[Toán 8] Chuyên Đề Bất Đẳng Thức

[kid_1412_kudo_142120]

[TEX]a,b,c[/TEX] dương thỏa mãn [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh rằng:

[TEX]a^3+b^3+c^3 \ge a^2+b^2+c^2(1)[/TEX]

ta có
[TEX]a^3+a\geq2a^2[/TEX](cosi)
\Rightarrow[TEX]a^3+b^3+c^3\geq2(a^2+b^2+c^2)-a+b+c=2(a^2+b^2+c^2)-3[/TEX]
cần cm [TEX]a^2+b^2+c^2\geq3[/TEX]
ta có bdt quen thuộc [TEX]3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)^2=9[/TEX]\Rightarrowdpcm

[TEX]a,b,c[/TEX] không âm thoả mãn [TEX]a+b+c=3[/TEX]. tìm max:
[ [TEX] \frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1} [/TEX]

ta có [TEX]a+1\geq2\sqrt{a}[/TEX]\Rightarrow[TEX]\frac{a}{a+1}\leq\frac{\sqrt{a}}{2}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\leq\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{2}\leq\frac{\sqrt{3(a+b+c}}{2}=\frac{3}{2}[/TEX]

[TEX]a,b,c>0[/TEX] thoả mãn [TEX]a+b+c=3 [/TEX]tìm min:

[TEX]\frac{a+3}{(a+1)^2}+\frac{b+3}{(b+1)^2}+\frac{c+3}{(c+1)^2}[/TEX]

[TEX]\frac{a+3}{(a+1)^2}+\frac{b+3}{(b+1)^2}+\frac{c+3}{(c+1)^2}=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{2}{(a+1)^2}+\frac{2}{(b+1)^2}+\frac{2}{(c+1)^2}[/TEX]\geq3 ( áp dung Svacso thui )
dau = xay ra khi va chi khi a=b=c=1

[TEX]a,b,c[/TEX] dương thỏa mãn [TEX]a+b+c=1[/TEX], Tìm min :

[TEX]\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}[/TEX]

áp dụng bất đẳng thức mincopsky là ra [TEX]\sqrt{10}[/TEX]
ok

[TEX]\frac{a+3}{(a+1)^2}+\frac{b+3}{(b+1)^2}+\frac{c+3}{(c+1)^2}=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{2}{(a+1)^2}+\frac{2}{(b+1)^2}+\frac{2}{(c+1)^2}\geq \frac{9}{a+b+c+1+1+1}+2(\frac{(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})^2}{(3}[/TEX]\geq[TEX] \frac{9}{6}+ 2\frac{ (\frac{9}{6})^2}{3}[/TEX]=3
dau = xay ra khi va chi khi a=b=c=1

[TEX]a,b,c[/TEX] dương thỏa mãn [TEX]a+b+c=1[/TEX], Tìm min :

[TEX]\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}[/TEX]

[TEX]\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\geq\sqrt{(a+b+c)^2+(1+1+1)^2}=\sqrt{10}[/TEX]

 

[herrycuong_boy94]

[TEX]a,b,c[/TEX] không âm thoả mãn [TEX]a+b+c=3[/TEX]. tìm max:

[TEX]\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1} [/TEX]

a,b,c dương thỏa mãn:[TEX]abc=1[/TEX]. Tìm min:

[TEX]\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)} [/TEX]

 

[dung_ns]

[TEX]a,b,c[/TEX] dương thỏa mãn [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh rằng:

[TEX]a^3+b^3+c^3 \ge a^2+b^2+c^2[/TEX]

áp dụng Bdt holder ta có:
[TEX](a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\geq(a^2+b^2+c^2)^3[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX] a^3+b^3+c^3\geq\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}\geq(a^2+b^2+c^2)\frac{(a+b+c)^2}{9}=a^2+b^2+c^2[/TEX]

 

[bigbang195]

[TEX]\frac{a+3}{(a+1)^2}+\frac{b+3}{(b+1)^2}+\frac{c+3}{(c+1)^2}=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{2}{(a+1)^2}+\frac{2}{(b+1)^2}+\frac{2}{(c+1)^2}[/TEX]\geq3 ( áp dung Svacso thui )
dau = xay ra khi va chi khi a=b=c=1

áp dụng bất đẳng thức mincopsky là ra [TEX]\sqrt{10}[/TEX]
ok

Bạn nên trình bày cả bài làm nếu làm được .

