[Toán 8] Chuyên Đề Bất Đẳng Thức

[trydan]

[Cauchy]

Chứng minh rằng

 

[quan8d]

Chứng minh rằng

[TEX] \sum a^2(1+b^2) \geq 2(a^2b+b^2c+c^2a) \geq 6abc [/TEX]

 

[0915549009]

Chứng minh rằng

ta có: [TEX]1 + b^2 \geq 2b[/TEX]; [TEX]1 + c^2 \geq 2c[/TEX]; [TEX]1 + a^2 \geq 2a[/TEX]

\Rightarrow [TEX]\sum a^2(1 + b^2) \geq 2\sum a^2b \geq 6abc[/TEX]
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow a = b = c = 1

 

[trydan]

[Cauchy]

Cho

Chứng minh rằng

 

[bigbang195]

Cho

Chứng minh rằng

do [TEX]a,b,c \in [0,1] [/TEX]nên

[TEX]a^2b \ge a^2b^2...[/TEX]

chỉ cần chứng minh

[TEX]\sum_{cyc}a^2b^2+1 \ge \sum_{cyc} a^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)+a^2b^2c^2 \ge 0[/TEX]

điều này luôn đúng

 

[quan8d]

Giúp thì giúp tới cùng luôn a )
Trích nguyên văn từ ví dụ 23 trang 15:
Sử Dụng PP đổi biến p, q, r

ta đưa bất đẳng trên về dạng như sau

Biến đổi tương đương, rút gọn, ta cần chứng minh

Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

hoặc

và các hoán vị của nó

[TEX]pq(p^3-4pqr+9r)+q(p^4-5p^2q+4q^2+6pr)+r(pq-9r) \geq 0[/TEX]

 

[trydan]

Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng

 

[0915549009]

Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng
A =

Ta có: [TEX](a + b)(a^2 + b^2) \leq 2(a^3 + b^3)[/TEX]
[TEX]A \geq\sum \frac{a^4}{2(a^3 + b^3)} \geq \frac{\sum {a }}{4} \Leftrightarrow \sum \frac{a^4}{a^3 + b^3} \geq \frac{\sum {a}}{2} [/TEX] (*)
Ta CM bổ đề sau:
[TEX]\frac{a^4}{a^3 + b^3} \geq \frac{3a - b}{4}[/TEX]
K/h vs PT (*) \Rightarrow đpcm
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow a = b = c = d
Chẳng bik có đúng ko nữa, chak sai quá :-SS:-SS:-SS

 

[phananthai4]

cho [TEX]a^2+b^2+c^2=|ab+bc+ca|[/TEX] chứng minh a=b=c
giúp mình voi cảm ơn nhiều

 

[0915549009]

cho a^2+b^2+c^2=|ab+bc+ca| chứng minh a=b=c
giúp mình voi cảm ơn nhiều

ta có: [TEX]|ab+bc+ca| = \sqrt{(ab + bc + ca)^2} \Rightarrow (a^2 + b^2 + c^2)^2 = (ab + bc + ca)^2 \Leftrightarrow (a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca) = 0 \Leftrightarrow a = b = c[/TEX]

 

[01263812493]

Cho [TEX] xyz - \frac{16}{x+y+z}=0[/TEX] Tìm Min :[TEX] (x+y)(x+z)[/TEX]

 

[trydan]

Cho a, b, c dương. Chứng minh rằng

 

[quan8d]

Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng

P = [TEX]\sum \frac{a^4}{(a+b)(a^2+b^2)}[/TEX]
Q = [TEX]\sum \frac{b^4}{(a+b)(a^2+b^2)}[/TEX]
Ta có : P-Q = [TEX]a-b+b-c+c-a = 0[/TEX]
Suy ra : P = Q = [TEX]\frac{P+Q}{2} = \frac{1}{2}.\sum \frac{a^4+b^4}{(a+b)(a^2+b^2)}[/TEX]
[TEX]\sum \frac{a^4+b^4}{(a+b)(a^2+b^2)} \geq \sum \frac{a^2+b^2}{2(a+b)} \geq \sum \frac{a+b}{4} = \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
Nên : [TEX]\frac{1}{2}.\sum \frac{a^4+b^4}{(a+b)(a^2+b^2)} \geq \frac{a+b+c}{4}[/TEX]
Vậy [TEX]\sum \frac{a^4}{(a+b)(a^2+b^2)} \geq \frac{a+b+c}{4}[/TEX]

 

[01263812493]

Ta có: x = 1 - y
[TEX] \Rightarrow (1-\frac{1}{x^2})(1-\frac{1}{y^2}) = (1-\frac{1}{(1 - y)^2})(1-\frac{1}{y^2})[/TEX]
Đến bước này thì quá dễ rùi
[TEX] Min P = 9 \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2} [/TEX] @-)@-)@-)@-)@-)@-)

SAo mình làm mãi mà hok ra nhỉ
Giúp thì giúp cho trót đi

 

[quyenuy0241]

Cho [TEX] xyz - \frac{16}{x+y+z}=0[/TEX] Tìm Min :[TEX] (x+y)(x+z)[/TEX]

Thiếu điều kiện kìa em! [TEX]x,y,z>0[/TEX]

[TEX](x+y)(x+z) \ge 2\sqrt{xyz(x+y+z)}[/TEX]

 

[01263812493]

Thiếu điều kiện kìa em! [TEX]x,y,z>0[/TEX]

[TEX](x+y)(x+z) \ge 2\sqrt{xyz(x+y+z)}[/TEX]

Đề không cho điều kiện j` cả.
Mà nếu [TEX]x,y,z >0[/TEX] thì tại sao ta lại có : [TEX](x+y)(x+z) \ge 2\sqrt{xyz(x+y+z)}[/TEX] Chỉ với ???
Ah` mọi người cho tui hỏi :
Theo: [TEX]Cauchy-- Schwarz \ \ \frac{a_1^2}{x_1}+\frac{a_2^2}{x_2}+.....+ \frac{a_n^2}{x_n} \geq \frac{(a_1+a_2+a_3+...+a_n)^2}{x_1+x_2+...+x_n}[/TEX]
Zậy đẳng thức xảy ra khi nào zậy

 

[nhockthongay_girlkute]

Đề không cho điều kiện j` cả.
Mà nếu [TEX]x,y,z >0[/TEX] thì tại sao ta lại có : [TEX](x+y)(x+z) \ge 2\sqrt{xyz(x+y+z)}[/TEX] Chỉ với ???

ta có [TEX]xyz-\frac{16}{x+y+z}=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]xyz(x+y+z)=16[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x(x+y+z)yz=16[/TEX]
lại có [TEX](x+y)(x+z)=x(x+y+z)+yz\ge\ 2sqrt{x(x+y+z)yz}=8[/TEX]( cauchy)

 

[nhockthongay_girlkute]

SAo mình làm mãi mà hok ra nhỉ
Giúp thì giúp cho trót đi

ta có [TEX](1-\frac{1}{x^2})(1-\frac{1}{y^2})=\frac{(x^2-1)(y^2-1)}{x^2y^2}[/TEX]
[TEX] =\frac{(x+1)(x-1)(y+1)(y-1)}{x^2y^2}[/TEX]
[TEX] =\frac{(x+1)(-y)(y+1)(-x)}{x^2y^2}[/TEX]
[TEX] =\frac{(x+1)(y+1)}{xy}=\frac{xy+x+y+1}{xy}=1+\frac{2}{xy} [/TEX]
mà [TEX](x+y)^2\ge\ 4xy[/TEX]
vì x+y=1 do đó [TEX]\frac{1}{xy}\ge\ 4[/TEX]
vậy [TEX](1-\frac{1}{x^2})(1-\frac{1}{y^2})\ge\ 9[/TEX]
min ...=9

--------------------------------------------------------------------------------------------------

 

[0915549009]

2. Cho [TEX]x,y >0[/TEX] và [TEX]x+y=1[/TEX] Tìm Min :[TEX] (1-\frac{1}{x^2})(1-\frac{1}{y^2})[/TEX]

Ta có: [TEX] (1-\frac{1}{x^2})(1-\frac{1}{y^2}) = (1-\frac{1}{(1-y)^2})(1-\frac{1}{y^2}) = \frac{(- 2y + y^2)}{(y-1)^2}\frac{(y^2 - 1)}{y^2} = \frac{y(y-2).(y-1)(y+1)}{[(y-1)^2].y^2} = \frac{y(y-2).(y-1)(y+1)}{[(y-1)^2].y^2} = \frac{y^2 - y - 2}{y^2 - y} = 1 + \frac{2}{y-y^2} [/TEX]
Do x , y > 0 và x + y = 1
[TEX]\Rightarrow y^2 < y \Rightarrow \frac{2}{y-y^2} [/TEX] dương
Để P đạt GTNN thì [TEX]\frac{2}{y-y^2} [/TEX] đạt GTNN khi [TEX]y - y^2[/TEX] lớn nhất
[TEX]Max _{y - y^2} = \frac{1}{4} \Rightarrow Min \frac{2}{y-y^2} = 8 \Rightarrow Min_P = 9 \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}[/TEX]

 

[thjenthantrongdem_bg]

thách thức pro

Đề của France Pre-MO 2005

Các số thực duowng x, y, z thoả mãn điều kiện [TEX]{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=3[/TEX]. Hãy chứng minh:
[TEX]\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\geq 3[/TEX]