[Toán 12] Chuyên đề: Nguyên hàm tích phân

[vivietnam]

Giúp em 2 con tích phân này:

[TEX]1. \int_{1}^{\sqrt{2}}\frac{x.dx}{(x+1)^2}[/TEX]

[TEX]2. \int_{0}^{1}(x.e^{2x} - \frac{x}{\sqrt{4-x^2}}).dx[/TEX]

[TEX]1,I=\int_1^{\sqrt{2}}\frac{x+1-1}{(x+1)^2}dx=\int_1^{\sqrt{2}}(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2})dx=(ln|x+1|+\frac{1}{x+1})|_1^{\sqrt{2}}=...........[/TEX]
[TEX]2,J=\int_0^1 \frac{1}{2}xd(e^{2x})+\int_0^1 \frac{d(4-x^2)}{2.\sqrt{4-x^2}}=\frac{1}{2}x.e^{2x}|_0^1-\int_0^1\frac{e^{2x}dx}{2}+\frac{1}{2}.\sqrt{4-x^2}|_0^1=\frac{1}{2}(x.e^{2x}-\frac{e^{2x}}{2}+\sqrt{4-x^2})_0^1=............[/TEX]

 

[vivietnam]

Tính tích phân
[TEX]\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{(cosx-2sinx)^2}[/TEX]
Học đạo hàm khó quá (

[TEX]I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{cos^2x(1-2tanx)^2}=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{d(tanx)}{(1-2tanx)^2}=\int_0^{\sqrt{3}}\frac{dt}{(1-2t)^2}=\frac{1}{2(1-2x)}|_0^{\sqrt{3}}=.....[/TEX]

 

[silvery21]

[TEX]\int_0^{\frac{\pi }{3}} {\left[ {\frac{{{x^7}\left( {2c{\rm{os}}x - x\sin x} \right)}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^5}{\rm{x}}}}} \right]} d{\rm{x}}[/TEX]

 

[vivietnam]

chứng minh bất đẳng thức
[TEX]\sum_{i=1}^n\frac{1}{n+i}< ln2[/TEX]
gợi ý:định nghĩa tích phân xác định

 

[vivietnam]

[TEX]\int_0^{\frac{\pi }{3}} {\left[ {\frac{{{x^7}\left( {2c{\rm{os}}x - x\sin x} \right)}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^5}{\rm{x}}}}} \right]} d{\rm{x}}[/TEX]

câu này anh nghĩ đề phải là vầy chứ
[TEX]\int_0^{\frac{\pi}{3}}(\frac{x^7(2cosx+x.sinx)}{cos^5x})dx[/TEX]

 

[chontengimoiduoc]

gặp mấy bài vừa có x vừa có lương kieu nay thi chiu,
minh kem tich phan mong moi nguoi chi giao
[TEX]\int_0^\pi \frac{x}{1+sinx}dx[/TEX]

 

[ngomaithuy93]

[TEX]I=\int_0^\pi \frac{x}{1+sinx}dx[/TEX]

[TEX]t=\pi -x \Rightarrow dt=-dx[/TEX]
[TEX]I=\int_0^{\pi}\frac{\pi-t}{1+sint}dt=\int_0^{\pi}\frac{\pi-x}{1+sinx}dx= \int_0^{\pi}\frac{\pi}{1+sinx}dx-I[/TEX]
[TEX] \Rightarrow 2I=\int_0^{\pi}\frac{\pi}{1+sinx}dx=\int_0^{\pi} \frac{d(x+\frac{\pi}{4})}{2sin^2(x+\frac{\pi}{4})}=\frac{-cot(x+\frac{\pi}{4})}{2}|_0^{\pi}=1[/TEX]
[TEX] \Rightarrow I=\frac{1}{2}[/TEX]

có ai có các công thức tính nguyên hàm của các logarit ko?? chỉ giúp mình nha!! tks

Tìm nguyên hàm của các logarit thì dùng nguyên hàm từng phần đi cậu!

