[Toán 8] Chuyên Đề Bất Đẳng Thức

[girltoanpro1995]

Thử với: [TEX]x=y=z=\frac{1}{\sqrt{2}}[/TEX] thì: [TEX] \sum \frac{1}{2+x^3} > 1 > \frac{1}{3} [/TEX] :|:|:|:|:|

Tớ thấy [TEX] \sum \frac{1}{2+x^3}[/TEX] = 0.424889447 < 1
Nhưng mà tớ lại thấy [TEX]\frac{1}{1+x^2} # 2[/TEX]
Ta có: [TEX]\frac{1}{1+x^2} = 2 <=> 1= 2 + x^2[/TEX]
=> [TEX]2x^2 = -1[/TEX] ???
Mình thấy thế mà hok bjk có đúng ko.
Chú ý LATEX

 

[headshot123456]

Bài này Cô-si 100% đấy

2 số và 3 số.

 

[0915549009]

Cho x, y, z dương. Tìm Max của: [tex] \sum \frac{x}{2x+y} [/tex]
P/s: Mình tìm đc Max bằng 1 nhưng cách phân tích khá dài :khi (2)::khi (2)::khi (2):

 

[ak_47]

Cho x, y, z dương. Tìm Max của: [tex] \sum \frac{x}{2x+y} [/tex]
P/s: Mình tìm đc Max bằng 1 nhưng cách phân tích khá dài :khi (2)::khi (2)::khi (2):

Quy đồng à ) .

 

[vuanoidoi]

Cho x, y, z dương. Tìm Max của: [tex] \sum \frac{x}{2x+y} [/tex]
P/s: Mình tìm đc Max bằng 1 nhưng cách phân tích khá dài :khi (2)::khi (2)::khi (2):

[tex] \frac{x}{2x+y} = \frac{1}{2} - \frac{\frac{y}{2}}{2x+y} [/tex]

 

[0915549009]

[tex] \frac{x}{2x+y} = \frac{1}{2} - \frac{\frac{y}{2}}{2x+y} [/tex]

Thế này rùi làm sao nữa anh?................................. :khi (181)::khi (181)::khi (181):

[tex]=> \sum\frac{x}{2x+y} =\frac{3}{2}-\sum\frac{\frac{y}{2}}{2x+y} [/tex]

ta chỉ cần tìm min của [tex]\sum\frac{\frac{y}{2}}{2x+y} [/tex] là ok

ta có :

[tex]\sum\frac{\frac{y}{2}}{2x+y}=\sum\frac{\frac{y^2}{2}}{2xy+y^2} [/tex]

cái này dùng schwarz là ra chứ em.

Giúp thì giúp tới cùng đi anh

 

[vuanoidoi]

Thế này rùi làm sao nữa anh?................................. :khi (181)::khi (181)::khi (181):

[tex]=> \sum\frac{x}{2x+y} =\frac{3}{2}-\sum\frac{\frac{y}{2}}{2x+y} [/tex]
ta chỉ cần tìm min của [tex]\sum\frac{\frac{y}{2}}{2x+y} [/tex] là ok
ta có :
[tex]\sum\frac{\frac{y}{2}}{2x+y}=\sum\frac{\frac{y^2}{2}}{2xy+y^2}=\frac{1}{2}\sum\frac{y^2}{2xy+y^2} \geq \frac{1}{2}\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2}=\frac{1}{2} [/tex]
cái này dùng schwarz .

 

[trydan]

Lâu nay pic này chìm quá. Vớt nó lên thui
Cho

Chứng minh rằng

 

[dung_ns]

bai giải nè

Lâu nay pic này chìm quá. Vớt nó lên thui
Cho

Chứng minh rằng

Ta có
[TEX]\frac{a}{2a+b}>\frac{a}{2a+2b}[/TEX]
[TEX]\frac{b}{a+2b}>\frac{b}{2a+2b}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow\frac{a}{2a+b}+\frac{b}{a+2b}>\frac{a+b}{2a+2b}=\frac{1}{2}[/TEX]
ta lại có BDT thứ 2 tương đương
[TEX]\frac{a^2+b^2+4ab}{2a^2+5ab+2b^2}\leq\frac{2}{3}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]3a^2+12ab+3b^2\leq4a^2+10ab+4b^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]a^2-2ab+b^2\geq0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(a-b)^2\geq0[/TEX] luôn đúng
Dấu bằng xảy ra khi a=b

 

[trydan]

Bài típ
Cho

Chứng minh rằng

 

