[toán 12]Một số bài toán chọn lọc

G

giangmanu

Dưới đây là một số bài thi thử đại học trên báo THTT số 380 :

1) giải phương trình :

[TEX]3^x[/TEX].2x = [TEX]3^x[/TEX] + 2x + 1

2) tính tích phân :

[TEX]\int_{0}^{ \frac{\large\pi}{2}}\frac{1+sinx}{1+cosx}.e^x.dx[/TEX]

3) gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 . CMR :

[TEX]\frac{52}{27}[/TEX] [TEX]\leq[/TEX] [TEX]a^2[/TEX] +[TEX]b^2[/TEX] +[TEX]c^2[/TEX] + 2abc < 2
 
Last edited by a moderator:
Q

quang1234554321

giangmanu said:
Dưới đây là một số bài thi thử đại học trên báo THTT số 380 :
2) tính tích phân :

[TEX]\int_{0}^{ \frac{\large\pi}{2}}\frac{1+sinx}{1+cosx}.e^x.dx[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


Giang xem lời giải sau của 1 bạn bên maths.vn nhé .

[TEX]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\sin x}{1+\cos x}e^xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\frac{1}{1+\cos x}+\frac{\sin x}{1+\cos x})e^xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\frac{1}{2\cos^2 x}+\tan{\frac{x}{2}})e^xdx\\=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}((\tan{\frac{x}{2}})'e^x+\tan{\frac{x}{2}}(e^x)')dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\tan{\frac{x}{2}}e^x)'dx[/TEX]
 
Q

quang1234554321

giangmanu said:
Dưới đây là một số bài thi thử đại học trên báo THTT số 380 :
1) giải phương trình :

[TEX]3^x.2x =3^x + 2x + 1[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]PT \Leftrightarrow 3^x(2x-1)=2x+1 [/TEX]

Ta thấy [TEX]x= \frac{1}{2}[/TEX] ko phải là nghiệm của PT . Từ đó , ta có [TEX]3^x = \frac{2x+1}{2x-1}[/TEX]

[TEX]VT=3^x[/TEX] làm hàm đồng biến

[TEX]VP = \frac{2x+1}{2x-1}[/TEX] là hàm nghịch biến ( xét hàm này sẽ rõ ) .Và VP lại là hàm gián đoạn tại [TEX]x= \frac{1}{2}[/TEX] vì thế đồ thị của nó có 2 nhánh .
Vậy PT có nhiều nhất 2 nghiệm

Mặt khác , ta thấy [TEX]x= -1 [/TEX] và [TEX] x=1[/TEX] là nghiệm của PT

Vậy PT có nghiệm [TEX]x=-1 ;x=1[/TEX]
 
G

giangmanu

Đề thi đại học THTT tháng 3/381 :


1) Cho ph­ương trình


[TEX]\frac{3.x^2 - 1}{\sqrt[]{2.x - 1}}[/TEX] = [TEX]\sqrt[]{2.x - 1}[/TEX] +m.x

Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .

2) Cho Elip (E) có phương trình [TEX]\frac{x^2}{100}[/TEX] + [TEX]\frac{y^2}{24}[/TEX] = 1 . Tìm các điểm M thuộc (E) nhìn 2 tiêu điểm của (E) dưới 1 góc 120 độ .
 
Q

quang1234554321

giangmanu said:
Đề thi đại học THTT tháng 3/381 :
1) Cho ph­ương trình
[TEX]\frac{3.x^2 - 1}{\sqrt[]{2.x - 1}}[/TEX] = [TEX]\sqrt[]{2.x - 1}[/TEX] +m.x

Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Giang lôi cái này lên mới nhớ , làm tạm bài này

ĐK: [TEX] x \geq \frac{1}{2} [/TEX]

[TEX]PT \Leftrightarrow 3x^2-1 = 2x-1+mx\sqrt{2x-1} \Leftrightarrow \left[ x=0 \\ 3x-2=m\sqrt{2x-1} [/TEX]

Ta thấy x=0 ko phải là nghiệm của PT. Vậy để PT có nghiệm duy nhất thì [TEX] 3x-2=m\sqrt{2x-1} [/TEX](!) có nghiệm duy nhất

Đặt [TEX]t = \sqrt{2x-1}[/TEX] thì PT ! trở thành [TEX]3t^2-1=2mt [/TEX] với [TEX] t \geq 0[/TEX]

Đến đây ta chỉ cần tìm đk của m để PT bậc 2 trên có nghiệm duy nhất hoặc có 1 nghiệm âm , 1 nghiệm dương vì mỗi giá trị của t sẽ cho 1 giá trị của x , và công việc này ko có gì khó cả , các bạn tự find a resolution :)

Hóa ra bài này đã có ở topic này

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=39131&page=3
 
Last edited by a moderator:
G

giangmanu

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x+y+z-2=0 và điểm A(1;1;1) , B(2;-1;0) , C(2;3;-1) . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho biểu thức :

T = [TEX]MA^2[/TEX] + [TEX]MB^2[/TEX] + [TEX]MC^2[/TEX] có giá trị nhỏ nhất .

