[Toán 8] Chuyên Đề Bất Đẳng Thức

[0915549009]

Chp [TEX]\sum_{cyc}\frac{1}{a+1}=3[/TEX].a,b,c,d>0.C/m
[TEX]abcd\le 81[/TEX]

Sửa đề roài )))
Viết 2 bài lúc nào trydan gộp thỳ tính sau =))=))=)) Chuyển vế thỳ [TEX]\sum_{cyc}\frac{1}{b+1}[/TEX] bỏ cái [TEX]\frac{1}{a+1}[/TEX] đi nhaz
[TEX]\sum_{cyc}\frac{1}{a+1}=3\Leftrightarrow \frac{1}{a+1} = 3-\sum_{cyc}\frac{1}{b+1} \Leftrightarrow \frac{1}{a+1} \geq \sum_{cyc}\frac{b}{b+1}[/TEX]
[TEX]\sum_{cyc}\frac{b}{b+1}\geq3\sqrt[3]{\frac{bcd}{(b+1)(c+1)(d+1)}}[/TEX]
Tương tự vs [TEX]\frac{1}{b+1}; \frac{1}{c+1};\frac{1}{d+1} [/TEX]
Nhân vế vs vế [TEX]\Rightarrow dpcm[/TEX]

 

[0915549009]

Ak, mọi người thử chém bài này nhaz )))
Cho x, y , z là số thực dương, x, y, z khác 1 và xyz = 1. CMR:
[TEX]\frac{(x+m)^2}{(x+1)^2} + \frac{(y+m)^2}{(y+1)^2} +\frac{(z+m)^2}{(z+1)^2} \geq 1[/TEX]
(m là tham số)

 

[legendismine]

Cho x,y,z>=0. x+y+z=1.C/m:
[TEX]\sum_{cyc}\frac {x^2+1}{y^2+1}\le \frac {7}{2}[/TEX] 100 bai`

 

[legendismine]

A sy~ đâu rồi vào làm bài đi chứ
Cho abc=1, a,b,c>0.C/m:
[TEX](a+\frac {1}{b}-1)(b+\frac{1}{c}-1)(c+\frac{1}{a}-1)\le 1[/TEX]

 

[vuanoidoi]

A sy~ đâu rồi vào làm bài đi chứ
Cho abc=1, a,b,c>0.C/m:
[TEX](a+\frac {1}{b}-1)(b+\frac{1}{c}-1)(c+\frac{1}{a}-1)\le 1[/TEX]

1)sử dụng hệ quả của schur:[tex](a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) \le abc [/tex]
2)0915549009: m: ko có ĐK gì hả em
3)bài mà [tex]\le \frac{7}{2} [/tex] :có thể dùng AM-GM ngược OR -> 1 biến
PS:đừng có nói là bài này lại bị xoá nhá.C_C: mites'

 

[legendismine]

Cho a,b,c>=0.C/m:
[TEX](a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2\ge abc(2a+b+c)(2b+a+c)(2c+a+b)[/TEX]

 

[bigbang195]

Ak, mọi người thử chém bài này nhaz )))
Cho x, y , z là số thực dương, x, y, z khác 1 và xyz = 1. CMR:
[TEX]\frac{(x+m)^2}{(x+1)^2} + \frac{(y+m)^2}{(y+1)^2} +\frac{(z+m)^2}{(z+1)^2} \geq 1[/TEX]
(m là tham số)

Try x=y=z=1 and m=0

 

[c_c]

Cho a,b,c>=0.C/m:
[TEX](a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2\ge abc(2a+b+c)(2b+a+c)(2c+a+b)[/TEX]

đặt:[tex]a+b=x;b+c=y;c+a=z [/tex]
[tex]=>a=\frac{x+z-y}{2};b=\frac{x+y-z}{2};c=[/tex]

 

[bigbang195]