[khuongchinh]

[TEX]P=\frac{a}{a+2b+2c}+\frac{b}{2a+b+2c}+\frac{c}{2a+2b+c}[/TEX]

*MIN

[TEX]P+3=2(a+b+c)(\frac{1}{a+2b+2c}+\frac{1}{2a+b+2c}+\frac{1}{2a+2b+c})[/TEX]

[TEX]P+3=\frac{2}{5}(5a+5b+5c)(\frac{1}{a+2b+2c}+\frac{1}{2a+b+2c}+\frac{1}{2a+2b+c})[/TEX]\geq[TEX]\frac{2}{5}.9=\frac{18}{5}[/TEX]

\RightarrowP\geq3/5

* vế còn lai

[TEX]\frac{a}{a+2b+2c}[/TEX]<[TEX]\frac{a}{a+b+c}[/TEX]

tương tự với 2 cái kia cộng lại là OK

 

[dung_ns]

Bài típ
Cho

Chứng minh rằng

Đặt tổng là S ta có
[TEX]S<\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1[/TEX]
[TEX]S=\frac{a^2}{a^2+2ab+2ac}+\frac{b^2}{2ab+b^2+2bc}+\frac{c^2}{2ac+2bc+c^2}\geq\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+2ab+2bc+2ca}[/TEX]
Mà
[TEX](a+b+c)^2+2ab+2bc+2ca\leq(a+b+c)^2[/TEX][TEX]+\frac{2(a+b+c)^2}{3}\leq\frac{5(a+b+c)^2}{3}[/TEX]
Suy ra [TEX]S\geq\frac{3}{5}[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

 

[0915549009]

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1
Tìm Min của biểu thức:
[TEX]\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{abc}[/TEX]

 

[bigbang195]

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1
Tìm Min của biểu thức:
[TEX]\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{abc}[/TEX]

[TEX]abc \le \frac{(ab+bc+ac)(a+b+c)}{9}=\frac{ab+bc+ac}{9} \Rightarrow VT \ge \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ac}[/TEX]

min [TEX]=30 [/TEX]khi [TEX]a=b=c[/TEX]

 

[bigbang195]

[TEX]a,b,c[/TEX] dương thỏa mãn [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh rằng:

[TEX]a^3+b^3+c^3 \ge a^2+b^2+c^2[/TEX]

[TEX]a,b,c [/TEX]không âm và khác nhau từng đôi 1:Chứng minh rằng:

[TEX]\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(a-c)^2} \ge \frac{4}{ab+bc+ac}[/TEX]

Đề thi HK trường AMS

[TEX]a,b,c[/TEX] không âm thoả mãn [TEX]a+b+c=3[/TEX]. tìm max:

[TEX]\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1} [/TEX]

 

[0915549009]

[TEX]a+b+c=1[/TEX]

Tìm min

[TEX]\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2} [/TEX]

[TEX]a,b,c[/TEX] không âm.

Giờ mới làm được bài này

Lôi mấy bài cũ ra làm nhưng ko bik đúng hay sai :khi (2)::khi (130)::khi (54):


[TEX]\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2} = \frac{2}{2(ab+bc+ac)}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2} \geq\frac{(1+\sqrt{2})^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac} = (1+\sqrt{2})^2[/TEX]
Dấu"=" xảy ra khi a = b = c. Nhưng khi thử vào thì GT của BT lại bằng 6, chênh lệch 0, 2 :khi (169):

[TEX]abc \le \frac{(ab+bc+ac)(a+b+c)}{9}=\frac{ab+bc+ac}{9} \Rightarrow VT \ge \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ac}[/TEX]
min [TEX]=30 [/TEX]khi [TEX]a=b=c[/TEX]

Anh nói rõ đoạn cuối đc ko ạ?.........................

 

[bigbang195]

Lôi mấy bài cũ ra làm nhưng ko bik đúng hay sai :khi (2)::khi (130)::khi (54):


[TEX]\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2} = \frac{2}{2(ab+bc+ac)}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2} \geq\frac{(1+\sqrt{2})^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac} = (1+\sqrt{2})^2[/TEX]
Dấu"=" xảy ra khi a = b = c. Nhưng khi thử vào thì GT của BT lại bằng 6, chênh lệch 0, 2 :khi (169):


Anh nói rõ đoạn cuối đc ko ạ?.........................

Bài của anh không phải dâu bằng khi a=b=c

còn bài kia

em áp dụng Cauchy-Schwarz:

[TEX]\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac} \ge \frac{9}{(a+b+c)^2}=9[/TEX]

và [TEX]\frac{7}{ab+bc+ac} \ge \frac{7}{\frac{(a+b+c)^2}{3}} =21[/TEX]

Cộng lại em có min =30

 

[bigbang195]

[TEX]a,b,c[/TEX] dương thỏa mãn [TEX]a+b+c=1[/TEX], Tìm min :

[TEX]\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}[/TEX]

[TEX]a,b,c[/TEX] dương thỏa mãn [TEX]abc=1[/TEX]. TÌm max:

[TEX]\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}[/TEX]

a,b,c dương thỏa mãn:[TEX]abc=1[/TEX]. Tìm min:

[TEX]\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)} [/TEX]

a,b,c dương thỏa mãn:

[TEX]ab+bc+ac=1[/TEX].tìm min:

[TEX](a+b)(b+c)(a+c)[/TEX]

[TEX]a,b,c [/TEX]dương thỏa mãn [TEX]ab+bc+ac=1[/TEX]: Tìm min:

[TEX]ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)[/TEX]

a,b,c dkhông âm mãn: [TEX]a+b+c=1[/TEX]. tìm max:


[TEX]a^3b+b^3c+c^3a[/TEX]

[TEX]a,b,c[/TEX] dương thỏa mãn [TEX]a+b+c=abc[/TEX]

tìm min:

[TEX]\frac{a+b}{a^2b^2}+\frac{b+c}{b^2c^2}+\frac{a+c}{a^2c^2}[/TEX]

[TEX]a,b,c>0[/TEX] thỏa mãn :[TEX]a+b+c=3[/TEX]. tìm max:

[TEX]abc(a^2+b^2+c^2)[/TEX]

a,b,c dương . CM

[TEX]a^2+b^2+c^2+ab^2+bc^2+ca^2 +9 \ge 5(a+b+c)[/TEX]

[TEX]a,b,c>0[/TEX] thoả mãn [TEX]a+b+c=3 [/TEX]tìm min:

[TEX]\frac{a+3}{(a+1)^2}+\frac{b+3}{(b+1)^2}+\frac{c+3}{(c+1)^2}[/TEX]

a,b,c dương . thỏa mãn [TEX]abc=1[/TEX].
Chứng minh:

[TEX]\frac{1}{(a+1)^3}+\frac{1}{(b+1)^3}+\frac{1}{(c+1)^3} \ge \frac{3}{8}[/TEX]

[TEX]a,b,c[/TEX] dương thỏa mãn [TEX]abc=1[/TEX]. Chứng minh:

[TEX]\frac{1}{a^2-a+1}+\frac{1}{b^2-b+1}+\frac{1}{c^2-c+1} \le 3[/TEX]

[TEX]a,b,c>0[/TEX] và[TEX] abc=1[/TEX]. Chứng minh :

[TEX]\fbox{\red \frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[10]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}[/TEX]

Michael Rozenberg

 

[0915549009]

Bài của anh không phải dâu bằng khi a=b=c

Thế dấu "=" xảy ra khi nào ạ?......................... Và bài em như dzậy thì có đúng ko? :|:|:|

 

[bigbang195]

Thế dấu "=" xảy ra khi nào ạ?......................... Và bài em như dzậy thì có đúng ko? :|:|:|

Em làm như vậy rất đúng và thông minh, dấu bằng xảy của nó là điều kiện của dấu bằng trong BDT Cauchy-Schwarz :

[TEX]\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y} \ge \frac{(a+b)^2}{x+y} [/TEX]

Dấu bằng ở :[TEX]\frac{a}{x}=\frac{b}{y}[/TEX]

vậy : em cần tìm[TEX] a,b,c [/TEX]sao cho

[TEX]\frac{\sqrt{2}}{ab+bc+ac}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2} (*)[/TEX]

Có rất nhiều bộ a,b,c thỏa mãn ( *)

nên ta sẽ cho a=0, khi đó:
[TEX]\frac{\sqrt{2}}{bc}=\frac{1}{b^2+c^2}[/TEX]

em có thẻ thay [TEX]b=1-c [/TEX](vì [TEX]a=0[/TEX]) rồi giải PT là được, thích có thể thay[TEX] a=1/2,1/3 [/TEX]hay bất kìa số nào em thích ^^,

Anh học bài này từ đầu năm lớp 9 cứ tưởng dấu bằng khi a=b=c nên không ra ( ngu quá )