 

[mai_s2a3_93]

tìm nguyên hàm của hàm số:
f(x)= tan x.tan(x+[TEX]\pi/3[/TEX]).tan(x-[TEX]\pi[/TEX]/3)

 

[votinh95213]

Tìm nguyên hàm của [TEX]\int_{}^{}dx/(x^9-7x^4)[/TEX]
Chả biết nó giống dạng gì mà làm chả ra

 

[love_a1k36]

Tính
[TEX]I= \int_0^{2\pi} ln(sin x + \sqrt{1+ sin^2 x}) dx[/TEX]

 

[silvery21]

tìm nguyên hàm của hàm số:
f(x)= tan x.tan(x+[TEX]\pi/3[/TEX]).tan(x-[TEX]\pi[/TEX]/3)

[TEX]\begin{array}{l} tanx.tan(x + \pi /3).tan(x - \pi /3) = tgx.\frac{{\sqrt 3 -tgx}}{{\sqrt 3 + tgx}}.\frac{{\sqrt 3 + tgx}}{{\sqrt 3 - tgx}} = tgx.\frac{{3 - t{g^2}x}}{{1 - 3t{g^2}x}} = tg3x \\ \int {tg3xdx = \frac{{ - 1}}{3}} \ln |\cos 3x| + c \\\end{array}[/TEX]

Tìm nguyên hàm của [TEX]\int_{}^{}dx/(x^9-7x^4)[/TEX]
Chả biết nó giống dạng gì mà làm chả ra

đây là dạng nhảy tầng lầu khi mẫu ko đồng bậc nhưng đề như vậy t làm ko ra

nếu sửa đề [TEX]\int {\frac{{dx}}{{{x^9} - 7{x^5}}}} [/TEX] thì có thể làm ra

ko bjk bạn lấy đề ở đâu ; nếu đề của thầy cô trên lớp cho thì t sẽ suuy nghĩ lại

Tính
[TEX]I= \int_0^{2\pi} ln(sin x + \sqrt{1+ sin^2 x}) dx[/TEX]

bài này t đặt[TEX] t = sin x[/TEX] sau đó ra dạng này [TEX]\ln (t + \sqrt {1 + {t^2}})[/TEX]


tích phân từng phần là xong lun

kq = [TEX]t\ln (t + \sqrt {1 + {t^2}} ) - \sqrt {1 + {t^2}} + 1=0[/TEX]

nhưng cái cận lại từ 0--> 0 có vẻ hơi kì nhỉ

vivietnam:sai

 

[vivietnam]

Tính
[TEX]I= \int_0^{2\pi} ln(sin x + \sqrt{1+ sin^2 x}) dx[/TEX]

[TEX]dat x=\pi-t[/TEX]
[TEX]\Rightarrow I=\int_{-\pi}^{\pi}ln(\sqrt{1+sin^2x}+sinx)dx[/TEX][TEX]=\int_{-\pi}^0 ln(\sqrt{1+sin^2x}+sinx)dx+\int_0^{\pi} ln(\sqrt{1+sin^2x}+sinx)dx=I_1+I_2[/TEX]
[TEX]xet I_1[/TEX]
[TEX]dat x=-t\Rightarrow dx=-dt[/TEX]
[TEX]\Rightarrow I_1=\int_0^{\pi}ln(\sqrt{1+sin^2t}-sint)dt=-I_2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow I=0[/TEX]

 

[gaconthaiphien]

Giúp em bài này:

Tinh [TEX]\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x^2}{(1-x^2)^2}dx[/TEX]

 

[keosuabeo_93]

1.[tex]\int\limits_{1}^{\sqrt{e}}\frac{3-2lnx}{x\sqrt{1+2lnx}}dx[/tex]

2.[tex]\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{sin^2x.cos^4x}[/tex]

3.[tex]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{2x}cos^2xdx[/tex]

 

[vivietnam]

2.[tex]\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{sin^2x.cos^4x}[/tex]

làm câu này cho nhanh
[TEX]=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{sin^2x+cos^2x}{sin^2x.cos^4x}dx[/TEX]
[TEX]=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} (\frac{1}{cos^4x}+\frac{1}{sin^2x.cos^2x})dx[/TEX]
[TEX]=\int _{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}(tan^2x+1)d(tanx)+\int _{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{sin^2x+cos^2x}{sin^2x.cos^2x}dx[/TEX]
[TEX]=\frac{tan^3x}{3}+tanx+\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}(\frac{1}{sin^2x}+\frac{1}{cos^2x})dx[/TEX]
[TEX] = (\\\\\frac{tan^3x}{3}+2tanx-cotx)|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}=.........[/TEX]

 

[huutrang93]

[TEX]\begin{array}{l} tanx.tan(x + \pi /3).tan(x - \pi /3) = tgx.\frac{{\sqrt 3 -tgx}}{{\sqrt 3 + tgx}}.\frac{{\sqrt 3 + tgx}}{{\sqrt 3 - tgx}} = tgx.\frac{{3 - t{g^2}x}}{{1 - 3t{g^2}x}} = tg3x \\ \int {tg3xdx = \frac{{ - 1}}{3}} \ln |\cos 3x| + c \\\end{array}[/TEX]



đây là dạng nhảy tầng lầu khi mẫu ko đồng bậc nhưng đề như vậy t làm ko ra

nếu sửa đề [TEX]\int {\frac{{dx}}{{{x^9} - 7{x^5}}}} [/TEX] thì có thể làm ra

ko bjk bạn lấy đề ở đâu ; nếu đề của thầy cô trên lớp cho thì t sẽ suuy nghĩ lại

Quyển Tuyển tập các chuyên đề và kĩ thuật tính tích phân của Trần Phương, bài B2 trang 100

Giúp em bài này:

Tinh [TEX]\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x^2}{(1-x^2)^2}dx[/TEX]

Đặt
[TEX]\frac{1}{1-x^2}=u \Rightarrow du=-\frac{1}{(1-x^2)^2}.dx[/TEX]
[TEX]\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x^2}{(1-x^2)^2}dx=\int_{1}^{\frac{4}{3}}(-1+\frac{1}{u}).du[/TEX]

kimxakiem2507:

*Em giải không cẩn thận bài của bạn nên sai rồi em à

*Nhảy tầng lầu là gì vậy em?Ứng dụng trong trường hơp nào?Giải cho anh xem bài bạn hỏi với!

 

[tsukushi493]

1.[tex]\int\limits_{1}^{\sqrt{e}}\frac{3-2lnx}{x\sqrt{1+2lnx}}dx[/tex]

Đặt t = [TEX]\sqrt{1+2lnx } => t^2 = 1+2lnx => tdt = \frac{dx}{x}[/TEX]

lnx = [TEX](t^2-1)/2 [/TEX]

Đến đây cậu làm đc

 

[kimxakiem2507]

[tex]I_1=\int_{\frac{1}{\sqrt3}}^{1}\frac{lnx} {x^2sqrt{x^2+1}}dx[/tex]


[tex]I_2=\int_{\frac{1}{\sqrt3}}^{1}\frac{lnx} {x^2(x^2+1)sqrt{x^2+1}}dx[/tex]

[TEX] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ [/TEX]

Giúp em bài này:

Tinh [TEX]\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x^2}{(1-x^2)^2}dx[/TEX]

[TEX]I=\int \frac{x^2}{(1-x^2)^2}dx=\int x.d(-\frac{1}{2(x^2-1)})=\frac{x}{2(1-x^2)}+\frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2-1}dx=\frac{x}{2(1-x^2)}+\frac{1}{4}ln\|\frac{x-1}{x+1}\|+C[/TEX]

[TEX]I=\int \frac{x^8}{(x^4-1)^2}dx[/TEX]
Không dùng lượng giác (số không đẹp). Xin cảm ơn

[TEX]I=\int x^5.d(-\frac{1}{4(x^4-1)})=\frac{x^5}{4(1-x^4)}+\frac{5}{4}\int (1+\frac{1}{2(x^2-1)}-\frac{1}{2(x^2+1)})dx=\frac{x^5}{4(1-x^4)}+\frac{5x}{4}+\frac{5}{16}ln\|\frac{x-1}{x+1}\|-\frac{5}{8}arctgx+C[/TEX]

Tìm nguyên hàm của [TEX]I=\int_{}^{}\frac{1}{x^9-7x^4}dx[/TEX]
Chả biết nó giống dạng gì mà làm chả ra

[TEX]7I=\int\frac{7}{x^4(x^5-7)}dx=\int(\frac{x}{x^5-7}-\frac{1}{x^4})dx=J+\frac{1}{3x^3}[/TEX]

[TEX]Dat\ a^5=7[/TEX]

[TEX]5a^3J=\int[\frac{1}{x-a}-\frac{x^3+2ax^2+3a^2x-a^3}{x^4+ax^3+a^2x^2+a^3x+a^4}]dx[/TEX]

[TEX]=\int[\frac{1}{x-a}-\frac{1}{4}[\frac{4x^3+3ax^2+2a^2x+a^3}{x^4+ax^3+a^2x^2+a^3x+a^4}+\sqrt5(\frac{2x-\frac{\sqrt5-1}{2}a}{x^2-\frac{\sqrt5-1}{2}ax+a^2}-\frac{2x+\frac{\sqrt5+1}{2}a}{x^2+\frac{\sqrt5+1}{2}ax+a^2})+\frac{2\sqrt5}{(x-\frac{\sqrt5-1}{4}a)^2+\frac{5+\sqrt5}{8}a^2}-\frac{2\sqrt5}{(x+\frac{\sqrt5+1}{4}a)^2+\frac{5+\sqrt5}{8}a^2}]dx[/TEX]

[TEX]\Rightarrow{I=\frac{1}{21x^3}+\frac{1}{35a^3}ln\|x-a\|+\frac{1}{140a^3}[(\sqrt5-1)ln(x^2+\frac{\sqrt5+1}{2}ax+a^2)-(\sqrt5+1)ln(x^2-\frac{\sqrt5-1}{2}ax+a^2)+[/TEX]

[TEX]+2\sqrt{10+2\sqrt5}\ arctg\frac{4x+( \sqrt5+1)a}{\sqrt{10-2\sqrt5}}-2\sqrt{10-2\sqrt5}\ arctg\frac{4x-(\sqrt5-1)a}{\sqrt{10+2\sqrt5}}]+C[/TEX]

 

[silvery21]

[TEX]I=\int \frac{x^2}{(1-x^2)^2}dx=\int x.d(-\frac{1}{2(x^2-1)})[/TEX]

[TEX]I=\int x^5.d(-\frac{1}{4(x^4-1)})[/TEX]

có thể chỉ em cách nhanh nhất để ra đc tích phân kiểu đó đc ko anh???( theo em bjk làm được đến đó là cả 1 công đoạn dài )

[TEX]I=\int_{}^{}\frac{1}{x^9-7x^4}dx[/TEX]


[TEX]7I=\int\frac{7}{x^4(x^5-7)}dx=\int(\frac{x}{x^5-7}-\frac{1}{x^4})dx=J+\frac{1}{3x^3}[/TEX]

[TEX]Dat\ a^5=7[/TEX]

[TEX]5a^3J=\int[\frac{1}{x-a}-\frac{x^3+2ax^2+3a^2x-a^3}{x^4+ax^3+a^2x^2+a^3x+a^4}]dx[/TEX]

đoạn này khó hiểu nhỉ

 

[kimxakiem2507]

[TEX]I=\int \frac{x^2}{(1-x^2)^2}dx=\int x.d(-\frac{1}{2(x^2-1)})[/TEX]

[TEX]I=\int x^5.d(-\frac{1}{4(x^4-1)})[/TEX]

có thể chỉ em cách nhanh nhất để ra đc tích phân kiểu đó đc ko anh???( theo em bjk làm được đến đó là cả 1 công đoạn dài )

[TEX]I=\int_{}^{}\frac{1}{x^9-7x^4}dx[/TEX]



[TEX]7I=\int\frac{7}{x^4(x^5-7)}dx=\int(\frac{x}{x^5-7}-\frac{1}{x^4})dx=J+\frac{1}{3x^3}[/TEX]

[TEX]Dat\ a^5=7[/TEX]

[TEX]5a^3J=\int[\frac{1}{x-a}-\frac{x^3+2ax^2+3a^2x-a^3}{x^4+ax^3+a^2x^2+a^3x+a^4}]dx[/TEX]

đoạn này khó hiểu nhỉ

1/*Tích phân toàn phần sẽ thường sẽ dẫn đến tính một tích phân dễ hơn

[TEX]*\int{d(\frac{1}{f^{n}(x)})=\int {-\frac{n.f^{'}(x)}{f^{n+1}(x)}dx}[/TEX]

Do đó ta hoàn toàn có thể chuyển [TEX]\frac{f^{'}(x)}{f^{n+1}(x)}[/TEX] về [TEX]\frac{1}{f^{n}(x)}[/TEX] nghĩa là đơn giản hơn.Nếu [TEX]n[/TEX] lớn sẽ sử dụng truy hồi

Hai bài ví dụ trên anh sẽ chuyển về [TEX]\frac{1}{x^2-1}[/TEX] và [TEX] \frac{1}{x^4-1}[/TEX]

Làm :

[TEX]d(\frac{1}{x^2-1})=-\frac{2x}{(x^2-1)^2}dx[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{d(-\frac{1}{2(x^2-1)})=\frac{x}{(x^2-1)^2}dx[/TEX] Lúc đó ở ngoài chỉ còn chữ [TEX]x[/TEX]

Vậy là anh có thể viết [TEX]I=\int \frac{x^2}{(1-x^2)^2}dx=\int x.d(-\frac{1}{2(x^2-1)})[/TEX]

[TEX]d(\frac{1}{x^4-1})=-\frac{4x^3}{(x^4-1)^2}dx\Leftrightarrow{d(-\frac{1}{4(x^4-1)})=\frac{x^3}{(x^4-1)^2}[/TEX] và ở ngoài còn lại [TEX]x^5[/TEX]

Viết lại :[TEX]I=\int x^5.d(-\frac{1}{4(x^4-1)})[/TEX]

Thực ra chỉ là xử lý cho nhanh tích phân toàn phần mà thôi,em sẽ làm được

[TEX]2/*\frac{1}{x^9-7x^4}=\frac{\frac{1}{7}x}{x^5-7}-\frac{\frac{1}{7}}{x^4}[/TEX] Để cái [TEX]\frac{1}{7}[/TEX] sẽ xấu xí nên anh nhân qua thành [TEX]7I [/TEX] thôi

[TEX]*\frac{x}{x^5-7}[/TEX]

Cái con số [TEX]7[/TEX] này quá xấu xí nên anh đặt [TEX]a^5=7[/TEX] cho dễ xử lý về sau và cách đặt này quyết định hướng giải

[TEX]J=\int\frac{x}{x^5-a^5}dx=\int\frac{x}{(x-a)(x^4+ax^3+a^2x^2+a^3x^3+a^4)}dx[/TEX]

Anh sẽ phân rã cái mẫu số này ra theo phương pháp đồng nhất nhưng phải linh hoạt nếu không rất khó khăn

[TEX]\frac{x}{(x-a)(x^4+ax^3+a^2x^2+a^3x^3+a^4)}=\frac{A}{x-a}+\frac{Bx^3+Cx^2+Dx+E}{x^4+ax^3+a^2x^2+a^3x^3+a^4}[/TEX]

Tìm [TEX]A:[/TEX]

[TEX]*[/TEX] Nếu là nghiệm đơn thì che nó lại rồi thế nghiệm vô hàm còn lại sẽ được hệ số trên tử
[TEX]*[/TEX] Nếu là nghiệm kép thì tách ra mẫu bậc [TEX]1[/TEX] và mẫu bậc [TEX]2[/TEX]:mẫu bậc [TEX]2[/TEX] làm giống nghiệm đơn còn mẫu bậc [TEX]1[/TEX] thì em che nó lại,đạo hàm một phát rồi thế nghiệm vô.Bao nhiêu cái nghiệm đơn nghiệm kép cũng đều làm được

thế[TEX] x=a[/TEX] vào [TEX]\frac{x}{x^4+ax^3+a^2x^2+a^3x^3+a^4}\Rightarrow{A=\frac{1}{5a^3}[/TEX]

[TEX]A[/TEX] xấu xí nên anh sẽ xử lý [TEX]5a^3J [/TEX]lúc đó [TEX]A=1[/TEX] Các hằng số còn lại sẽ khai thác từ con [TEX]A[/TEX] này

[TEX]\frac{5a^3x}{x^5-a^5}=\frac{1}{x-a}+\frac{Ax^3+Bx^2+Cx+D}{x^4+ax^3+a^2x^2+a^3x^3+a^4}[/TEX]

Đồng nhất hệ số [TEX]x^4[/TEX] sẽ có [TEX]1+A=0\Leftrightarrow{A=-1[/TEX] (em thay ngay chữ [TEX]A[/TEX] thành [TEX]{-1[/TEX] liền)

Đồng nhất hệ số tự do sẽ có [TEX]a^4-aD=0\Leftrightarrow{D=a^3[/TEX] (em thay ngay chữ [TEX]D[/TEX] thành [TEX]a^3[/TEX] liền)

Tương tự em đi đồng nhất hệ số [TEX]x^3,x^2[/TEX] để tìm được [TEX]B,C [/TEX]dễ dàng (không cần đồng nhật hệ số của [TEX]x [/TEX]vì nó sẽ tự động thoã mãn do em đã biết một hệ số từ lúc đầu rôi)

Vậy anh có thể viết

[TEX]5a^3J=\int [\frac{1}{x-a}-\frac{x^3+2ax^2+3a^2x-a^3}{x^4+ax^3+a^2x^2+a^3x+a^4}]dx[/TEX]

[TEX]\frac{x^3+2ax^2+3a^2x-a^3}{x^4+ax^3+a^2x^2+a^3x+a^4}[/TEX]

Cái này trước khi phân rã mẫu số em nên biến tử có chứa đạo hàm mẫu với mục đích làm giảm bậc tử số có lợi cho việc đồng nhất ở giai đoạn sau (đừng vội đồng nhất sẽ dẫn đến khó khăn)

[TEX]x^4+ax^3+a^2x^2+a^3x+a^4=(x^2-\frac{\sqrt5-1}{2}ax+a^2)(x^2+\frac{\sqrt5+1}{2}ax+a^2)[/TEX]

Cái này anh đã phân tích nhân cũng dựa trên sự đồng nhất dễ dàng với dự đoán [TEX](x^2+Ax+a^2)(x^2+Bx+a^2)[/TEX]

[TEX]*[/TEX] Lưu ý :khi tính tích phân thì các hệ số đi theo chỉ ãnh hưởng đến kết quả tính nhưng không làm thay đổi hướng làm bài
[TEX]*[/TEX] Bài này thoạt nhìn thấy khó khăn nhưng nếu khéo léo một chút khi biến đổi thì cũng không khó lắm với điều kiện phải nắm được cách giải

[TEX]I=\int \frac{x^4-1}{x^4-x^3+x^2}dx[/TEX]