Các cậu làm hộ mình bài này với ,cần gấp :

Cho a,b,c không âm và a.b.c=10 . CMR :

3 ([TEX]\frac{lga}{4^a}[/TEX] +[TEX]\frac{lgb}{4^b}[/TEX] + [TEX]\frac{lgc}{4^c}[/TEX] ) [TEX]\leq[/TEX] [TEX]\frac{1}{4^a}[/TEX] +[TEX]\frac{1}{4^b}[/TEX] +[TEX]\frac{1}{4^c}[/TEX] .
 
Last edited by a moderator:
H

hocmai.toanhoc

giangmanu said:
Các cậu làm hộ mình bài này với ,cần gấp :

Cho a,b,c không âm và a.b.c=10 . CMR :

3 ([TEX]\frac{lga}{4^a}[/TEX] +[TEX]\frac{lgb}{4^b}[/TEX] + [TEX]\frac{lgc}{4^c}[/TEX] ) [TEX]\leq[/TEX] [TEX]\frac{1}{4^a}[/TEX] +[TEX]\frac{1}{4^b}[/TEX] +[TEX]\frac{1}{4^c}[/TEX] .
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Ta luôn có : [TEX](lga-lgb)( \frac{1}{4^a}-\frac{1}{4^b}) \leq 0 \Leftrightarrow \frac{lga}{4^a} + \frac{lgb}{4^b} \leq \frac{lga}{4^b} + \frac{lgb}{4^a} [/TEX]

Tương tự ta có : [TEX]\frac{lgb}{4^b} + \frac{lgc}{4^c} \leq \frac{lgb}{4^c} + \frac{lgc}{4^b}[/TEX] và [TEX] \frac{lgc}{4^c} + \frac{lga}{4^a} \leq \frac{lgc}{4^a} + \frac{lga}{4^c}[/TEX]

Cộng theo vế ta được [TEX]2( \frac{lga}{4^a}+ \frac{lgb}{4^b} +\frac{lgc}{4^c}) \leq \frac{lga+lgb}{4^c} + \frac{lgb+lgc}{4^a} + \frac{lgc+lga}{4^b}[/TEX]

Cộng tiếp thêm [TEX]\frac{lga}{4^a}+ \frac{lgb}{4^b} +\frac{lgc}{4^c}[/TEX] vào mỗi vế ta được :

[TEX]3(\frac{lga}{4^a}+ \frac{lgb}{4^b} +\frac{lgc}{4^c}) \leq \frac{lga+lgb+lgc}{lgc} + \frac{lgb+lgc+lga}{lga} + \frac{lgc+lga+lgb}{lgb} = \frac{1}{4^a}+ \frac{1}{4^b} + \frac{1}{4^c}[/TEX]

(do [TEX]lga+lgb+lgc=lgabc=1[/TEX] )

Vậy ta có đpcm
 
V

vodichhocmai

giangmanu said:
Các cậu làm hộ mình bài này với ,cần gấp :

Cho a,b,c không âm và a.b.c=10 . CMR :

3 ([TEX]\frac{lga}{4^a}[/TEX] +[TEX]\frac{lgb}{4^b}[/TEX] + [TEX]\frac{lgc}{4^c}[/TEX] ) [TEX]\leq[/TEX] [TEX]\frac{1}{4^a}[/TEX] +[TEX]\frac{1}{4^b}[/TEX] +[TEX]\frac{1}{4^c}[/TEX] .
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Đây là phong cách của anh Quang pờ nồ :D.

không mất tính tổng quát ta giả sử :

[TEX]lga\ge lg b\ge lgc \Rightarrow 4^a\ge 4^b\ge 4^c[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \sum_{cyc}\frac{lga}{4^a}\le \frac{1}{3}\sum_{cyc}lga.\sum_{cyc}\frac{1}{4^a} [/TEX]

[TEX]\Rightarrow 3\sum_{cyc}\frac{lga}{4^a}\le 1\sum_{cyc}\frac{1}{4^a} \ \ \ \ \ \ (dpcm)[/TEX]
 