 

[bigbang195]

áp dụng Bdt holder ta có:
[TEX](a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\geq(a^2+b^2+c^2)^3[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX] a^3+b^3+c^3\geq\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}\geq(a^2+b^2+c^2)\frac{(a+b+c)^2}{9}=a^2+b^2+c^2[/TEX]

Thay vì Holder bạn có thể dùng Bunhia:

[TEX](a^3+b^3+c^3)(a+b+c) \ge (a^2+b^2+c^2)^2[/TEX]

 

[vuanoidoi]

anh sửa rồi đấy em: 0915549009..........

 

[bigbang195]

[TEX]a,b,c>0[/TEX] thoả mãn [TEX]abc=1 [/TEX] tìm min:

[TEX]\frac{a+3}{(a+1)^2}+\frac{b+3}{(b+1)^2}+\frac{c+3}{(c+1)^2}[/TEX]

 

[vuanoidoi]

a,b,c dương thỏa mãn:

[TEX]ab+bc+ac=1[/TEX].tìm min:

[TEX](a+b)(b+c)(a+c)[/TEX]

[TEX](a+b)(b+c)(a+c)[/TEX]=[tex]a+b+c-abc[/tex].................................

[TEX]a,b,c>0[/TEX] thỏa mãn :[TEX]a+b+c=3[/TEX]. tìm max:

[TEX]abc(a^2+b^2+c^2)[/TEX]

đặt: [tex] \sqrt[3]{abc} =x [/tex]
[tex]<=>abc(a^2+b^2+c^2) \leq x^3(9-6x^2) =-6x^5+9x^3-3+3 \leq 3 [/tex]

[TEX]a,b,c[/TEX] dương thỏa mãn [TEX]abc=1[/TEX]. Chứng minh:

[TEX]\frac{1}{a^2-a+1}+\frac{1}{b^2-b+1}+\frac{1}{c^2-c+1} \le 3[/TEX]

[tex]<=>\sum(1-\frac{1}{a^2-a+1}) \geq 0 [/tex] ........

[TEX]a,b,c [/TEX]dương thỏa mãn [TEX]ab+bc+ac=1[/TEX]: Tìm min:

[TEX]ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)[/TEX]

[TEX]ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)=a+b+c-3abc[/TEX]................

 

[bigbang195]

@vuanoidoi:Cậu làm tiếp đi .

tìm min:

[TEX]a^2+4a+19[/TEX]
p/s : hết bài ==!

 

[0915549009]

tìm min:

[TEX]a^2+4a+19[/TEX]

Có nhầm ko vậy anh?...........................
[TEX]a^2+4a+19 \geq 15[/TEX]
Chak hết bài nên post bừa )))

 

[tell_me_goobye]

[TEX]a,b,c>0[/TEX] thoả mãn [TEX]abc=1 [/TEX] tìm min:

[TEX]\frac{a+3}{(a+1)^2}+\frac{b+3}{(b+1)^2}+\frac{c+3}{(c+1)^2}[/TEX]

đặt [TEX]a=\frac{1}{x}.............[/TEX]

BDT
[TEX] \Leftrightarrow \sum \frac{3x^2+x}{(x+1)^2} \geq 3[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \sum \frac{2x^2-x-1}{(x+1)^2} \geq 0 [/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \sum \frac{2x^2}{(x+1)^2} \geq \sum \frac{1}{x+1} [/TEX]
ta chỉ cần CM

[TEX]\frac{x^2}{(x+1)^2} +\frac{y^2}{(y+1)^2} \geq \frac{1}{1+z}=\frac{xy}{xy+1}[/TEX]
bổ tung là ổn
tương đương với
[TEX]x^3y^3+x^2+y^2-2x^2y^2-xy \geq x^3y^3+2xy-2x^2y^2-xy \geq 0 [/TEX]
tương đương [TEX]xy(xy-1)^2 \geq 0[/TEX]
đúng

