy giải phương trình sau
xyz=x+y+z+5 với x,y,z là các số nguyên dương
Chúc mọi người có thêm kinh nghiệm qua nhưng bài tập trên

Chém :
Câu 1: Vs n=2007 --> đúng.
Với n >2007 --> [tex]n^2-2007n+9 > n(n-2007)>n[/tex] --> vô nghiệm
Với [tex]1 \leq n\leq 2006[/tex] --> [tex](n-1)(n-2006) \leq 0 \Leftrightarrow n^2-2007n \leq -2006 < - 9 \Rightarrow n^2-2007n + 9 < 0 [/tex] --> vô nghiệm

Vậy n=2007
Câu 2: Đặt [tex]x^3=t \Rightarrow t^2+3t+1=y^2[/tex] rồi đưa về pt bậc 2 ẩn t,biện luận ép delta là số chính phương

 

[i_love_math1997]

Chém :
Câu 1: Vs n=2007 --> đúng.
Với n >2007 --> [tex]n^2-2007n+9 > n(n-2007)>n[tex] --> vô nghiệm Với [tex]1 \leq n\leq 2006[/tex] --> [tex](n-1)(n-2006) \leq 0 \Leftrightarrow n^2-2007n \leq -2006 < - 9 \Rightarrow n^2-2007n + 9 < 0 [/tex] --> vô nghiệm

Vậy n=2007
Câu 2: Đặt [tex]x^3=t \Rightarrow t^2+3t+1=y^2[/tex] rồi đưa về pt bậc 2 ẩn t,biện luận ép delta là số chính phương

hê hê,ép denta đến sáng mai cũng ko ra)
Câu 1:giải thiếu tính khoa học
dặt tổng các chữ số của n bằng D
dễ dàng nhận thấy
0<D<n
với D>0
=>[tex]n^2-2007n+9>0[/tex]
=>[tex]n^2-2007n+2006>0[/tex]
=>(n-1) (n-2006)>0=>hiển nhiên n>2006(*1)
TA có D<n
=>[tex]n^2-2007n+9<n[/tex]
=>[tex]n^2-2008n+9<0[/tex]
=>[tex]n^2-2008n<0[/tex]
=>n(n-2008)<0 hiển nhiên n<2008(*2)
Từ (*1)(*2)=>n=2007

 

[ae97]

bài 2
ta có [TEX]t^2+3t+1=y^2[/TEX]
\Rightarrow [TEX](t+1)^2+t=y^2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]t=(y-t-1)(y+t+1)[/TEX]
do y,t là nguyên nên t chia hết cho y+t+1 và y-t-1
\Rightarrow y+1 chia hết cho y+t+1 suy ra [TEX]t\leq0[/TEX]
\Rightarrow y-1 chia hết cho y-t-1 suy ra [TEX]t\geq0[/TEX]
suy ra t=0 hay x=0 y=1
làm bừa ko biết đúng ko

 

[thienlong_cuong]

Tội ngiệp cậu bé,

Câu 4:Hãy giải phương trình sau
xyz=x+y+z+5 với x,y,z là các số nguyên dương

Thấy (0;0;0) ko phải là nghiệm của PT

Chia 2 vế PT trên cho xyz

[TEX]\Rightarrow PT \Leftrightarrow \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} + \frac{5}{xyz} = 1[/TEX]
Do vai trò của x , y , z bình đẳng nên ta có thể giả sử
[TEX]x \geq y \geq z > 0[/TEX]

Khi đó [TEX]xy \geq xz \geq yz \geq z^2 > 0[/TEX]
[TEX] xyz \geq z^3[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 1 \leq \frac{3}{z^2} + \frac{5}{z^3} = \frac{3z + 5}{z^3}[/TEX]

Bây giờ giải BPT
[TEX]3z + 5 \geq z^3 [/TEX]
Tìm đk của z , xét z nghiệm dương !
Tìm đc z thế vào PT ban đầu ùi đi kiếm x , y (tới đó thì dễ)

 

[phuphu123]

Mình bon chen 1 bài nha

Cho ABC là tam giác có ba góc nhọn, hãy chứng minh
[TEX]tan^5 A + tan^5 B + tan^5 C \ge 9(tanA +tanB +tanC)[/TEX]

 

[i_love_math1997]

Thấy (0;0;0) ko phải là nghiệm của PT

Chia 2 vế PT trên cho xyz

[TEX]\Rightarrow PT \Leftrightarrow \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} + \frac{5}{xyz} = 1[/TEX]
Do vai trò của x , y , z bình đẳng nên ta có thể giả sử
[TEX]x \geq y \geq z > 0[/TEX]

Khi đó [TEX]xy \geq xz \geq yz \geq z^2 > 0[/TEX]
[TEX] xyz \geq z^3[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 1 \leq \frac{3}{z^2} + \frac{5}{z^3} = \frac{3z + 5}{z^3}[/TEX]

Bây giờ giải BPT
[TEX]3z + 5 \geq z^3 [/TEX]
Tìm đk của z , xét z nghiệm dương !
Tìm đc z thế vào PT ban đầu ùi đi kiếm x , y (tới đó thì dễ)

Vì x,y,z nguyên dương nên xyz>0
chia 2 vế của pt với xyz
[TEX]\Rightarrow PT \Leftrightarrow \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} + \frac{5}{xyz} = 1[/TEX]
TA giả sử [tex] 0<x\leq y\leq z[/tex]
=>[tex]\frac{1}{xy}\leq\frac{1}{x^2},\frac{1}{yz} \leq \frac{1}{x^2},\frac{1}{xz}\leq\frac{1}{x^2},\frac{5}{xyz}\leq\frac{5}{x^2}[/tex]
=>[tex]\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} + \frac{5}{xyz}\leq\frac{8}{x^2}[/tex]
=>[tex]1\leq\frac{8}{x^2}[/tex]
=> x^2\leq 8
như vậy x=1 hoặc x=2(vì x nguyên dương)
Thay x vào phương trình ban đầu và sử dụng phuwong pháp ước số là tìm được y và z....

 

[coolguy_coolkid]

Phương trình nghiệm nguyên

Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên
[TEX]7^x = 2^y - 3^z - 1[/TEX]
hình như dùng dấu hiệu chia hết, nhưng dùng thế nào?

 

[minhtuyb]

Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên
[TEX]7^x = 2^y - 3^z - 1(1)[/TEX]
hình như dùng dấu hiệu chia hết, nhưng dùng thế nào?

-Với [TEX]y=0[/TEX] thì [TEX](1)\Leftrightarrow 7^x=-3^z[/TEX]. Pt này vô nghiệm nguyên
-Với [TEX]y\geq 1[/TEX], ta thấy [TEX]VT(1)[/TEX] luôn là một số lẻ, [TEX]VP(1)[/TEX] luôn là một số chẵn với [TEX]\forall x,y,z\in Z\Rightarrow (1)[/TEX] vô nghiệm
Vậy pt đã cho không có nghiệm nguyên
P/s: Dấu hiệu chiu hết cho 2 )

 

[coolguy_coolkid]

Phương pháp công thức nghiệm bậc hai

Tìm nghiệm nguyên bằng phương pháp công thức nghiệm bậc 2: (cái này chưa học =(( )
a. [TEX]2x^2 - 2xy + x + y + 15 = 0[/TEX]
b. [TEX]5(x^2 + xy + y^2) = 7(x + 2y)[/TEX]
c. [TEX]x(x+1) = y(y+1)(y^2 + 2)[/TEX]

 

[shayneward_1997]

Tìm nghiệm nguyên bằng phương pháp công thức nghiệm bậc 2: (cái này chưa học =(( )
a. [TEX]2x^2 - 2xy + x + y + 15 = 0[/TEX]
b. [TEX]5(x^2 + xy + y^2) = 7(x + 2y)[/TEX]
c. [TEX]x(x+1) = y(y+1)(y^2 + 2)[/TEX]

Giải mẫu câu a:
pt đã cho tương đương với:[TEX]2x^2 +x(1-2y) +y + 15 = 0[/TEX]
Pt bậc 2 ẩn x có [TEX]\Delta = {(2y-1)}^{2}-8(y+15)={4y}^{2}-12y-119[/TEX]
rồi xét đk để pt có nghiệm nguyên là [TEX]\Delta[/TEX] là số chính phương

 

[coolguy_coolkid]

Chuyên đề tìm n0 hữu tỉ của pt chứa dấu căn

1. Chứng minh số 99999 + 11111[TEX]\sqrt{3}[/TEX] không thể viết dưới dạng
[TEX](A + B\sqrt{3})^2[/TEX], A,B thuộc N
2. Cho đẳng thức [TEX]a + b\sqrt{2} + c\sqrt[3]{4} = 0[/TEX] với a,b,c thuộc Q. Chứng minh a=b=c=0
%%-