H

hayhatlen12

giangmanu said:
Dưới đây là một số bài thi thử đại học trên báo THTT số 380 :

1) giải phương trình :

[TEX]3^x[/TEX].2x = [TEX]3^x[/TEX] + 2x + 1

2) tính tích phân :

[TEX]\int_{0}^{ \frac{\large\pi}{2}}\frac{1+sinx}{1+cosx}.e^x.dx[/TEX]

3) gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 . CMR :

[TEX]\frac{52}{27}[/TEX] [TEX]\leq[/TEX] [TEX]a^2[/TEX] +[TEX]b^2[/TEX] +[TEX]c^2[/TEX] + 2abc < 2
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

..............................có thể giải bài 3 được không,thank nhiều
 
G

giangmanu

Ta có a+b+c=2 . [TEX]\Rightarrow[/TEX] a+b=2-c
Đặt P = [TEX]a^2[/TEX] + [TEX]b^2[/TEX] +[TEX]c^2[/TEX] +2a.b.c
[TEX]\Rightarrow[/TEX] P = [TEX](a+b+c)^2[/TEX] - 2.( a.b + b.c + c.a ) + 2.a.b.c
= 4 - 2. ( a.b + b.c + c.a - a.b.c )
Ta CM a.b +b.c +c.a - a.b.c [TEX]\leq[/TEX] [TEX]\frac{28}{27}[/TEX]
Thật vậy : a.b + b.c + c.a - a.b.c = c.( 2-c ) + a.b ( 1-c )
Mặt khác : a.b [TEX]\leq[/TEX] [TEX]\frac{(a+b)^2}{4}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] c.( 2-c ) +a.b.( 1-c ) [TEX]\leq[/TEX] c.( 2-c ) + [TEX]\frac{(2-c)^2.(1-c)}{4}[/TEX]
sau đó xét hàm f(c) = c.( 2-c ) + [TEX]\frac{(2-c)^2.(1-c)}{4}[/TEX] với 0 < c <1 .
[TEX]\Rightarrow[/TEX] f(c) [TEX]\leq[/TEX] [TEX]\frac{28}{27}[/TEX] khi c = [TEX]\frac{1}{3}[/TEX] . Vậy P [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{52}{27}[/TEX] .
Ta có : (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) > 0.
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] (2-2.a)(2-2.b)(2-2.c) >0 .
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] a.b + b.c + c.a - a.b.c >1
[TEX]\Rightarrow[/TEX] P < 4 - 2.1 =2 .
Vậy [TEX]\frac{52}{27}[/TEX] [TEX]\leq[/TEX] P < 2 (đpcm)
 
Last edited by a moderator:
G

giangmanu

Cho tam giác ABC . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P = [TEX]\sqrt[]{\frac{(1+tan^2\frac{A}{2} )( 1+tan^2\frac{B}{2})}{1+tan^2\frac{C}{2}}}[/TEX] +[TEX]\sqrt[]{\frac{(1+tan^2\frac{B}{2})(1+tan^2\frac{C}{2})}{1+tan^2\frac{A}{2}}}[/TEX] +[TEX]\sqrt[]{\frac{(1+tan^2\frac{C}{2})(1+tan^2\frac{A}{2})}{1+tan^2\frac{B}{2}}}[/TEX]
 
T

thong1990nd

Q

quang1234554321

giangmanu said:
Cho tam giác ABC . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P = [TEX]\sqrt[]{\frac{(1+tan^2\frac{A}{2} )( 1+tan^2\frac{B}{2})}{1+tan^2\frac{C}{2}}}[/TEX] +[TEX]\sqrt[]{\frac{(1+tan^2\frac{B}{2})(1+tan^2\frac{C}{2})}{1+tan^2\frac{A}{2}}}[/TEX] +[TEX]\sqrt[]{\frac{(1+tan^2\frac{C}{2})(1+tan^2\frac{A}{2})}{1+tan^2\frac{B}{2}}}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Cách khác này , các bạn chú ý theo dõi nhé , dài nhưng dễ hiểu thôi

Ta có :
[TEX]\left{ \sqrt{1+tan^2{\frac{A}{2}}} = \sqrt{ \frac{1}{cos^2{\frac{A}{2}}}} = \frac{1}{cos{ \frac{A}{2}}} \\ \sqrt{1+tan^2{\frac{B}{2}}} = \sqrt{ \frac{1}{cos^2{\frac{B}{2}}}} = \frac{1}{cos{ \frac{B}{2}}} \\ \sqrt{1+tan^2{\frac{C}{2}}} = \sqrt{ \frac{1}{cos^2{\frac{C}{2}}}} = \frac{1}{cos{ \frac{C}{2}}} [/TEX]

Thay vào biểu thức trên ta được :

[TEX]P = \frac{ cos{\frac{A}{2}} }{ cos{\frac{B}{2}} cos{\frac{C}{2}}} + \frac{ cos{\frac{B}{2}} }{ cos{\frac{C}{2}} cos{\frac{A}{2}}} + \frac{ cos{\frac{C}{2}} }{ cos{\frac{A}{2}} cos{\frac{B}{2}}} [/TEX]


Để cho dễ nhìn , ta đặt [TEX]a=cos{\frac{A}{2}} ; b=cos{\frac{B}{2}} ; c=cos{\frac{C}{2}} [/TEX] với [TEX]a,b,c > 0[/TEX]

Biểu thức trở thành [TEX]P = \frac{a}{bc} + \frac{b}{ca} + \frac{c}{ab} \geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}}[/TEX] (theo co-si )

Mặt khác ta luôn có BDT lượng giác là [TEX]\sqrt[3]{cos{\frac{A}{2}} cos{\frac{B}{2}} cos{\frac{C}{2}}} \leq \frac{1}{3}(cos{\frac{A}{2}} + cos{\frac{B}{2}} +cos{\frac{C}{2}}) \leq \frac{\sqrt{3}}{2}[/TEX] cái này có thể tự CM bằng BDT Jensen .

[TEX]\Rightarrow \sqrt[3]{abc} \leq \frac{\sqrt{3}}{2} [/TEX] , tiếp tục [TEX]\Rightarrow P \geq \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{3}[/TEX]

Dấu bằng tại các BDT xảy ra khi [TEX]A=B=C=60* [/TEX].

Vậy [TEX]Pmin= 2\sqrt{3}[/TEX]

p/s : Cái chỗ mình nói dùng Jensen - ai ko hiểu thì lên tiếng để mình CM nó cho .
gõ mỏi cả tay , làm ra giấy thì nhanh thôi , nhưng gõ ra đây lâu thật
 
Last edited by a moderator:
N

nguyenminh44

quang1234554321 said:
Mặt khác ta luôn có BDT lượng giác là [TEX]\sqrt[3]{cos{\frac{A}{2}} cos{\frac{B}{2}} cos{\frac{C}{2}}} \leq \frac{1}{3}(cos{\frac{A}{2}} + cos{\frac{A}{2}} +cos{\frac{A}{2}}) \leq \frac{\sqrt{3}}{2}[/TEX] ---> ??? sao nhiều A thế :p ^^ !
cái này có thể tự CM bằng BDT Jensen .

p/s : Cái chỗ mình nói dùng Jensen - ai ko hiểu thì lên tiếng để mình CM nó cho .
gõ mỏi cả tay , làm ra giấy thì nhanh thôi , nhưng gõ ra đây lâu thật
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Càng ít nhắc đến Jensen càng tốt bạn ạ, vì đi thi đâu có được dùng. Chỉ vài dòng là xong

[TEX]cos x+cos y=2cos{\frac{x+y}{2}}cos{\frac{x-y}{2}} \leq 2cos{\frac{x+y}{2}} \ \ \ [/TEX] với [tex](x-y) \in [-\pi;\pi][/tex]

[TEX]\Rightarrow cos {\frac{A}{2}}+cos {\frac{B}{2}}+cos{\frac{C}{2}} +cos {\frac{\pi}{6}} \leq 2(cos{ \frac{A+B}{4}} +cos {\frac{3C+\pi}{12}}) \leq 4cos{\frac{3A+3B+3C+\pi}{24}=2\sqrt{3}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow cos {\frac{A}{2}}+cos {\frac{B}{2}}+cos{\frac{C}{2}} \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
G

giangmanu

Đặt [TEX]x=tan\frac{A}{2}[/TEX] , [TEX]y=tan\frac{B}{2}[/TEX] , [TEX]z=tan\frac{C}{2}[/TEX] ( với x, y, z > 0 )
[TEX]\Rightarrow[/TEX] x.y + y.z + z.x = 1

P = [TEX]\sqrt[]{\frac{(1+x^2)(1+y^2)}{1+z^2}}[/TEX] + [TEX]\sqrt[]{\frac{(1+y^2)(1+z^2)}{1+x^2}}[/TEX] + [TEX]\sqrt[]{\frac{(1+z^2)(1+x^2)}{1+y^2}}[/TEX]
Ta có : [TEX]1+x^2 [/TEX] = [TEX]x.y +y.z +z.x +x^2[/TEX] = (x+y)(x+z)
Tương tự : [TEX]1+y^2[/TEX] = (y+x)(y+z)
[TEX]1+z^2[/TEX] = (z+x)(z+y)
[TEX]\Rightarrow[/TEX] P = (x+y) + ( y+z) + (z+x) = 2.(x+y+z)
[TEX]P^2[/TEX] =[TEX]4.(x+y+z)^2[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] 12.(x.y+y.z+z.x) = 12
[TEX]\Rightarrow[/TEX] P[TEX]\geq[/TEX] 2[TEX]\sqrt[]{3}[/TEX]
Vậy Pmin = 2[TEX]\sqrt[]{3}[/TEX] khi A=B=C =[TEX]\frac{\pi}{3}[/TEX]
 
Q

quang1234554321

giangmanu said:
Đặt [TEX]x=tan\frac{A}{2}[/TEX] , [TEX]y=tan\frac{B}{2}[/TEX] , [TEX]z=tan\frac{C}{2}[/TEX] ( với x, y, z > 0 )
[TEX]\Rightarrow[/TEX] x.y + y.z + z.x = 1

P = [TEX]\sqrt[]{\frac{(1+x^2)(1+y^2)}{1+z^2}}[/TEX] + [TEX]\sqrt[]{\frac{(1+y^2)(1+z^2)}{1+x^2}}[/TEX] + [TEX]\sqrt[]{\frac{(1+z^2)(1+x^2)}{1+y^2}}[/TEX]
Ta có : [TEX]1+x^2 [/TEX] = [TEX]x.y +y.z +z.x +x^2[/TEX] = (x+y)(x+z)
Tương tự : [TEX]1+y^2[/TEX] = (y+x)(y+z)
[TEX]1+z^2[/TEX] = (z+x)(z+y)
[TEX]\Rightarrow[/TEX] P = (x+y) + ( y+z) + (z+x) = 2.(x+y+z)
[TEX]P^2[/TEX] =[TEX]4.(x+y+z)^2[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] 12.(x.y+y.z+z.x) = 12
[TEX]\Rightarrow[/TEX] P[TEX]\geq[/TEX] 2[TEX]\sqrt[]{3}[/TEX]
Vậy Pmin = 2[TEX]\sqrt[]{3}[/TEX] khi A=B=C =[TEX]\frac{\pi}{3}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bài của Giang đúng rồi , nhưng để chặt chẽ hơn thì Giang nên chỉ rõ tại sao [TEX]xy+yz+zx=1[/TEX] . Và Giang chú ý là đặt " TEX " vào các số và chữ số khác nữa cho nó đẹp

Tiện thể có bài này hay cho mọi người thử . Giải PT [TEX]log_3(1+sin^2x-sinx)=\frac{\sqrt{3}}{2}cosxsin2x[/TEX]
 
N

nguyenminh44

quang1234554321 said:
Tiện thể có bài này hay cho mọi người thử . Giải PT [TEX]log_3(1+sin^2x-sinx)=\frac{\sqrt{3}}{2}cosxsin2x[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]\Leftrightarrow log_3(1+sin^2x-sinx)=\sqrt{3}sinxcos^2x[/TEX]

Thêm 1 chú ý:

[TEX]sin^2x-xinx \left{ \leq 0 \ \ \ \ if \ \ sin x \geq 0 \\ . \\ \geq 0 \ \ \ \ \ if \ \ sinx \leq 0[/TEX]

Giờ chắc dễ rồi, :D

-----
NM44 Version 2
 
T

thong1990nd

Last edited by a moderator:
H

huong_dung

giangmanu said:
Mọi người làm hộ tớ bài này :
GPT : [TEX]\sqrt[]{x+4} = x^2-2x-4[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

ĐK x>=-4
[TEX]\sqrt{x+4} = x^2-2x-4[/TEX]
[TEX]x^2 - x + \frac{1}{4} = \sqrt{x+4} +x + 4 +\frac{1}{4}[/TEX]
[TEX](\sqrt{x+4}+\frac{1}{2})^2 =(x- \frac{1}{2})^2[/TEX]
[TEX]\sqrt{x+4} + \frac{1}{2}= |x- \frac{1}{2}| [/TEX]
(gõ CT răng mà khó ri)
[TEX]{\sqrt{x+4}= x - 1 (x>=1)[/tex]
giải pt đó ta được x= [TEX]\frac{3+\sqrt{15}}{2}[/TEX]
(không biết vừa làm vừa post bài như ri có sai chỗ mô ko nữa)
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom