[Toán 12] Chuyên đề: Nguyên hàm tích phân

[klove]

1.[TEX]\int_{0}^{1}\frac{x^2-1}{1+x^4}dx[/TEX]
2.[TEX]\int_{0}^{\pi/2}\frac{cosxsinx}{(1+sin^4x)(1+cos^4x)}dx>\pi/12[/TEX]

đây là đề thi đh thầy giáo em cho (chưa làm được)
hướng dẫn bài 1
[TEX]\frac{x^2-1}{1+X^4}=\frac{x^2-1}{(1+x^2)^2-2x^2}[/TEX]

[TEX]*\int_0^1\frac{x^2-1}{x^4+1}dx=\int_0^1\frac{x^2-1}{(x^2+1)^2-2x^2}dx=\int_0^1[\frac{\frac{\sqrt2}{2}x-\frac{1}{2}}{x^2-\sqrt2x+1}-\frac{\frac{\sqrt2}{2}x+\frac{1}{2}}{x^2+\sqrt2x+1}]dx=\frac{1}{2\sqrt2}ln\frac{x^2-\sqrt2x+1}{x^2+\sqrt2x+1}\|_0^1=\frac{1}{\sqrt2}ln(\sqrt2-1)[/TEX]

[TEX]*x=tgt \ \ la \ \ dep \ \ \ nhat!!!![/TEX]

[TEX]2/\forall{x\in{[0,\frac{\pi}{2}]\Rightarrow{0<(1+sin^4x)(1+cos^4x)\le{(1+sin^2x)(1+cos^2x)=2+sin^2xcos^2x<{2+\frac{(sin^2x+cos^2x)^2}{2}=\frac{3}{2}\ \ \ (sinxcosx\ge0)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow{\int_{0}^{\pi/2}\frac{cosxsinx}{(1+sin^4x)(1+cos^4x)}dx>\frac{1}{3}\int_{0}^{\pi/2}sin2xdx=-\frac{1}{6}cos2x\|_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{3}= \frac{4}{12}> \frac{\pi}{12}[/TEX]

 

[kimxakiem2507]

1.[TEX]\int_{0}^{1}\frac{x^2-1}{1+x^4}dx[/TEX]

[TEX]*[/TEX] Từ ý tưởng đặt [TEX]x=tgt[/TEX] ta dẫn đến một cách đặt khá đẹp mắt (cận là bao nhiêu cũng được)



[TEX]I=\int_{0}^{1}\frac{x^2-1}{1+x^4}dx=\int_0^1\frac{1}{\frac{4x^2}{(1+x^2)^2}-2}\ \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}dx[/TEX]

[TEX]t=\frac{2x}{1+x^2}\Rightarrow{I=\int_0^1\frac{1}{t^2-2}dt=\frac{1}{2\sqrt2}ln\|\frac{t-\sqrt2}{t+\sqrt2}\|\|_0^1=\frac{1}{\sqrt2}ln(\sqrt2-1)[/TEX]

 

[mai_s2a3_93]

[TEX]\int_{0}^{1}ln(x^2+x+1)dx[/TEX]

[TEX]\int_{1}^{2}x^2ln(1+1/x)dx[/TEX]

[TEX]\int_{e}^{e^3}(1/(ln^2x)-1/(lnx)dx[/TEX]

 

[kimxakiem2507]

[TEX]\int_{0}^{1}ln(x^2+x+1)dx[/TEX]

[TEX]\int_{1}^{2}x^2ln(1+1/x)dx[/TEX]

[TEX]\int_{e}^{e^3}(1/(ln^2x)-1/(lnx)dx[/TEX]

[TEX]I_1=\int_{0}^{1}ln(x^2+x+1)dx=xln(x^2+x+1)\|_0^1-\int_{0}^{1}\frac{x(2x+1)}{x^2+x+1}dx=ln3-\int_{0}^{1}(2-\frac{1}{2}\frac{2x+1}{x^2+x+1}-\frac{3}{2}\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}})dx[/TEX]
[TEX]=ln3 -(2x-\frac{1}{2}ln(x^2+x+1)-\sqrt3 arctg\frac{2x+1}{\sqrt3})\|_0^1=\frac{3}{2}ln3-2+\frac{\sqrt3\pi}{6}[/TEX]

[TEX]I_2=\int_{1}^{2}x^2ln(1+\frac{1}{x})dx=\int_{1}^{2}\frac{1}{3}ln(1+\frac{1}{x})d(x^3)=\frac{1}{3}x^3ln(1+\frac{1}{x})\|_1^2+\frac{1}{3}\int_1^2(x-1+\frac{1}{x+1})dx[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{3}[x^3ln(1+\frac{1}{x})+\frac{x^2}{2}-x+ln\|x+1\|]\|_1^2=\frac{1}{6}+3ln3-\frac{10}{3}ln2[/TEX]

