[Toán 8] Chuyên Đề Bất Đẳng Thức

Q

quan8d

trydan said:
Bài này thì quá dễ ;))
Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng
gif.latex
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

1. [TEX]2ab \leq \sqrt{ab}(a+b)[/TEX]
2. [TEX]2\sqrt{ab} \leq a+b[/TEX]
3. [TEX](a+b)^2 \leq 2(a^2+b^2)[/TEX]
 
N

nhockthongay_girlkute

trydan said:
Cho
gif.latex
Chứng minh rằng
gif.latex
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
ta có [TEX](ad-bc)^2+(ac+bd)^2=a^2d^2-2abcd+b^2c^2+a^2c^2+2abcd+b^2d^2[/TEX]
[TEX] =(a^2+b^2)(c^2+d^2)[/TEX]
mà ad-bc=1 nên [TEX]1+(ac+bd)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)[/TEX]
Áp dụng bđt cauchy ta có
[TEX]a^2+b^2+c^2+d^2\ge\2sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}[/TEX]
Do vậy [TEX]P\ge\ ac+bd+2sqrt{1+(ac+bd)^2}[/TEX]
Mà [TEX] 2sqrt{1+(ac+bd)^2}\ge\ sqrt{(ac+bd)^2}=|ac+bd|[/TEX]
nên [TEX]P\ge\ 0[/TEX]
Đặt ac+bd=x ta có
[TEX]P\ge\ x+2sqrt{1+x^2}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]P^2\ge\ x^2+4(1+x^2)+4x sqrt{1+x^2}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]P^2\ge\ x^2+4+4x^2+4x sqrt{1+x^2}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]P^2\ge\ 4x^2+4x\sqrt{1+x^2}+(1+x^2)+3[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]P^2\ge\(2x+sqrt{1+x^2})^2+3[/TEX]
do [TEX](2x+sqrt{1+x^2})^2 \ge\ 0[/TEX]
\Rightarrow đpcm
 
Last edited by a moderator:
0

0915549009

trydan said:
Thực chất không khó ;))
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn
gif.latex
. Chứng minh rằng
gif.latex
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Bài này khá đơn giản
Ta có: [TEX]\sqrt{a^2 + b^2 + 3ab} = \sqrt{(a + b)^2 + ab} [/TEX]
Tương tự vs các BT còn lại ở VT của BĐT
Biến đổi: [TEX]ab \leq\frac{(a + b)^2}{4} [/TEX]
[TEX] bc \leq\frac{(c + b)^2}{4} [/TEX] ; [TEX] ac \leq\frac{(a + c)^2}{4} [/TEX]
[TEX]VT \leq \frac {\sqrt{5}(a + b)}{2} +\frac {\sqrt{5}(b + c)}{2} + \frac {\sqrt{5}(a + c)}{2} = \frac {\sqrt{5}(a + b + b + c + a + c)}{2} = \sqrt{5} [/TEX] (đpcm)
 
Last edited by a moderator:
A

ak_47

trydan said:
Thực chất không khó ;))
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn
gif.latex
. Chứng minh rằng
gif.latex

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


cái này cũng gần giống như Hóa Học đủ và thiếu

[TEX]a^2+b^2+2ab=(a+b)^2[/TEX]

[TEX]a^2+b^2+3ab=(a+b)^2+ab[/TEX]

nó thừa ab nên nó sẽ nhỏ hơn[TEX] \frac{(a+b)^2}{4}[/TEX]

quy về [TEX](a+b)^2 [/TEX]được hết

còn [TEX]a^2-ab+b^2 [/TEX]thiếu ab thì lại lớn hơn vì thiếu 1 lần ab
 
V

vnzoomvodoi

[TEX]a^2+b^2+3ab\leq5/4(a+b)^2[/TEX]
Từ đó ta có vàoooooooooo!
Đề bài thiếu đk để căn thức có nghiã ^^
 
Last edited by a moderator:
0

0915549009

Làm giúp mình bài này hén ! :):):):)
Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn:
[tex]\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = 3 [/tex]
CM abc là lập phương của 1 số nguyên.
 
T

tjeujusjeuway

0915549009 said:
Làm giúp mình bài này hén ! :):):):)
Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn:
[tex]\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = 3 [/tex]
CM abc là lập phương của 1 số nguyên.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Xét trường hợp: [TEX]a;b;c \geq 0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq 3 (AM-GM)[/TEX]
[TEX]" = "khi a=b=c[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a.b.c=a^3=b^3=c^3 (DPCM)[/TEX]
Trường hợp[TEX] a;b;c \leq 0[/TEX] Thì ta cũng có điều tương tự.
Trường hợp có 1 số âm. Giả sử số đó là a khi đó ta đặt [TEX]a=-a_1[/TEX]
Khi đó ta có:
[TEX] \frac{a_1}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a_1} \geq 3 (AM-GM)[/TEX]
[TEX]"=" khi -a=b=c[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a.b.c=a^3=-b^3=-c^3 (DPCM)[/TEX]
Trường hợp có 2 số âm ta giả sử 2 số đó là a và b.Ta đặt [TEX]a=-a_1 ;b=-b_1[/TEX]
Khi đó ta có:
[TEX]\frac{a_1}{b_1}+\frac{b_1}{c}+\frac{c}{a_1} \geq 3 (AM-GM)[/TEX]
[TEX]"=" khi -a=-b=c[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a.b.c=a^3=b^3=c^3 (DPCM)[/TEX]
 
T

tell_me_goobye

tiếp

cho a,b,c >0
CMR
[TEX]\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) +(a+b+c)^2 \geq 4\sqrt{3abc(a+b+c)[/TEX]
 
T

tell_me_goobye

trydan said:
;)) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn
gif.latex
Chứng minh rằng:
gif.latex
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

chém luôn

từ gt \Rightarrow [TEX]\sum \frac{1}{ab} =1[/TEX]
đặt [TEX] \frac{1}{a} =x , \frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z[/TEX]

=> xy+yz+xz=1

BDT[TEX] \Leftrightarrow \sum \frac{y^3}{x} \geq1 [/TEX]

cái này cauchy schwarz là ổn

hoàn tất
 
N

nhockthongay_girlkute

trydan said:
Cũng đơn giản :)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn
gif.latex
Chứng minh rằng
gif.latex

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Áp dụng bđt cauchy cho 2 số dương ta có
[TEX]\sqrt{4x+1}=\sqrt{\frac{3}{7}}.sqrt{(4x+1).\frac{7}{3}}\le\ \sqrt{\frac{3}{7}}.\frac{4x+1+\frac{7}{3}}{2}[/TEX]
Vậy [TEX]\sqrt{4x+1}\le\ \frac{\sqrt{21}}{14}.(4x+\frac{10}{3})[/TEX] (1)
Tương tự ta có [TEX]\sqrt{4y+1}\le\ \frac{\sqrt{21}}{14}.(4y+\frac{10}{3})[/TEX] (2)
[TEX]\sqrt{4z+1}\le\ \frac{\sqrt{21}}{14}.(4z+\frac{10}{3})[/TEX] (3)
mà a+b+c=1
từ (1);(2);(3)\Rightarrowđpcm
 
T

trydan

nhockthongay_girlkute said:
Áp dụng bđt cauchy cho 2 số dương ta có
[TEX]\sqrt{4x+1}=\sqrt{\frac{3}{7}}.sqrt{(4x+1).\frac{7}{3}}\le\ \sqrt{\frac{3}{7}}.\frac{4x+1+\frac{7}{3}}{2}[/TEX]
Vậy [TEX]\sqrt{4x+1}\le\ \frac{\sqrt{21}}{14}.(4x+\frac{10}{3})[/TEX] (1)
Tương tự ta có [TEX]\sqrt{4y+1}\le\ \frac{\sqrt{21}}{14}.(4y+\frac{10}{3})[/TEX] (2)
[TEX]\sqrt{4z+1}\le\ \frac{\sqrt{21}}{14}.(4z+\frac{10}{3})[/TEX] (3)
mà a+b+c=1
từ (1);(2);(3)\Rightarrowđpcm
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Lời giải bài này khá đơn giản và phù hợp với HS lớp 8: :)
Ta có BĐT quen thuộc
gif.latex

Áp dụng BĐT trên với
gif.latex
ta có
gif.latex

gif.latex

Dấu "=" xảy ra khi
gif.latex

 
T

thjenthantrongdem_bg

Bài này cực kì đơn giản nè:;;;;


CMR: Với mọi số thực không âm a,b,c ta có
[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}[/TEX]
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom