[Toán 8] Chuyên Đề Bất Đẳng Thức

[0915549009]

Cho a,b,c>=0,a+b+c=1.C/m:
[TEX]\sum_{cyc}\frac {a}{4b^2+1}\ge (\sum_{cyc}a\sqrt {a})^2[/TEX]

[TEX]\sum_{cyc}\frac {a}{4b^2+1} = \sum_{cyc}\frac {a^3}{4a^2b^2+a^2} \geq \frac {(\sum a\sqrt {a})^2}{\sum 4a^2b^2+\sum a^2}[/TEX]
[TEX]\sum 4a^2b^2+\sum a^2\leq 1 \Leftrightarrow \sum 4a^2b^2+\sum a^2 \leq (a+b+c)^2 \Leftrightarrow \sum ab(1-4ab) \geq 0 \Rightarrow dpcm \Rightarrow Sai. oy[/TEX] ((

 

[th3_l0rd_0f_th3_sky]

Một bài nè:
Cho a+b+c=3.CM:
[TEX]\frac{1}{9-ab}[/TEX][TEX]+\frac{1}{9-bc}[/TEX][TEX]+\frac{1}{9-ca}[/TEX][TEX]\leq\frac{3}{8}[/TEX]

 

[0915549009]

Một bài nè:
Cho a+b+c=3.CM:
[TEX]\frac{1}{9-ab}+\frac{1}{9-bc}+\frac{1}{9-ca}\leq\frac{3}{8}[/TEX]

[TEX]x=ab;y=bc;z=ca \Rightarrow\frac{1}{9-ab}+\frac{1}{9-bc}+\frac{1}{9-ca} \geq \frac{3}{8} \Leftrightarrow \frac{1-x}{9-x}+\frac{1-y}{9-y}+\frac{1-z}{9-z} \geq 0\Rightarrow Done [/TEX]

 

[0915549009]

Một bài nè:
Cho a+b+c=3.CM:
[TEX]\frac{1}{9-ab}+\frac{1}{9-bc}+\frac{1}{9-ca}\leq\frac{3}{8}[/TEX]

[TEX]\frac{1}{9-ab}+\frac{1}{9-bc}+\frac{1}{9-ca}\leq\frac{3}{8} \Leftrightarrow 8(243-18q+rp) \leq 3(729-81q+9qr-r^2)(1)[/TEX]
[TEX]p=a+b+c; q=ab+bc+ca; r=abc[/TEX]
[TEX](1) \Leftrightarrow 243 + 57r -99q - 3r^2 \geq 0[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow 72-23q-3r^2 \geq 0 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 3(1-r^2)+23(3-q) \geq 0 \Leftrightarrow dpcm[/TEX]

 

[01263812493]

báo cáo - pic ế

Cho a,b,c dương. C/m:
[TEX]\frac{a^2}{b^3}+ \frac{b^2}{c^3}+ \frac{c^2}{a^3} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}[/TEX]

 

[vivietnam]

Cho a,b,c dương. C/m:
[TEX]\frac{a^2}{b^3}+ \frac{b^2}{c^3}+ \frac{c^2}{a^3} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}[/TEX]

ta có [TEX] \frac{a^2}{b^3}+\frac{1}{b} \geq\frac{2a}{b^2}[/TEX]
mà [TEX]\frac{a}{b^2}+\frac{1}{a} \geq\frac{2}{b}[/TEX]
cộng 2 bất đẳng thức ta có
[TEX]\frac{a^2}{b^3}+\frac{2}{a}\geq\frac{3}{b}[/TEX]
tương tự ta có cách bất đẳng thức khác
cộng 3 bất đẳng thức lại ta có điều phải chứng minh

 

[duynhan1]

ta có [TEX] \frac{a^2}{b^3}+\frac{1}{b} \geq\frac{2a}{b^2}[/TEX]
mà [TEX]\frac{a}{b^2}+\frac{1}{a} \geq\frac{2}{b}[/TEX]
cộng 2 bất đẳng thức ta có
[TEX]\frac{a^2}{b^3}+\frac{2}{a}\geq\frac{3}{b}[/TEX]
tương tự ta có cách bất đẳng thức khác
cộng 3 bất đẳng thức lại ta có điều phải chứng minh

[TEX]\frac{a^2}{b^3} + \frac{1}{a} + \frac{1}{a} \geq \frac{3}{b}[/TEX]

Tương tự rồi cộng lại

 

[legendismine]

Cho a,b,c>0 a+b+c=3:
[TEX]\sum_{cyc}\frac {1}{\sqrt {1+a^2}}\le \frac {3}{2}[/TEX]

 

[legendismine]

cho a,b,c>0.C/m:
[TEX](\sum_{cyc}\frac {a}{b})^2\ge \frac {3}{2}(\sum_{cyc}\frac {a+b}{c})[/TEX]

 

[c_c]

cho a,b,c>0.C/m:
[TEX](\sum_{cyc}\frac {a}{b})^2\ge \frac {3}{2}(\sum_{cyc}\frac {a+b}{c})[/TEX]

[tex](x+y+z)^2 \ge 3(x+y+z) [/tex](AM-GM) với xyz=1 ........

 

[0915549009]

cho a,b,c>0.C/m:
[TEX](\sum_{cyc}\frac {a}{b})^2\ge \frac {3}{2}(\sum_{cyc}\frac {a+b}{c})[/TEX]

Em chém thử thoy
[TEX](\sum\frac {a}{b})^2 \geq 3\sum \frac {a}{c} [/TEX]
[TEX]3\sum \frac {a}{c} \geq\frac {3}{2} \sum \frac {a+b}{c} \Leftrightarrow \sum \frac {a}{c}\geq\sum \frac {c}{a} \Leftrightarrow \sum a^2b \geq \sum ab^2 \Leftrightarrow ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) \geq 0 \Rightarrow dpcm [/TEX]

 

[0915549009]

Cho a,b,c>0 a+b+c=3:
[TEX]\sum_{cyc}\frac {1}{\sqrt {1+a^2}}\le \frac {3}{2}[/TEX]

Đề sai roài anh ơi :|:|:|
Một VD đơn giản là: [TEX]a=b=c=1[/TEX]. Khi đó:
[TEX]\sum_{cyc}\frac {a}{\sqrt {1+a^2}} = \frac {3}{\sqrt 2} > 1,5[/TEX]
Đề hình như là thế này:
[TEX]\sum_{cyc}\frac {a}{1+a^2} \geq \frac {3}{2}[/TEX]
Coi bộ dễ "xơi" hơn
[TEX]\sum\frac {a}{1+a^2} = \sum a -\sum \frac {ab}{2} \geq \frac {3}{2} [/TEX]

 

[trydan]

Cho

Chứng minh rằng

 

[0915549009]

Cho

Chứng minh rằng

[TEX](a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \ge 3(a^2b+b^2c+c^2a)[/TEX]
[TEX]a^2+b^2+c^2 \ge a^2b+b^2c+c^2a[/TEX]
[TEX]2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2) =9-(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
[TEX]BDT \Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)+\frac{9}{a^2+b^2+c^2} \ge 9[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)+[(a^2+b^2+c^2)+\frac{9}{a^2+b^2+c^2}] \ge 9[/TEX]
[TEX]a^2+b^2+c^2 \ge \frac{(a+b+c)^2}{3}=3[/TEX]
[TEX](a^2+b^2+c^2)+\frac{9}{a^2+b^2+c^2} \ge 6 \Rightarrow dpcm[/TEX]

 

[trydan]

Giả sử

là các điểm tùy ý trên các cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC. Kí hiệu

là diện tích các tam giác

Chứng minh rằng

Câu này chưa ai làm!

Thêm câu này nữa nhaz

Cho tam giác ABC, trên 2 cạnh AB và AC lấy 2 điểm E, F sao cho có điểm G trong tam giác ABC thoả mãn

Chứng minh rằng

 

[c_c]

[tex] ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) \geq 0 [/TEX]

sai cái đoạn cuối rồi e..............................

 

[01263812493]

1. Cho [tex]x,y > 0[/tex] và [tex] x^3+y^3=2[/tex]
C/m: [tex] x^2+y^2 \leq 2 [/tex]
2.Cho x,y,z dương với [TEX]x+y+z \leq \frac{3}{2}[/TEX]
Tìm Min: [TEX]x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+ \frac{1}{z}[/TEX]

 

[vodichhocmai]

1. Cho [tex]x,y > 0[/tex] và [tex] x^3+y^3=2[/tex]
C/m: [tex] x^2+y^2 \leq 2 [/tex]
2.Cho x,y,z dương với [TEX]x+y+z \leq \frac{3}{2}[/TEX]
Tìm Min: [TEX]x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+ \frac{1}{z}[/TEX]

Hướng dẫn:

[TEX]x^3+x^3+1\ge 3x^2[/TEX]

[TEX]LHS:=-3(x+y+x)+\(4x+\frac{1}{x}\)+\(4y+\frac{1}{y}\)+\(4z+\frac{1}{z}\) [/TEX]

 

[01263812493]

Cho x,y dương thay đổi thỏa: [TEX]x+y=1[/TEX]
Tìm Min : [TEX](x^2+ \frac{1}{y^2})(y^2+ \frac{1}{x^2})[/TEX]

 

[khoacoi16]

Cho x,y dương thay đổi thỏa: [TEX]x+y=1[/TEX]
Tìm Min : [TEX](x^2+ \frac{1}{y^2})(y^2+ \frac{1}{x^2})[/TEX]

đặt cái biểu thức đó là A
=> A=[TEX]y^2x^2[/TEX]+1+1+[TEX]\frac{1}{x^2y^2}[/TEX]
[TEX]y^2x^2[/TEX]+[TEX]\frac{1}{x^2y^2}[/TEX][TEX]\ge 2[/TEX]
=>A[TEX]\ge[/TEX]4
=>Amin =4