[Toán 12] Chuyên đề: Nguyên hàm tích phân

N

naruto_yhn

quyenuy0241 said:
Tính:

[tex]\int_{1}^{2} \frac{1}{x^6+1}dx [/tex] :D
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[tex]\int_{1}^{2} \frac{1}{x^6+1}dx [/tex]
= [tex]\int_{1}^{2} \frac{(x^4+1)-(x^4-1)}{2(x^2+1)(x^4-x^2+1)}dx [/tex]
=[tex]\int_{1}^{2} \frac{x^4-x^2+1+x^2}{(1+x^2)(x^4-x^2+1)}dx-\int_{1}^{2}\frac{x^2-1}{x^4-x^2+1} dx [/tex]
=[tex]\frac{1}{2}.[ \int_{1}^{2} \frac{1}{1+x^2}dx+\int_{1}^{2}\frac{x^2}{1+(x^3)^2}dx-\int_{1}^{2}\frac{(1-\frac{1}{x^2})}{x^2+\frac{1}{x^2}-1}dx] [/tex]
=[tex]\frac{1}{2}.[ \int_{1}^{2} \frac{1}{1+x^2}dx+\int_{1}^{2}\frac{x^2}{1+(x^3)^2}dx-\int_{1}^{2}\frac{d(x+\frac{1}{x}-1)}{x^2+\frac{1}{x^2}-1}] [/tex]
 
Last edited by a moderator:
V

vivietnam

để luyện tập thêm phần tích phân thì mình đưa mấy bài này lên
mấy bài này không khó nên mong các bạn trình bày cụ thể
và cho đáp án luôn

tính các tích phân sau

[TEX]I_1=\int_{0}^{\pi} \frac{cos(x-\frac{\pi}{4})}{4-3sin2x}dx[/TEX]

[TEX]I_2=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1-sinx}{(1+cosx).e^x}dx[/TEX]

[TEX]I_3=\int_{-1}^{3} \frac{x-3}{3.\sqrt{x+1}+x+3}dx[/TEX]

[TEX]I_4=\int_{\frac{1}{3}}^{1} (ln(3x^4+x^2)-2lnx)dx[/TEX]

[TEX]I_5=\int_{1}^{e} \frac{ln^3x}{x.(ln^2x+1)}dx[/TEX]

[TEX]I_6=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+cos2x}dx[/TEX]

[TEX]I_7=\int_{0}^{7} \frac{x+2}{\sqrt[3]{x+1}}dx[/TEX]

[TEX]I_8=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2sinx.cosx}{\sqrt{13-5cos2x}}dx[/TEX]
 
B

bigbang195

vivietnam said:
để luyện tập thêm phần tích phân thì mình đưa mấy bài này lên
mấy bài này không khó nên mong các bạn trình bày cụ thể
và cho đáp án luôn

tính các tích phân sau



[TEX]I_4=\int_{\frac{1}{3}}^{1} (ln(3x^4+x^2)-2lnx)dx[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


gif.latex
 
B

bigbang195

vivietnam said:
để luyện tập thêm phần tích phân thì mình đưa mấy bài này lên
mấy bài này không khó nên mong các bạn trình bày cụ thể
và cho đáp án luôn

tính các tích phân sau



[TEX]I_2=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1-sinx}{(1+cosx).e^x}dx[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

ta có :

gif.latex


ta tách
gif.latex


sau đó tiến hành đặt
gif.latex
đối với tích phân 1
và
gif.latex
với tích phân 2

cách này dài quá :-s nên em ko làm tiếp được
 
V

vodichhocmai

vivietnam said:
[TEX]I_2=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1-sinx}{(1+cosx).e^x}dx[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin x}{1+\cos x}e^xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\frac{1}{1+\cos x}-\frac{\sin x}{1+\cos x})e^{-x}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\frac{1}{2\cos^2 x}-\tan{\frac{x}{2}})e^{-x} dx\\=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\[(\tan{\frac{x}{2}})'e^{-x} +\tan{\frac{x}{2}}(e^{-x})')\]dx=\tan{\frac{x}{2}}e^{-x}|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{e^{\frac{\pi}{2}}}[/TEX]
 
V

vodichhocmai

vivietnam said:
tính tích phân
[TEX]I=\int_{0}^{20.\pi} \frac{1+|cosx|}{|sinx|+|cosx|+2}dx[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]\I:= 20 \int_{0}^{\pi} \frac{1+|cosx|}{|sinx|+|cosx|+2}dx= 20 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+|cosx|}{|sinx|+|cosx|+2}dx [/TEX]

[TEX]\ \ =40 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+|cosx|}{|sinx|+|cosx|+2}dx=^{x=\frac{\pi}{2}-t} 20\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}dx =10\pi[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
M

mrht27071993

Cho em hỏi tí về bài giải của bạn naruto_yhn cái trên bắng cái dưới. em không hiểu ạ!
1.png


chỗ đó bạn biến đổi bị nhầm đó em.