[TEX]I_3=\int_{e}^{e^3}(\frac{1}{ln^2x}-\frac{1}{lnx})dx=\int_{e}^{e^3}d(-\frac{x}{lnx})=-\frac{x}{lnx}\|_{e}^{e^3}=e-\frac{e^3}{3}[/TEX]

 

[chontengimoiduoc]

[TEX]1, I=\int\limits_{0}^{1}\frac{x}{x^4+x^2+1}dx[/TEX]

[TEX]2,I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cos(x-\frac{\pi}{4})}{4-3sin2x}dx[/TEX]

[TEX]I=\frac{1}{\sqrt2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+3(sinx-cosx)^2}d(sinx-cosx)\Rightarrow{\ dat\ sinx-cosx=\frac{1}{\sqrt3}tgt[/TEX]

 

[vivietnam]

[TEX]1, I=\int\limits_{0}^{1}\frac{x}{x^4+x^2+1}dx[/TEX]

[TEX]2,I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cos(x-\frac{\pi}{4})}{4-3sin2x}dx[/TEX]

[TEX]1,I=\int_0^1\frac{1}{2}\frac{x^2+x+1-(x^2-x+1)}{(x^2+x+1).(x^2-x+1)}dx[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{2}(\int_0^1\frac{dx}{x^2+x+1}-\int\frac{dx}{x^2-x+1})[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{2}.(\int_0^1\frac{dx}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4})}-\int_0^1\frac{dx}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4})})[/TEX]
[TEX]=[\frac{1}{sqrt{3}}.arctan(\frac{2(x+\frac{1}{2})}{\sqrt{3}})-\frac{1}{sqrt{3}}.arctan(\frac{2(x-\frac{1}{2})}{\sqrt{3}})]|_0^1=...................[/TEX]

 

[silvery21]

[TEX]I=\int_0^{\frac{\pi }{3}} {\left[ {\frac{{{x^5}\left( {3c{\rm{os}}x - x\sin x} \right)}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}{\rm{x}}}}} \right]} d{\rm{x}}[/TEX]



[TEX]I=\int_1^e {{e^{2x}}.{{\ln }^3}{\rm{x}}\left( {\ln {\rm{x}} + \frac{2}{x}} \right)} d{\rm{x}}[/TEX]

[TEX]I=\int_0^{\frac{\pi }{3}} {\left[ {\frac{{{x^5}\left( {3c{\rm{os}}x +x\sin x} \right)}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}{\rm{x}}}}} \right]} d{\rm{x}}=\int_0^{\frac{\pi }{3}}\frac{x^3}{cosx}d(\frac{x^3}{cosx})dx\ \ \ \ dau\ (+)[/TEX]

 

[chiecmuphepthuat]

[TEX]1, I=\int\limits_{0}^{1}\frac{x}{x^4+x^2+1}dx[/TEX]

[TEX]2,I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cos(x-\frac{\pi}{4})}{4-3sin2x}dx[/TEX]

đặt t= x^2 => dt= 2xdx ( cận: x=0=> t=0; x= 1=> t=1)
ta đc:


[TEX] I=0,5\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{t^2+t+1}dt[/TEX]

[TEX] I=0,5\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{(t+0,5)^2+ 3/4}dt[/TEX]
đặt t+[tex]\frac{1}{2}[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex].tanu
=> dt=[tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex].[tex]\frac{du}{cos^2u}[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{3}}{2}(1+tan^2u)[/tex].du ( cận: t=0 => u= [tex]\frac{pi}{6}[/tex] ; t= 1 => u=[tex]\frac{pi}{3}[/tex]

ta được:



[TEX] I=0,5\int\limits_{a}^{b}\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}(tan^2u+1)}{\frac{3}{4}tan^2u+ 3/4}du[/TEX]
= [tex]\frac{1}{\sqrt{3}} . \int\limits_{\frac{pi}{6}}^{\frac{pi}{3}}\frac{1}{1}du [/tex] =......................

( cận a- b đổi trên ak)

 

[ngomaithuy93]

[TEX]I=\int_1^e {{e^{2x}}.{{\ln }^3}{\rm{x}}\left( {\ln {\rm{x}} + \frac{2}{x}} \right)} d{\rm{x}}[/TEX]

[TEX]I=\int_1^ee^{2x}.ln^4xdx+2\int_1^e\frac{e^{2x}.ln^3x}{x}dx[/TEX]
[TEX]f(x)=e^{2x}.ln^4x \Rightarrow f'(x)=8.\frac{e^{2x}.ln^3x}{x}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow I=\int_1^ef(x)dx+\frac{1}{4}\int_1^ef'(x)dx=\int_1^ef(x)dx+\frac{1}{4}f(x)|^e_1[/TEX]
Tích phân từng phần nốt cái f(x)... , nhưng chắc là vất vả! 8-|

 

[silvery21]

[TEX]I=\int_1^ee^{2x}.ln^4xdx+2\int_1^e\frac{e^{2x}.ln^3x}{x}dx[/TEX]
[TEX]f(x)=e^{2x}.ln^4x \Rightarrow f'(x)=8.\frac{e^{2x}.ln^3x}{x}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow I=\int_1^ef(x)dx+\frac{1}{4}\int_1^ef'(x)dx=\int_1^ef(x)dx+\frac{1}{4}f(x)|^e_1[/TEX]
Tích phân từng phần nốt cái f(x)... , nhưng chắc là vất vả! 8-|

hazzzzzzzzzi. thế này thì sao vất vả đc ( đi học lỏm thuj nha')


[TEX]I=\int_1^e {{e^x}.{{\ln }^2}{\rm{x}}\left( {{e^x}.{{\ln }^2}{\rm{x}} + \frac{{2\ln {\rm{x}}{\rm{.}}{e^x}}}{x}} \right)} d{\rm{x}} = \int_1^e {{e^x}.{{\ln }^2}{\rm{x}}} d\left( {{e^x}.{{\ln }^2}{\rm{x}}} \right) = \frac{{{e^{2x}}.{{\ln }^4}{\rm{x}}}}{2}\left| \begin{array}{l} e \\ 1 \\ \end{array} \right. = \frac{{{e^{2e}}}}{2}[/TEX]

 

[vivietnam]

đi thi vẫn fải trình bày rõ cách đặt theo tan đúng ko anh ; trên lớp cô giáo ko cho vjk lun như v

vì phần lượng giác ngược đã bỏ theo chương trình cải cách nên ko dùng cách viết này
cách này anh viết thế cho ngắn gọn
em trình bày cụ thể là đặt [TEX]x=tant [/TEX]
như vậy thì sẽ đổi biến và cận mới
sẽ ko còn arctan nữa

 

[silvery21]

[TEX]\int_1^e {\frac{{\left( {1 - x\ln {\rm{x}}} \right)\ln {\rm{x}}\sqrt[4]{{\ln {\rm{x}}}}}}{{x{e^{2x}}.\sqrt[4]{{{e^x}}}}}} d{\rm{x}}[/TEX]

các bạn xem hộ t bài này :

[TEX]\frac{{{x^3}dx}}{{{x^8} + 1}}[/TEX]

 

[bacho.1]

Bạn xem xem nhé

Đề
[TEX]\int{\frac{x^{3}dx}{x^{8}+1}[/TEX]
Đưa [TEX]x^{3}[/TEX] vào trong vi phân rồi đặt [TEX]x^{4} =u[/TEX] ta có
[TEX]\frac{1}{4}\int{\frac{du}{u^{2} +1}[/TEX]
rồi đặt u = tant
ra Hàm
[TEX]\frac{1}{4}\int{\frac{d(tant)}{tan^{2}t +1}[/TEX]
Chắc chẳng còn gì để nói
Bạn giải nốt nhé
Chúc bạn học tốt !
Bạn xem hộ mình luôn bài trên nhé

 

[chiecmuphepthuat]

giúp mình bài này với

[tex]\int\limits_{0}^{\frac{pi}{2}}\frac{\sqrt{cosx}}{\sqrt{sinx}+\sqrt{cosx}}.dx[/tex]

cám ơn nhiều

[TEX]t=\frac{\pi}{2}-x\ \ \ \ ....[/TEX][TEX]\Rightarrow{2I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}dx=\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow{I=\frac{\pi}{4}[/TEX]

 

[vivietnam12345]

nếu đề cho cận lẻ như vậy thì sẽ có 2 trường hợp
thứ nhất là sẽ còn 1 cách giải nữa mà ko liên quan tới lượng giác
khả năng này là rất lớn
thứ 2 là chấp nhận arctan
còn nếu ko thì đề thường sẽ ko ra như vậy

ví dụ với bài này
[TEX]\int_2^3\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}[/TEX]
có 2 cách
cách đầu là lượng giác hoá
cách 2 là đặt [TEX]t=x+\sqrt{x^2+1}[/TEX]
với các 2 thì ta có cận ko là arctan nữa

 

[takitori_c1]

mấy bài nua

[TEX]I=\int \frac{x^4-1}{x(x^4-5)(x^5-5x+1)} dx[/TEX]

[TEX]I= \int \frac{dx}{x^5-x^2}[/TEX]

[TEX]I= \int \frac{x^4+1}{x^6+1} dx[/TEX]

 

[kimxakiem2507]

[TEX]Tai\ sao\ fx-570ES\ cung\ phai\ chao\ thua\ :\ [/TEX]

[TEX]I=\int_0^2 (x^3-3x^2+2x)e^{^{x^2-2x}}dx[/TEX]




[TEX]*Kinh\ nghiem\ :\ thay\ f(x)\ ghe\ ghe\ khac\ thuong\ thi\ nghi\ ngay\ den\ \left[t=a+b-x\\t=\frac{a+b}{2}-x[/TEX]


[TEX]*Ket\ qua\ may\ cho\ ra\ mot\ con\ so\ gan\ bang\ 0\ ma\ moi\ nhin\ vao\ ta[/TEX]

[TEX]\ cu\ nghi\ minh\ bi\ sai\ ,\ that\ ra\ do\ may\ lap\ trinh\ theo\ dang\ chuoi[/TEX]

[TEX]\ nen\ cho\ ra\ ket\ qua\ gan\ dung.\ Dung\ hoang\ mang \ vi\ minh\ da\ lam\ dung![/TEX]

[TEX]*Ket\ qua\ bai\ toan\ la\ I=-I\Leftrightarrow{ I=0\ hoac\ neu\ khong\ cho\ ra\ I=-I\ thi \ ta\ tach\ ham\ f(x)\ ra\ ngay\ tu\ dau[/TEX]

[TEX]de\ tinh\ theo\ cach\ nhu\ tren\ ,\ phan\ con\ lai\ se\ don\ gian\ hon\ rat\ nhieu[/TEX]

[TEX]I=\int \frac{x^4-1}{x(x^4-5)(x^5-5x+1)} dx[/TEX]

[TEX]I= \int \frac{dx}{x^5-x^2}[/TEX]

[TEX]I= \int \frac{x^4+1}{x^6+1} dx[/TEX]

[TEX]1/\ 5I=\int \frac{5x^4-5}{(x^5-5x)(x^5-5x+1)} dx=\int(\frac{1}{x^5-5x}-\frac{1}{x^5-5x+1})d(x^5-5x)=ln\|\frac{x^5-5x}{x^5-5x+1}\|+C[/TEX]

[TEX]2/\ 3I=\int [\frac{1}{x-1}-\frac{3}{x^2}-\frac{1}{2}\frac{2x+1}{x^2+x+1}+\frac{3}{2}\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}]dx=\frac{3}{x}+ln\frac{\|x-1\|}{\sqrt{x^2+x+1}}+\sqrt3arctg\frac{2x+1}{\sqrt3}+C[/TEX]

[TEX]3/ \ I=\int \frac{x^4-x^2+1+x^2}{x^6+1}dx=\int\frac{1}{x^2+1}dx+\frac{1}{3}\int\frac{1}{(x^3)^2+1}d(x^3)=arctgx+\frac{1}{3}arctg(x^3)+C[/TEX]

 

[traimuopdang_268]

Tính .

[TEX]1, \int \blue \frac{dx}{x^9-7.x^4}[/TEX]


[TEX]2, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \blue \frac{x + cosx}{4 - sin^2.x}dx[/TEX]

[TEX]3, \int_{-1}^{1} \blue \frac{x^4}{1 + 2^x}dx[/TEX]

 

[lucky_star93]

[TEX]\int \frac{\sqrt{x+1}+2}{(x+1)^2 -\sqrt{x+1}}dx[/TEX]

[TEX]\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^2}[/TEX]

[TEX]I=\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}(\frac{(sinx)^2}{sinx+\sqrt{3}cosx}dx[/TEX]

[TEX]\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(\frac{cos3x}{cosx+1}dx[/TEX]

p/s: " hjhj, đừng làm nô lệ cho cao ngạo nghĩa là gì thế nhĩ , đọc cái câu thấy mơ mơ hồ hồ khong hiểu nổi , "

 

[ngomaithuy93]

[TEX]\int_2^3\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}[/TEX]

[TEX]\int_2^3\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}=\int_2^3\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})dx= ln|x+\sqrt{x^2+1}||_2^3=ln\frac{3+\sqrt{10}}{2+ \sqrt{5}}[/TEX]

[TEX]\fbox {TQ: \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+k}}=ln|x+\sqrt{x^2+k}|+C}[/TEX]