[Toán 8] Chuyên Đề Bất Đẳng Thức

[yunjaecouple_jaeno1]

Cho [TEX]a,b >0[/TEX] và [TEX]ab=1[/TEX]
Tìm Min : [TEX](a+b+1)(a^2+b^2)+ \frac{4}{a+b}[/TEX]

theo bất đẳng thức cosi, có
[TEX]\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a + b \geq \sqrt{ab} .2 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a + b \geq 2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a + b) min = 2[/TEX]


tương tự có
[TEX]\frac{(a + b)^2}{2^2} \geq ab}[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow a^2 + b^2 \geq ab . 4 - 2ab[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2 + b^2 \geq 2 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a^2 + b^2) min = 2 [/TEX]

thay 2 giá trị trên vào bài, có:

[TEX](a + b +1)(a^2 + b^2)+ \frac{4}{a+b}[/TEX]
[TEX]= (2 + 1)2 + \frac{4}{2}[/TEX]
[TEX]= 6 + 2[/TEX]
[TEX]= 8[/TEX]

sr vì bải giải trên hơi sai.
nếu giải thì bạn nên dùng cách của mình
rõ ràng, lại còn vận dụng đúng cosi nữa ^^
[/SIZE][/FONT][/SIZE][/FONT]

 

[01263812493]

theo bất đẳng thức cosi, có
[TEX]\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \Leftrightarrow a + b \geq \sqrt{ab} + 2 [/u] \Leftrightarrow a + b \geq 1 +2 \Leftrightarrow a + b \geq 3[/TEX]

vậy a +b min bằng 3

tương tự có [TEX]\frac{a^2 + b^2}{2} \geq a^2b^2} \Leftrightarrow a^2 + b^2 \geq a^2b^2 + 2 \Leftrightarrow a^2 + b^2 \geq 1 +2 \Leftrightarrow a^2 + b^2 \geq 3[/TEX]
\Rightarrow [TEX]a^2 + b^2 [/TEX] min bằng 3

\Rightarrow [TEX](a+b+1)(a^2+b^2)+ \frac{4}{a+b}[/TEX] min bằng [TEX]\frac{31}{3}[/TEX]

Sai rồi mà còn khó hju~ nữa
những chỗ gạch dưới là hok hju~ đấy@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-) (vô lí)

 

[tell_me_goobye]

Cho [TEX]a,b >0[/TEX] và [TEX]ab=1[/TEX]
Tìm Min : [TEX](a+b+1)(a^2+b^2)+ \frac{4}{a+b}[/TEX]

bài này chọn điểm rơi thôi mà

BDT [TEX]\Leftrightarrow (a+b)(a^2+b^2) +(a^2+b^2) +\frac{4}{a+b}[/TEX]
\geq 4 + 4 =8

 

[0915549009]

Cho a, b, c > 0. CMR:
[TEX]a+b+c\leq\frac{1}{2}(\frac{a^2+b^2}{c}+\frac{b^2+c^2}{a}+\frac{c^2+a^2}{b})\leq\frac {a^3}{bc}+ \frac {b^3}{ca} + \frac {c^3}{ab}[/TEX]
P/s: E thử sửa lại như vậy, hok bik có đúng k.... :|:|:|:|:|

 

[bigbang195]

Cho a, b, c > 0. CMR:
[TEX]a+b+c\leq\frac{1}{2}(\frac{a^2+b^2}{c^2}+\frac{b^2+c^2}{a^2}+\frac{c^2+a^2}{b^2})\leq\frac {a^3}{bc}+ \frac {b^3}{ca} + \frac {c^3}{ab}[/TEX]

Biểu thức giữa chép nhầm đề rùi .

 

[0915549009]

Biểu thức giữa chép nhầm đề rùi .

Không nhầm đâu a................... Thử vs mấy số thỳ thấy BĐT đúng............... :|:|:|

 

[bigbang195]

Không nhầm đâu a................... Thử vs mấy số thỳ thấy BĐT đúng............... :|:|:|

a=b=c thì cái ở giữa luôn bằng 3 đấy
.
giờ mỗi số =100 thì a+b+c=300 đấy

 

[0915549009]

Cho a, b, c > 0. CMR:
[TEX]a+b+c\leq\frac{1}{2}(\frac{a^2+b^2}{c}+\frac{b^2+c^2}{a}+\frac{c^2+a^2}{b})\leq\frac {a^3}{bc}+ \frac {b^3}{ca} + \frac {c^3}{ab}[/TEX]
P/s: E thử sửa lại như vậy, hok bik có đúng k.... :|:|:|:|:|

Bài này mình áp dụng Cô-si là ok, nhưng cô lại yêu cầu dùng Trêbưsep :|:|:|:|. Thế mới khổ.........................................

 

[tell_me_goobye]

Cho a, b, c > 0. CMR:
[TEX]a+b+c\leq\frac{1}{2}(\frac{a^2+b^2}{c}+\frac{b^2+c^2}{a}+\frac{c^2+a^2}{b})\leq\frac {a^3}{bc}+ \frac {b^3}{ca} + \frac {c^3}{ab}[/TEX]
P/s: E thử sửa lại như vậy, hok bik có đúng k.... :|:|:|:|:|

bài này chém như sau

áp dụng cauchy schwarz ta có

[TEX] +) \sum \frac{a^2+b^2}{c} \geq 2(a+b+c)[/TEX]
+) áp dụng CÔSI ta có

[TEX] \frac{a^3}{bc}+\frac{ab}{c} \geq 2\frac{a^2}{c}[/TEX]
[TEX] \frac{b^3}{ac}+\frac{ab}{c} \geq 2\frac{b^2}{c} [/TEX]

thiết lập các BDT tương tự ta được

[TEX]2 (\sum \frac{a^2+b^2}{c}) \leq 2(\sum \frac{a^3}{bc}) +2 (\sum \frac{ab}{c})[/TEX]

lại có [TEX] \frac{a^3}{bc} +\frac{b^3}{ac} \geq 2\frac{ab}{c}[/TEX]
lại thiết lập các BDT tượng tự ta có
[TEX] 2(\sum \frac{ab}{c})\leq 2(\sum \frac{a^3}{bc})[/TEX]

từ đó
[TEX]=> 2(\sum \frac{a^2+b^2}{c}) \leq 4( \sum \frac{a^3}{bc})[/TEX]
=> đpcm
hoàn tất

 

[quan8d]

Bài này mình áp dụng Cô-si là ok, nhưng cô lại yêu cầu dùng Trêbưsep :|:|:|:|. Thế mới khổ.........................................

[TEX]a+b+c \leq \frac{1}{2}(\frac{a^2+b^2}{c}+ \frac{b^2+c^2}{a}+ \frac{c^2+a^2}{b})[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2(a+b+c) \leq \frac{a^2+b^2}{c}+\frac{b^2+c^2}{a}+\frac{c^2+a^2}{b}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 3(a+b+c) \leq (a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/TEX]
[TEX]a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3}[/TEX]
Đến đây thì rõ rồi.
Mình không có ý kiến phản đối nhưng làm TBS lâu lắm, còn nếu thích thì cứ giả sử [TEX]a \geq b \geq c[/TEX] nên [TEX]3(a.a+b.b+c.c) \geq (a+b+c)(a+b+c)[/TEX]

 

[tell_me_goobye]

một baì thú vị

a.b.c >0
CM [TEX]\sum \sqrt{\frac{a}{4a+4b+c}} \leq 1[/TEX]

 

[01263812493]

Cho a, b, c > 0. CMR:
[TEX]\frac{1}{2}(\frac{a^2+b^2}{c}+ \frac{b^2+c^2}{a}+ \frac{c^2+a^2}{b}) \leq\frac {a^3}{bc}+ \frac {b^3}{ca} + \frac{c^3}{ab}[/TEX]
P/s: E thử sửa lại như vậy, hok bik có đúng k.... :|:|:|:|:|

Sao mà dc :
[TEX]\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ac} \geq \frac{2ab}{c} \leq \frac{a^2+b^2}{c}[/TEX]

 

[thjenthantrongdem_bg]

Chém thử 1 bài dễ nhé....

Với a>c, [TEX]b\geq c[/TEX], c>0. Chứng minh

[TEX]\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{ab}[/TEX]

 

[queenbee_4795]

[TEX]\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{ab}[/TEX] (1)
<=>[TEX]\sqrt{\frac{c}{b}.\frac{a-c}{a}} + \sqrt{\frac{c}{a}.\frac{b-c}{b}} \leq 1[/TEX] (2)

Ta thấy
[TEX]\sqrt{\frac{c}{b}(\frac{a-c}{a})} \leq \frac{1}{2}(\frac{c}{b}(\frac{a-c}{a}))[/TEX]
<=> [TEX]\sqrt{\frac{c}{b}(\frac{a-c}{a})} \leq \frac{1}{2}(1+\frac{c}{b}-\frac{c}{a})[/TEX] (3)

[TEX]\sqrt{\frac{c}{a}(\frac{b-c}{b})} \leq \frac{1}{2}(\frac{c}{a}(\frac{b-c}{b}))[/TEX]
<=> [TEX]\sqrt{\frac{c}{a}(\frac{b-c}{b})} \leq \frac{1}{2}(1+\frac{c}{a}-\frac{c}{b})[/TEX] (4)

Cộng vế với vế của 3 và 4 sẽ ra 2 (đpcm)
Gõ mấy cái công thức toán mệt hết cả ng @-) @-) @-) @-)

 

[0915549009]

Chém thử 1 bài dễ nhé....
Với a>c, [TEX]b\geq c[/TEX], c>0. Chứng minh
[TEX]\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{ab}[/TEX]

đk thế này mới đúng a ≥ c, b ≥ c, c ≥ 0 (để đk trong căn xác định)
[TEX]\sqrt{c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{ab}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow c(a-c) + c(b-c) + 2c\sqrt{(a-c)(b-c)} \leq ab[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow ca + cb - 2c^2 + 2c\sqrt{ab-ac-bc+c^2} \leq ab[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2c\sqrt{ab-ac-bc+c²} \leq 2c^2+ab-ca-cb[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4c^2(ab-ac-bc+c^2) \leq4c^4+a^2b^2+c^2a^2+c^2b^2 + 4abc^2 - 4ac^3- 4bc^3-2a^2bc-2ab^2c +2abc^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow0 \leq a^2b^2 + c^2a^2 + c^2b^2 - 2a^2bc - 2ab^2c + 2abc^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 0 \leq (ab - ca - bc)^2[/TEX]
Vậy bđt đúng

 

[herrycuong_boy94]

Chém thử 1 bài dễ nhé....

Với a>c, [TEX]b\geq c[/TEX], c>0. Chứng minh

[TEX]\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{ab}[/TEX]

cách2 :
theo BDT bunhiacopxki, ta có :

==> xong

 

[vuanoidoi]

đk thế này mới đúng a ≥ c, b ≥ c, c ≥ 0 (để đk trong căn xác định)
[TEX]\sqrt{c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{ab}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow c(a-c) + c(b-c) + 2c\sqrt{(a-c)(b-c)} \leq ab[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow ca + cb - 2c^2 + 2c\sqrt{ab-ac-bc+c^2} \leq ab[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2c\sqrt{ab-ac-bc+c²} \leq 2c^2+ab-ca-cb[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 4c^2(ab-ac-bc+c^2) \leq4c^4+a^2b^2+c^2a^2+c^2b^2 + 4abc^2 - 4ac^3- 4bc^3-2a^2bc-2ab^2c +2abc^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow0 \leq a^2b^2 + c^2a^2 + c^2b^2 - 2a^2bc - 2ab^2c + 2abc^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 0 \leq (ab - ca - bc)^2[/TEX]
Vậy bđt đúng

ừ cách em đúng nhưng cái này dùng CS nhah hơn đoá
[tex](\sqrt{(c(a-c)} + \sqrt{(c(b-c)})^2 \leq ab [/tex]

 

[tell_me_goobye]

SECBIA
cho x,y,z >0
và [TEX]\sum \frac{1}{1+x^2} =2[/TEX]
CM
[TEX] \sum \frac{1}{2+x^3} < \frac{1}{3}[/TEX]

 

[0915549009]

SECBIA
cho x,y,z >0
và [TEX]\sum \frac{1}{1+x^2} =2[/TEX]
CM
[TEX] \sum \frac{1}{2+x^3} < \frac{1}{3}[/TEX]

Thử với: [TEX]x=y=z=\frac{1}{\sqrt{2}}[/TEX] thì: [TEX] \sum \frac{1}{2+x^3} > 1 > \frac{1}{3} [/TEX] :|:|:|:|:|

 

[tell_me_goobye]

xem lại đi bạn <1 đấy chứ
====================