[TEX]\int_1^2\frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}-1}dx=\int_1^2\frac{d(x+\frac{1}{x})}{(x+\frac{1}{x})^2-3}=\frac{1}{2\sqrt3}.ln(\frac{x+\frac{1}{x}-\sqrt3}{x+\frac{1}{x}+\sqrt3})\|_1^2[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
 
Last edited by a moderator:
V

vivietnam

[TEX]I_9=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{x}{1+cos2x}dx[/TEX]

[TEX]I_{10}=\int_{0}^{2}\frac{3x^3dx}{x^2+2x+1}[/TEX]

[TEX]I_{11}=\int_{0}^{2}\frac{x+1}{\sqrt[3]{3x+2}}dx[/TEX]

2, chứng minh

[TEX]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(sinx)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(cosx)dx[/TEX]
 
B

bigbang195

Last edited by a moderator:
N

nguyentung2510

Ko biết mấy bài này trùng chưa. :D. Quà ra mắt box toán :D

[TEX]\int_{0}^{1}\frac{(x+4).dx}{\sqrt{x^2 +4x +5}}[/TEX]

[TEX]\int_{2}^{3}\frac{dx}{(x-1).\sqrt{x^2 +1}}[/TEX]

[TEX]\int_{2}^{3}\frac{dx}{(x^2 -2).\sqrt{x^2 +3}}[/TEX]

[TEX]\int_{2}^{3}\frac{x.dx}{(5- 2x^2).\sqrt{6x^2 +1}}[/TEX]
 
Z

zzyahoozz

đua đòi 1 con :D
[tex] \int_{0}^{1}\frac{(x+4).dx}{\sqrt{x^2 +4x +5}}[/tex]
đặt [TEX]t=x+2 \rightarrow dt=dx[/TEX]
[TEX] x=1 \rightarrow t=3,x=0 \rightarrow t=2[/TEX]
[TEX]\int_{2}^{3}\frac{t+2}{sqrt{t^2+1}}dt[/TEX]
[TEX] = \int_{2}^{3}\frac{t}{sqrt{t^2+1}}dt+2.\int_{2}^{3}\frac{1}{sqrt{t^2+1}}dt[/TEX]
[TEX] =\int_{2}^{3}d(sqrt{t^2+1})+2\int_{2}^{3}\frac{1}{sqrt{t^2+1}}dt[/TEX]
[TEX] =sqrt(t^2+1)\mid_{2}^{3}+2\ln(t+sqrt{t^2+1})\mid_{2}^{3}[/TEX]
[TEX] =sqrt{10}-sqrt{5}+2\ln(\frac{3+sqrt{10}}{2+sqrt{5}})[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
Z

zzyahoozz

nguyentung2510 said:
[TEX]\int_{2}^{3}\frac{dx}{(x-1).\sqrt{x^2 +1}}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[TEX] =\int_{2}^{3}\frac{x-x+1}{(x-1)sqrt{x^2+1}}dx[/TEX]
[TEX] =\int_{2}^{3}\frac{x}{(x-1)sqrt{x^2+1}}dx(1)-\int_{2}^{3}\frac{1}{sqrt{x^2+1}}dx(2)[/TEX]
giải (1):
đặt [TEX]sqrt{x^2+1}=t \rightarrow dt=\frac{x}{sqrt{x^2+1}}dx[/TEX]
[TEX] x=2 \rightarrow t=sqrt{5},x=3 \rightarrow t=sqrt{10}[/TEX]
[TEX] \rightarrow \int_{sqrt{5}}^{sqrt{10}}\frac{dt}{sqrt{t^2-1}-1}[/TEX]
phần còn lại ai giải nốt nhé!!! :D:D:D
 
Last edited by a moderator:
V

vivietnam

nguyentung2510 said:
[TEX]\int_{0}^{1}\frac{(x+4).dx}{\sqrt{x^2 +4x +5}}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
1,[TEX]=\int_{0}^{1}(\frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+5}}+\frac{2}{\sqrt{x^2+4x+5}})dx=(\sqrt{x^2+4x+5}+ln|x+2+\sqrt{x^2+4x+5}|)|_{0}^{1}[/TEX]

nguyentung2510 said:
[TEX]\int_{2}^{3}\frac{dx}{(x-1).\sqrt{x^2 +1}}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

2,
đặt [TEX]x-1=\frac{1}{t} \Rightarrow dx= \frac{-dt}{t^2}[/TEX]
[TEX]x|_{2}^{3} \rightarrow \ t_{1}^{\frac{1}{2}}[/TEX]

\Rightarrow[TEX]I= \int _{1}^{\frac{1}{2}}\frac{-dt}{\frac{1}{t}.t^2.\sqrt{\frac{(t+1)^2+t^2}{t^2}}}=\int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{-dt}{\sqrt{2t^2+2t+1}}=-ln|2t+1+\sqrt{2t^2+2t+1}|_{0}^{\frac{1}{2}}[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom