[Toán 8] Chuyên Đề Bất Đẳng Thức

P

phantom_lady.vs.kaito_kid

Cho [TEX]a, b, c >0[/TEX]. C/m
[TEX]\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc} +\frac{b^2+c^2}{a^2+bc} +\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}+ \frac{c^2+a^2}{b^2+ca} \geq \frac{9}{2}[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
0

01263812493

phantom_lady.vs.kaito_kid said:
Cho [TEX]a, b, c >0[/TEX]. C/m
[TEX]\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc} +\frac{b^2+c^2}{a^2+bc} +\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}+ \frac{c^2+a^2}{b^2+ca} \geq \frac{9}{2}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]\blue VT \geq \frac{3}{2} +\frac{b^2+c^2}{a^2+bc} +\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}+ \frac{c^2+a^2}{b^2+ca} [/TEX]
Cần C/m:
[TEX]\blue \frac{b^2+c^2}{a^2+bc} +\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}+ \frac{c^2+a^2}{b^2+ca} \geq 3[/TEX]
Có: [TEX]\blue VT \geq \frac{2(b^2+c^2)}{2a^2+b^2+c^2}+ \frac{2(a^2+b^2)}{a^2+b^2+2c^2}+ \frac{2(c^2+a^2)}{2b^2+a^2+c^2}[/TEX]
[TEX]\blue Dat: \ \left{a^2+b^2=x\\b^2+c^2=y\\c^2+a^2=z[/TEX]
[TEX]\blue BDT \leftrightarrow \frac{2y}{x+z}+ \frac{2x}{y+z}+\frac{2z}{x+y} \geq 3 \rightarrow Nesbit[/TEX]
[TEX]\blue \rightarrow dpcm[/TEX]
Mỏi tay wa' :|
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Bài này tham khảo ý kiến của 1 số người ;))
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
 
T

thienlong_cuong

minhaxinhdep said:
Cho 3 số a,b,c thoả mãn a,b,c>0 và a+b+c=4.CM bất đẳng thức:
(a+b)(b+c)(c+a)\geq[TEX]{a^3}{b^3}{c^3}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX](a +b)(b +c)(a +c) \geq 8abc[/TEX]
Cần chứng minh

[TEX]8abc \geq a^3b^3c^3[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 8 \geq a^2b^2c^2[/TEX]

Ta có
[TEX]a +b + c \geq 3\sqrt[3]{abc}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{4}{3} \geq \sqrt[3]{abc}[/TEX]


[TEX]\Rightarrow \frac{64}{27} \geq abc[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (\frac{64}{27})^2 \geq (abc)^2[/TEX]

Mà [TEX](\frac{64}{27})^2 < 8[/TEX]

[TEX]\Rightarrow dpcm[/TEX]

p/s: Bài ni post lên
 
Last edited by a moderator:
E

eric_ryuto

(x+y+z)^x> hay= 4(x+y)z suy ra 1>hay= 4(x+y)z nhận x+y hai vế tương duong ; x+y> hay= 4xyx4z=16xyz
 
H

hoa_giot_tuyet

Ê mấy pro làm giúp tôi bài này cái :((

Làm nhanh nhé, mai nộp ùi mà làm ko đc :| và nêu phương pháp giả chung cho cái dạng này ha :D

Cho [TEX]P = \frac{3}{x^4-x^3+x-1} + \frac{1}{x+1-x^4-x^3} - \frac{4}{x^5-x^4+x^3+x-1}[/TEX]

Chứng minh [TEX]0 < P < \frac{32}{9}[/TEX] với [TEX]\forall x \neq \pm 1[/TEX]
 
L

locxoaymgk

hoa_giot_tuyet said:
Ê mấy pro làm giúp tôi bài này cái :((

Làm nhanh nhé, mai nộp ùi mà làm ko đc :| và nêu phương pháp giả chung cho cái dạng này ha :D

Cho [TEX]P = \frac{3}{x^4-x^3+x-1} + \frac{1}{x+1-x^4-x^3} - \frac{4}{x^5-x^4+x^3+x-1}[/TEX]

Chứng minh [TEX]0 < P < \frac{32}{9}[/TEX] với [TEX]\forall x \neq \pm 1[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


bài dễ:ta có:
[TEX] P= \frac{3}{(x-1)(x+1)(x^2-x+1)}-[/TEX][TEX]\frac{1}{(x-1)(x+1)(x^2+x+1)}-[/TEX]
[TEX]\frac{4}{(x-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)[/TEX]
[TEX] P=[/TEX][TEX]\frac{2(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)[/TEX]
[TEX] P=[/TEX][TEX]\frac{2}{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}[/TEX] với x#+-1
\Rightarrow [TEX]P=[/TEX][TEX]\frac{2}{x^4+x^2+1}[/TEX][TEX]>0[/TEX]
và [TEX]\frac{32}{9}-[/TEX][TEX]P[/TEX]
[TEX]=[/TEX][TEX]\frac{2(16x^4+16x^2+7)}{9(x^4+x^2+1)}[/TEX]
từ đó \Rightarrowdpcm............
sửa bài gần chết...............có chỗ nào sai sửa lại nha!:).........
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
 
Last edited by a moderator:
Q

quynhnhung81

hoa_giot_tuyet said:
Ê mấy pro làm giúp tôi bài này cái :((

Làm nhanh nhé, mai nộp ùi mà làm ko đc :| và nêu phương pháp giả chung cho cái dạng này ha :D

Cho [TEX]P = \frac{3}{x^4-x^3+x-1} + \frac{1}{x+1-x^4-x^3} - \frac{4}{x^5-x^4+x^3+x-1}[/TEX]

Chứng minh [TEX]0 < P < \frac{32}{9}[/TEX] với [TEX]\forall x \neq \pm 1[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bài này sai đề hoàn toàn, không bàn cãi gì nữa hết :)
 
H

hoa_giot_tuyet

locxoaymgk said:
bài dễ:ta có:
[TEX] P= \frac{3}{(x-1)(x+1)(x^2-x+1)}-[/TEX][TEX]\frac{1}{(x-1)(x+1)(x^2+x+1)}-[/TEX]
[TEX]\frac{4}{(x-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)[/TEX]
[TEX] P=[/TEX][TEX]\frac{2(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)[/TEX]
[TEX] P=[/TEX][TEX]\frac{2}{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}[/TEX] với x#+-1
\Rightarrow [TEX]P=[/TEX][TEX]\frac{2}{x^4+x^2+1}[/TEX][TEX]>0[/TEX]
và [TEX]\frac{32}{9}-[/TEX][TEX]P[/TEX]
[TEX]=[/TEX][TEX]\frac{2(16x^4+16x^2+7)}{9(x^4+x^2+1)}[/TEX]
từ đó \Rightarrowdpcm............
[/COLOR][/B][/I][/SIZE]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


Đúng, chính xác đây là một bài dễ nếu mẫu số cuối cùng là [TEX]x^5 - x^4 + x^3 - x^2 +x - 1[/TEX] :|
Hình như bạn đã làm bài này và cứ tưởng đề là thế :-j

p/s: cuối cùng thầy đã xin lỗi về chuyện sai đề :-j
 
H

hoa_giot_tuyet

Tiếp tục này, BĐT đang luyện

Cho x,y,z là 3 canh tam giác ; tìm giá trị lớn nhất của

[TEX]A = \frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{(x+y+z)^3}[/TEX]

:|
 
P

phantom_lady.vs.kaito_kid

Last edited by a moderator:
S

star_lucky_o0o

Thử làm bài này nha!
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y,z thỏa mãn x(x+y+z)=3yz,ta có:​
[TEX](x+y)^3+(x+z)^3+3(x+y)(y+z)(z+x) \leq 5(y+z)^3[/TEX]​
(Câu V (1,0 đ) đề thi ĐH môn Toán khối A)​
 
T

traitimbangtuyet

star_lucky_o0o said:
Thử làm bài này nha!
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y,z thỏa mãn x(x+y+z)=3yz,ta có:
​
[TEX](x+y)^3+(x+z)^3+3(x+y)(y+z)(z+x) \leq 5(y+z)^3[/TEX]​
(Câu V (1,0 đ) đề thi ĐH môn Toán khối A)​
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
bài gì mà khó quá đi ông
đặt : a=x+y , b=x+z
ta có : x(x+y+z)=3yz\Rightarrow[TEX]x^2+xy+xz+y=4yz\Rightarrow(x+y)(x+z)=4yz[/TEX]
dễ thấy : [TEX](a-b)^2=(y-z)^2 ; ab=4yz[/TEX]
ta có :[TEX]a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)[/TEX]
\Rightarrow[TEX]a+b \leq căng 2(a^2+b^2)=căng 2(a-b)^2+2ab = căng 2(y-z)^2+8yz[/TEX]căng 2(y+z)^2+4yz \leq [TEX]4(y+z)^2=2(y+z) (1)[/TEX]
và [TEX](a^2-ab+^2)= (a-b)^2+ab = (y-z)^2+4yz= (y+z)^2[/tex]
từ 1 ta có :[TEX]a^3+b^3 \leq2(y+z)^3 [/tex]
Đến đây cậu tự làm tiếp nha :p ra đề chi mà khó quá à giải 2 ngày mất bao nhiêu thank( tớ k biết viết căng ) cng là căng nha
 
S

star_lucky_o0o

traitimbangtuyet said:
bài gì mà khó quá đi ông
đặt : a=x+y , b=x+z
ta có : x(x+y+z)=3yz\Rightarrow[TEX][COLOR=magenta][I][U]x^2+xy+xz+y=4yz[/U][/I][/COLOR]\Rightarrow(x+y)(x+z)=4yz[/TEX]
dễ thấy : [TEX](a-b)^2=(y-z)^2 ; ab=4yz[/TEX]
ta có :[TEX]a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)[/TEX]
\Rightarrow[TEX]a+b \leq căng 2(a^2+b^2)=căng 2(a-b)^2+2ab = căng 2(y-z)^2+8yz[/TEX]căng 2(y+z)^2+4yz \leq [TEX]4(y+z)^2=2(y+z) (1)[/TEX]
và [TEX](a^2-ab+^2)= (a-b)^2+ab = (y-z)^2+4yz= (y+z)^2[/TEX]
từ 1 ta có :[TEX]a^3+b^3 \leq2(y+z)^3 [/TEX]
Đến đây cậu tự làm tiếp nha :p ra đề chi mà khó quá à giải 2 ngày mất bao nhiêu thank( tớ k biết viết căng ) cng là căng nha
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Xem xét lại cái phần tui bôi hồng+I+B+U
làm kiểu đó đi thi coi chừng ko có điểm nào đấy!!!
 
S

star_lucky_o0o

traitimbangtuyet said:
bài gì mà khó quá đi ông
\Rightarrow[TEX]a+b \leq căng 2(a^2+b^2)=căng 2(a-b)^2+2ab = căng 2(y-z)^2+8yz[/TEX]căng 2(y+z)^2+4yz \leq [TEX]4(y+z)^2=2(y+z) (1)[/TEX]
và [TEX](a^2-ab+^2)= (a-b)^2+ab = (y-z)^2+4yz= (y+z)^2[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Giải thích giùm tui cái đọan
[TEX]a+b \leq \sqrt{2(a^2+b^2)}[/TEX]

Nhanh để tui còn post đáp án nha!
p/s:Tui ko phải ông đâu hem :-w
 
Last edited by a moderator:
H

hoangtu_2011

traitimbangtuyet said:
bài gì mà khó quá đi ông
đặt : a=x+y , b=x+z
ta có : x(x+y+z)=3yz\Rightarrow[TEX]x^2+xy+xz+y=4yz\Rightarrow(x+y)(x+z)=4yz[/TEX]
dễ thấy : [TEX](a-b)^2=(y-z)^2 ; ab=4yz[/TEX]
ta có :[TEX]a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)[/TEX]
\Rightarrow[TEX]a+b \leq căng 2(a^2+b^2)=căng 2(a-b)^2+2ab = căng 2(y-z)^2+8yz[/TEX]căng 2(y+z)^2+4yz \leq [TEX]4(y+z)^2=2(y+z) (1)[/TEX]
và [TEX](a^2-ab+^2)= (a-b)^2+ab = (y-z)^2+4yz= (y+z)^2[/TEX]
từ 1 ta có :[TEX]a^3+b^3 \leq2(y+z)^3 [/TEX]
Đến đây cậu tự làm tiếp nha :p ra đề chi mà khó quá à giải 2 ngày mất bao nhiêu thank( tớ k biết viết căng ) cng là căng nha
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Vãn bối đầu óc chậm hiểu ! Mong tiền bối chỉ giúp chỗ này ! :D:D:D (đùa thui)

[TEX]a+b \leq \sqrt{2(a^2+b^2)}= \sqrt{2(a-b)^2+2ab} = \sqrt{2(y-z)^2+8yz}[/TEX][TEX]\sqrt{2(y+z)^2+4yz} \leq[/TEX] [TEX]4(y+z)^2=2(y+z) (1)[/TEX]

Vạn bối thấy 2(a -b)^2 + 2ab = a^2 + b^2 - 2ab # 2(a^2 +b^2) , vậy sao lại nối bằng dấu "="
 
Last edited by a moderator:
S

star_lucky_o0o

star_lucky_o0o said:
Thử làm bài này nha!
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y,z thỏa mãn x(x+y+z)=3yz,ta có:
​
[TEX](x+y)^3+(x+z)^3+3(x+y)(y+z)(z+x) \leq 5(y+z)^3[/TEX]​
(Câu V (1,0 đ) đề thi ĐH môn Toán khối A)​
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
t post đap án đây!
Đặt a=x+y,b=x+z
Suy ra a,b>0 và a-b=y-z
Khi đó x(x+y+z)=3yz
\Leftrightarrow(x+y)(x+z)=4yz \Leftrightarrow ab=4yz
Ta có:
[TEX](x+y)^3+(x+z)^3=a^3+b^3\\=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\=\sqrt{(a+b)^2}.[(a-b)^2+ab]\\=\sqrt{(a-b)^2+4ab}.[(a-b)^2+ab]\\=\sqrt{(y-z)^2+16yz}.[(y-z)^2+4yz]\\=\sqrt{(y+z)^2+12yz}.(y+z)^2 \leq \sqrt{(y+z)^2+3(y+z)^2}.(y+z)^2\\=2(y+z)^3(a)[/SIZE][/FONT][FONT=Palatino Linotype][SIZE=3][/TEX]
Mặt khác (x+y)(y+z)=ab=4yz \leq [TEX](y+z)^2\\\Rightarrow3(x+y)(y+z)(z+x) \leq 3(y+z)^3(b)[/TEX]
Cộng theo vế của (a)&(b) suy ra đpcm
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z
___________________
Mọi người cứ nghien cứu từ từ nha:))Nhưng thấy hay thì nhớ tks tui nha!
 
Last edited by a moderator:
T

traitimbangtuyet

về ông star thì sửa thành yz
còn về ông hoàng tử sửa lại dấu nhỏ hơn hoặc bằng :p
_________các ông tưởng tôi đánh máy giỏi lắm hả ? cái gì cũng phải có sai sót trong việc đánh máy chứ ? nếu mà viết trên giáy a thì tôi làm ngon ơ hèm .________________ mà tôi đúng rồi sao k cảm ơn
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom