[Toán 8] Chuyên Đề Bất Đẳng Thức

[0915549009]

Tìm tất cả các số

sao BDT luôn đúng với mọi

và

:

Bài trên là 1 trường hợp đặc biệt với

Bạn có thể chứng minh dạng tổng quát này đc ko? Còn bài kia thì mình thấy hơi khó hiểu

 

[ak_47]

Tìm tất cả các số

sao BDT luôn đúng với mọi

và

:

Bài trên là 1 trường hợp đặc biệt với

dễ có[TEX] k \le \frac{15}{4}[/TEX]

vì abc là đại lượng nhỏ hơn 1 nên k càng cao thì BDT càng mạnh , Do vậy ta chỉ cần Chứng minh BDT đúng với [TEX]k=\frac{15}{4}[/TEX] là xong

[TEX]a^2+b^2+c^2+\frac{15abc}{4} \ge 9-2q+\frac{5(4q-9)}{4} \ge \frac{27}{4}[/TEX]

ĐÚng vì [TEX]q \le 3[/TEX]

 

[ak_47]

Cho các số thực dương a,b,c,d thoả mãn :
[TEX]a+b+c+d = a^2+b^2+c^2+d^2[/TEX]
Chứng minh rằng :
[TEX]2(a^3+b^3+c^3+d^3)+a+b+c+d \leq 12[/TEX]

[TEX]2a(a+b+c+d)=2a^2+2a(b+c+d) \le 3a^2+(b+d+c)^2 \le 3a^2+3(b^2+d^2+c^2)=3(a^2+b^2+c^2+d^2)=3(a+b+c+d)[/TEX]

do đó [TEX]a \le \frac{3}{2}[/TEX]

mặt khác ta có

Ta có [TEX]2a^3+8a-7a^2-3=(a+1)^2(2a-3) \le 0 [/TEX]

do đó

[TEX]2(a^3+b^3+c^3+d^3)+a+b+c+d+7(a+b+c+d-a^2-b^2-c^2-d^2) \le 12[/TEX]

Điều phải chứng minh

 

[0915549009]

1) Cho a, b, c dương và abc = 1
CMR: [TEX](a+b)(b+c)(c+a)+7\geq 5(a+b+c)[/TEX]

 

[vuanoidoi]

1) Cho a, b, c dương và abc = 1
CMR: [TEX](a+b)(b+c)(c+a)+7\geq 5(a+b+c)[/TEX]

BĐT<=>[tex]a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+2abc+7\geq 5(a+b+c)[/tex]
<=>[tex](ab+ac+bc)(a+b+c)+6 \geq5(a+b+c)[/tex]
using p,q,r

 

[0915549009]

BĐT<=>[tex]a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+2abc+7\geq 5(a+b+c)[/tex]
<=>[tex](ab+ac+bc)(a+b+c)+6 \geq5(a+b+c)[/tex]
using p,q,r

Nếu áp dụng p, q, r thì bạn phân tích ra làm gì cho dài:
[tex](a+b)(b+c)(c+a)+7\geq5(a+b+c)[/tex]
\Leftrightarrow [TEX]pq-r+7\geq5(a+b+c)\Leftrightarrow pq+6\geq5p[/TEX]
Nhưng đến đây thì làm sao nữa, bạn làm rõ ra đi

 

[bigbang195]

1) Cho a, b, c dương và abc = 1
CMR: [TEX](a+b)(b+c)(c+a)+7\geq 5(a+b+c)[/TEX]

Giả sử

hay

thì

suy ra

thay

ta chỉ cần chứng minh :

Đặt

thì ta cần chứng minh

Vì

nên

Phép chứng minh hoàn tất

 

[quyenuy0241]

Uhm, anh nhầm chút , giải lại nhá )

[tex]a=max{a,b,c}[/tex] đặt b+c=x . chúng ta có [/tex]a \ge 1 , x \ge 2\sqrt{bc}=\frac{2}{\sqrt{a}}[/tex]

Xét
[tex]f(a,b,c)=(a+b)(b+c)(c+a)+7-5(a+b+c)=x(ax+a^2+bc)+7-5(a+x)=ax^2+(a^2+bc-5)x+7-5a= a(x+\frac{a^2+bc-5}{2a})^2-\frac{a^2+bc-5}{4a}+7-5a [/tex]


Lại có [tex]\frac{2}{\sqrt{a}} \ge \frac{2}{a}[/tex]
Xét [tex]x+\frac{a^2+bc-5}{2a} \ge \frac{2}{\sqrt{a}}+\frac{a^2+bc-5}{2a} \ge \frac{2}{a}+\frac{a^2+bc-5}{2a}= \frac{a^2+\frac{1}{a}-1}{2a} >0 [/tex]


Thế [tex]x= \frac{2}{\sqrt{a}}[/tex] vô
[tex]f(a,b,c) \ge 2(a^2+\frac{1}{a}-5)\frac{1}{\sqrt{a}}+11-5a[/tex]

Đặt [tex]t=\sqrt{a}[/tex]

[tex]f(a,b,c) \ge 2(t^3+\frac{1}{t^3}-\frac{5}{t})+11-5t^2=\frac{2t^6-5t^5+11t^3-10t^2+2}{t^3} \ge \frac{(t-1)^2(2t^4-t^3-4t^2+4t+2)}{t^3} \ge 0 [/tex]

 

[bigbang195]

Anh giải thích hộ em

[TEX]a+b+c-5 \ge x^2-3[/TEX]

tương đương

[TEX]ab+bc \ge 2[/TEX]

mặt khác còn chưa biết [TEX]a+b+c-5[/TEX] âm hay dương ạ.

do anh nhầm [TEX]cx=\sqrt{c}[/TEX] chứ không là 1 ạ .

 

[mathematician_287]

hhdf

Chứng minh rằng nếu

thì

Mình thấy cách của BigBang195 cho bài giải này hơi khó hiểu theo mình cách này có vẻ dễ hiểu hơn:
Ta có
\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}) ^2
Ta lại có (\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^2 - (\frac{x}{y}+\frac{y}{x}) - 2
= (\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1)( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} - 2) \geq 0
Vì theo cô-si ta có \frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2
\Rightarrow Dpcm

 

[quyenuy0241]

P/s : anh giải lại roài đó !!! Đừng xóa bài này để anh post bài tiếp nhá

 

[0915549009]

Chứng minh rằng nếu

thì

Mình thấy cách của BigBang195 cho bài giải này hơi khó hiểu theo mình cách này có vẻ dễ hiểu hơn:
Ta có
\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}[/IMG])^2
Ta lại có (\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^2 - (\frac{x}{y}+\frac{y}{x}) - 2
= (\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1)( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} - 2) \geq 0
Vì theo cô-si ta có \frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2

Làm dzậy làm gì cho dài, mà bài này từ lâu lắm rồi mà,.................... :|:|
[TEX]\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2} \geq \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \Leftrightarrow \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2} - \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \geq 0 \Leftrightarrow (x-y)^2(x^2+xy+y^2)\geq0 \Rightarrow dpcm[/TEX]

 

[bigbang195]

Uhm, anh nhầm chút , giải lại nhá )

[tex]a=max{a,b,c}[/tex] đặt b+c=x . chúng ta có [/tex]a \ge 1 , x \ge 2\sqrt{bc}=\frac{2}{\sqrt{a}}[/tex]

Xét
[tex]f(a,b,c)=(a+b)(b+c)(c+a)+7-5(a+b+c)=x(ax+a^2+bc)+7-5(a+x)=ax^2+(a^2+bc-5)x+7-5a= a(x+\frac{a^2+bc-5}{2a})^2-\frac{a^2+bc-5}{4a}+7-5a [/tex]


Lại có [tex]\frac{2}{\sqrt{a}} \ge \frac{2}{a}[/tex]
Xét [tex]x+\frac{a^2+bc-5}{2a} \ge \frac{2}{\sqrt{a}}+\frac{a^2+bc-5}{2a} \ge \frac{2}{a}+\frac{a^2+bc-5}{2a}= \frac{a^2+\frac{1}{a}-1}{2a} >0 [/tex]


Thế [tex]x= \frac{2}{\sqrt{a}}[/tex] vô
[tex]f(a,b,c) \ge 2(a^2+\frac{1}{a}-5)\frac{1}{\sqrt{a}}+11-5a[/tex]

Đặt [tex]t=\sqrt{a}[/tex]

[tex]f(a,b,c) \ge 2(t^3+\frac{1}{t^3}-\frac{5}{t})+11-5t^2=\frac{2t^6-5t^5+11t^3-10t^2+2}{t^3} \ge \frac{(t-1)^2(2t^4-t^3-4t^2+4t+2)}{t^3} \ge 0 [/tex]

Đáng ra anh phải chứng minh delta âm chứ ạ :-?? .

 

[quyenuy0241]

Đáng ra anh phải chứng minh delta âm chứ ạ :-?? .

uhm đó cũng là 1 ý tưởng em thử làm coi xem thế nào

 

[bigbang195]

uhm đó cũng là 1 ý tưởng em thử làm coi xem thế nào

Anh mới chứng minh được hệ số của a^2 dương thui ạ, còn mấy cái kia ạ .

 

[01263812493]

Bài này hok bik khó hok . mọi người thử nhé .
Cho [TEX]x,y,z >0[/TEX] và [TEX]x^3+y^3+z^3=1[/TEX]
C/m: [TEX]\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+ \frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}} \geq 2[/TEX]

 

[tell_me_goobye]

cho x,y,z >0

TÌM MIN


[TEX] \frac{x^7z}{x^5y^2z+2y^6} + \frac{x^7z^6}{y^5z^4+2x} +\frac{1}{z^2x^2+2x^6yz^7} [/TEX]

 

[bigbang195]

Bài này hok bik khó hok . mọi người thử nhé .
Cho [TEX]x,y,z >0[/TEX] và [TEX]x^3+y^3+z^3=1[/TEX]
C/m: [TEX]\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+ \frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}} \geq 2[/TEX]

Ta có

[TEX]VT=\sum \frac{x^3}{\sqrt{x^2(1-x^2)}}[/TEX]

THEO AM-GM
[TEX]\sqrt{x^2(1-x^2)} \le \frac{1}{2}[/TEX]

do vậy

[TEX]VT \ge 2\sum x^3=2[/TEX]

 

[vuanoidoi]

Bài này hok bik khó hok . mọi người thử nhé .
Cho [TEX]x,y,z >0[/TEX] và [TEX]x^3+y^3+z^3=1[/TEX]
C/m: [TEX]\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+ \frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}} \geq 2[/TEX]

đặt A= [TEX]\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+ \frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}} [/tex]
chọn B=[tex](1-x^2)x^5+(1-y^2)y^5+(1-z^2)z^5[/tex]
ap dung BDT HOLDER cho [tex]A^2B[/tex]

 

[0915549009]

Cho a, b, c \geq 0 và a + b + c = 1
C/m: [TEX]\sum \frac{ab}{c+1} \leq \frac{1}{4} [/TEX]