 

[0915549009]

đặt [TEX]a=\frac{1}{x}.............[/TEX]

BDT
[TEX] \Leftrightarrow \sum \frac{3x^2+x}{(x+1)^2} \geq 3[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \sum \frac{2x^2-x-1}{(x+1)^2} \geq 0 [/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \sum \frac{2x^2}{(x+1)^2} \geq \sum \frac{1}{x+1} [/TEX]
ta chỉ cần CM

[TEX]\frac{x^2}{(x+1)^2} +\frac{y^2}{(y+1)^2} \geq \frac{1}{1+z}[/TEX]
bổ tung là ổn

Các anh làm bài mà mem 8 chúng em chẳng hiểu gì cả @-)@-)@-)
Với lại là các anh nên làm rõ ràng hơn để bọn em còn tiếp thu đc, chứ thế này thì................... chak phải đi bái sư học toán mất :khi (15)::khi (15)::khi (15):

 

[bigbang195]

bạn ơi ở trên đấy
================================

Bạn lên cơ nhanh thật, sợ

a,b,c dương thỏa mãn[TEX] a+b+c=3[/TEX]. chứng minh:

[TEX]a^2+b^2+c^2 \ge \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}[/TEX]

)

 

[0915549009]

Sẵn tiện các anh làm giúp em mý bài.......
1) Cho x, y thuộc R, x \geq 2, x + y \geq 3
Tìm Min của biểu thức:
[TEX]x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}[/TEX]
2) Cho a + b + c = 1; a, b, c \geq 0. Tìm Max:
[TEX]\sum a(b-c)^4[/TEX]

 

[tell_me_goobye]

Bạn lên cơ nhanh thật, sợ

a,b,c dương thỏa mãn[TEX] a+b+c=3[/TEX]. chứng minh:

[TEX]a^2+b^2+c^2 \ge \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}[/TEX]

)

có
[TEX]\sum \frac{1}{a^2} \geq \sum \frac{1}{ab}[/TEX]

ta cần CM

[TEX]\sum \frac{1}{ab} \geq \sum a^2 \Leftrightarrow abc(a^2+b^2+c^2) \leq 3 [/TEX]

có [TEX] abc \leq \frac{(\sum ab)^2}{9}[/TEX]
và [TEX]\sum a^2 = 9 - 2\sum ab[/TEX]

đến đây thay vào là ok

 

[trydan]

[TEX]a,b,c[/TEX] dương thỏa mãn [TEX]a+b+c=1[/TEX], Tìm min :

[TEX]\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}[/TEX]

[TEX]a,b,c[/TEX] dương thỏa mãn [TEX]abc=1[/TEX]. TÌm max:

[TEX]\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}[/TEX]

a,b,c dương thỏa mãn:[TEX]abc=1[/TEX]. Tìm min:

[TEX]\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)} [/TEX]

a,b,c dương thỏa mãn:

[TEX]ab+bc+ac=1[/TEX].tìm min:

[TEX](a+b)(b+c)(a+c)[/TEX]

[TEX]a,b,c [/TEX]dương thỏa mãn [TEX]ab+bc+ac=1[/TEX]: Tìm min:

[TEX]ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)[/TEX]

a,b,c dkhông âm mãn: [TEX]a+b+c=1[/TEX]. tìm max:


[TEX]a^3b+b^3c+c^3a[/TEX]

[TEX]a,b,c[/TEX] dương thỏa mãn [TEX]a+b+c=abc[/TEX]

tìm min:

[TEX]\frac{a+b}{a^2b^2}+\frac{b+c}{b^2c^2}+\frac{a+c}{a^2c^2}[/TEX]

[TEX]a,b,c>0[/TEX] thỏa mãn :[TEX]a+b+c=3[/TEX]. tìm max:

[TEX]abc(a^2+b^2+c^2)[/TEX]

a,b,c dương . CM

[TEX]a^2+b^2+c^2+ab^2+bc^2+ca^2 +9 \ge 5(a+b+c)[/TEX]

[TEX]a,b,c>0[/TEX] thoả mãn [TEX]a+b+c=3 [/TEX]tìm min:

[TEX]\frac{a+3}{(a+1)^2}+\frac{b+3}{(b+1)^2}+\frac{c+3}{(c+1)^2}[/TEX]

a,b,c dương . thỏa mãn [TEX]abc=1[/TEX].
Chứng minh:

[TEX]\frac{1}{(a+1)^3}+\frac{1}{(b+1)^3}+\frac{1}{(c+1)^3} \ge \frac{3}{8}[/TEX]

[TEX]a,b,c[/TEX] dương thỏa mãn [TEX]abc=1[/TEX]. Chứng minh:

[TEX]\frac{1}{a^2-a+1}+\frac{1}{b^2-b+1}+\frac{1}{c^2-c+1} \le 3[/TEX]

[TEX]a,b,c>0[/TEX] và[TEX] abc=1[/TEX]. Chứng minh :

[TEX]\fbox{\red \frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[10]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}[/TEX]

Michael Rozenberg

Anh em post bài cho đúng và tương tầm với lớp [TEX]8[/TEX] nhé , nếu cao quá thì anh [TEX]Delete[/TEX] à, nếu mà thích cao thì cứ vào[TEX] Box \ \ 10 [/TEX]mà chơi

E nói lại nhé! Các bài toán BĐT không phù hợp với chương trình sẽ bị Delete
Mong các anh, chị post bài với mức độ vừa phải!

 

[trydan]

Cho

Chứng minh rằng

 

[0915549009]

[TEX]a,b,c[/TEX] dương thỏa mãn [TEX]abc=1[/TEX]. Tìm max:
[TEX]\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}[/TEX]

Hình như bài này ckưa có ai làm thỳ phải..........................
Đặt [TEX]a=\frac{x}{y}[/TEX] ; [TEX]b=\frac{y}{z}[/TEX] ; [TEX]c=\frac{z}{x}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2} =\frac{y}{x+2y}+\frac{z}{y+2z}+\frac{x}{z+2x}[/TEX]
[TEX]=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}(\frac{x^2}{x^2+2yx}+\frac{y^2}{y^2+2zy}+\frac{z^2}{z^2+2xz}) \leq \frac{3}{2}- \frac{1}{2}(\frac{(x+y+z)^2}{x^2+2yx+y^2+2yz+z^2+2xz})=\frac{3}{2}-\frac{1}{2} \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2}=1[/TEX]
Vậy [TEX]Max=1\Leftrightarrow a=b=c =1[/TEX]

 

[bigbang195]

Hình như bài này ckưa có ai làm thỳ phải..........................
Đặt [TEX]a=\frac{x}{y}[/TEX] ; [TEX]b=\frac{y}{z}[/TEX] ; [TEX]c=\frac{z}{x}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2} =\frac{x}{x+2y}+\frac{y}{y+2z}+\frac{z}{z+2x}[/TEX]
[TEX]=\frac{x^2}{x^2+2yx}+\frac{y^2}{y^2+2zy}+\frac{z^2}{z^2+2xz} \geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+2yx+y^2+2yz+z^2+2xz}=\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2}=1[/TEX]
Vậy [TEX]Min=1\Leftrightarrow a=b=c=1[/TEX]
Sao lại thành tìm Min thế này, bài em sai chăng?.............
Em vẫn ko tìm ra bài em sai chỗ nào, các anh giúp em với

ừ em xem tý, gần đúng rùi .

 

[bigbang195]

Sẵn tiện các anh làm giúp em mý bài.......
1) Cho x, y thuộc R, x \geq 2, x + y \geq 3
Tìm Min của biểu thức:
[TEX]x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}[/TEX]
2) Cho a + b + c = 1; a, b, c \geq 0. Tìm Max:
[TEX]\sum a(b-c)^4[/TEX]

Hình như em lấy ở TTT, bài 1 chọn điểm rơi dễ, bài 2 anh chịu /