Cho a,b,c>=0.C/m:
[TEX](a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2\ge abc(2a+b+c)(2b+a+c)(2c+a+b)[/TEX]

by AM-GM
[TEX]\prod_{cyc} (2a+b+c) \le \frac{64(a+b+c)^3}{27}[/TEX]

so we need prove :

[TEX]27\bigg(\prod_{cyc} (a+b) \bigg)^2 \ge 64abc(a+b+c)^3[/TEX]

using 2 inequalities:

[TEX]\prod_{cyc} (a+b) \ge \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)[/TEX]

and :

[TEX](ab+bc+ac)^2 \ge 3abc(a+b+c)[/TEX]

we have done :M047:

 

[bigbang195]

đặt:[tex]a+b=x;b+c=y;c+a=z [/tex]
[tex]=>a=\frac{x+z-y}{2};b=\frac{x+y-z}{2};c=[/tex]

Tương đương :

[TEX]8(xyz)^2 \ge \prod_{cyc}(x+y-z)(x+y)[/TEX]

tuy hơi khó giải nhưng mà ta có bài toán mới khó hơn :M047:

 

[son_9f_ltv]

Try x=y=z=1 and m=0

[TEX]x,y,z \not= 1[/TEX] mà bạn

 

[bigbang195]

[TEX]x,y,z \not= 1[/TEX] mà bạn

sr tớ nhầm nhưng vẫn có trường hợp làm cho BDT kia sai khi m=0 . Chẳng hạn các bộ gần (1,1,1)

Mình đoán đề là [TEX] \sum \frac{(a+m)^2}{(a-1)^2} \ge 1[/TEX]

như vậy điều kiện a,b,c khác 1 nghe có lí hơn

 

[son_9f_ltv]

[TEX]a,b,c\ge 0,a+b+c=2[/TEX]
CM [TEX]\prod (a^2-ab+b^2)\le \frac{28}{35}[/TEX]

 

[legendismine]

Cho a,b,c>=0,a+b+c=1.C/m:
[TEX]\sum_{cyc}\frac {a}{4b^2+1}\ge (\sum_{cyc}a\sqrt {a})^2[/TEX]

 

[legendismine]

Cho x,y,z>=1.và 1/x + 1/y + 1/z=2.C/m:
[TEX]\sqrt {x+y+z}\ge \sum_{cyc}\sqrt{x-1}[/TEX]

 

[legendismine]

Cho x,y>0 thoa man x+y<=1.Tim gia tri nho nhat cua bieu thuc:
[TEX]F=\frac {1}{x^2+y^2}+\frac {1}{xy}+4xy[/TEX]

 

[0915549009]

Cho x,y,z>=1.và 1/x + 1/y + 1/z=2.C/m:
[TEX]\sqrt {x+y+z}\ge \sum_{cyc}\sqrt{x-1}[/TEX]

Chém bài này trước )))
[TEX]\sum \frac{1}{x}=2\Rightarrow \sum \frac{x-1}{x}=1[/TEX]
[TEX]\sum x=(\sum x)(\sum \frac{x-1}{x})\geq\sum \sqrt{x-1}[/TEX]

 

[duynhan1]

Cho x,y>0 thoa man x+y<=1.Tim gia tri nho nhat cua bieu thuc:
[TEX]F=\frac {1}{x^2+y^2}+\frac {1}{xy}+4xy[/TEX]

[TEX]F = \frac {1}{x^2+y^2}+\frac {1}{2 xy} + \frac{1}{4xy} + 4xy + \frac{1}{4xy} \ge \frac{4}{(x+y)^2} + 2 + \frac{1}{(x+y)^2} \geq 7 [/TEX]

 

[legendismine]

Cho a,b,c>0 thao man a+b+c=3.C/m:
[TEX]\sum_{cyc}\frac {a}{c^2+b}\ge \frac {3}{2}[/TEX]

 

[0915549009]

Dung k day" neu x=y=1 thi sao

Đề cho [TEX]x+y\leq 1[/TEX] mà anh
Dấu "=" khi [TEX]x=y=\frac{1}{2}[/TEX]