[Toán 12] Chuyên đề: Nguyên hàm tích phân

[vivietnam]

Tính .




[TEX]2, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \blue \frac{x + cosx}{4 - sin^2.x}dx[/TEX]

[TEX]3, \int_{-1}^{1} \blue \frac{x^4}{1 + 2^x}dx[/TEX]

2, tổng quát
[TEX]\int_{-a}^a f(x)dx=2.\int_0^a f(x)dx[/TEX] nếu f(x) là hàm chẵn

[TEX]\int_{-a}^a f(x)dx=0[/TEX] nếu f(x) là hàm lẻ
chứng minh
[TEX]I=\int_{-a}^0 f(x)dx+\int_0^a f(x)dx=I_1+I_2[/TEX]
xét [TEX]I_1[/TEX]
đặt x=-t\Rightarrowdx=-dt
[TEX]I_1=\int_0^a f(-x)dx[/TEX]
f(x) lẻ thì [TEX]I_1=-I_2\Rightarrow I=0[/TEX]
f(x) chẵn thì [TEX]I_1=I_2\Rightarrow I=2I_2[/TEX]
áp dụng ta có
[TEX]I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x }{4 - sin^2.x}dx+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{cosx}{4 - sin^2.x}dx=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d(sinx)}{4-sin^2x}=...............[/TEX]


3,dạng tổng quát
[TEX] I=\int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+b^x}dx[/TEX] (f(x) là hàm số chẵn)

[TEX]I=\int_{-a}^{0}\frac{f(x)}{1+b^x}dx+\int_{0}^{a} \frac{f(x)}{1+b^x}dx=I_1+I_2[/TEX]
xét [TEX]I_1[/TEX]

đặt x=-t
dx=-dt

[TEX]x|_{-a}^{0} \rightarrow \ t|_{a}^{0}[/TEX]
[TEX]I_1=-\int_{a}^{0} \frac{f(-t)}{1+b^{-t}}dt=\int_{0}^{a} \frac{b^t.f(t)}{1+b^t}dt=\int _{0}^{a}\frac{b^x.f(x)}{1+b^x}dx[/TEX]
[TEX]I=\int_{0}^{a} f(x)dx[/TEX]

áp dụng cái này ta có
[TEX]I=\int_0^1x^4dx=\frac{1}{5}[/TEX]

 

[kimxakiem2507]

[TEX]Tai\ sao\ fx-570ES\ cung\ phai\ chao\ thua\ :\ [/TEX]

[TEX]I=\int_0^2 (x^3-3x^2+2x)e^{^{x^2-2x}}dx[/TEX]




[TEX]*Kinh\ nghiem\ :\ thay\ f(x)\ ghe\ ghe\ khac\ thuong\ thi\ nghi\ ngay\ den\ \left[t=a+b-x\\t=\frac{a+b}{2}-x[/TEX]


[TEX]*Ket\ qua\ may\ cho\ ra\ mot\ con\ so\ gan\ bang\ 0\ ma\ moi\ nhin\ vao\ ta[/TEX]

[TEX]\ cu\ nghi\ minh\ bi\ sai\ ,\ that\ ra\ do\ may\ lap\ trinh\ theo\ dang\ chuoi[/TEX]

[TEX]\ nen\ cho\ ra\ ket\ qua\ gan\ dung.\ Dung\ hoang\ mang \ vi\ minh\ da\ lam\ dung![/TEX]

[TEX]*Ket\ qua\ bai\ toan\ la\ I=-I\Leftrightarrow{ I=0\ hoac\ neu\ khong\ cho\ ra\ I=-I\ thi \ ta\ tach\ ham\ f(x)\ ra\ ngay\ tu\ dau[/TEX]

[TEX]de\ tinh\ theo\ cach\ nhu\ tren\ ,\ phan\ con\ lai\ se\ don\ gian\ hon\ rat\ nhieu[/TEX]

[TEX]I/\ \ [/TEX]Như ta đã biết cách làm những bài toán có cận đối xứng

[TEX]1/\ \left{I=\int_{-a}^{a}f(x)dx\\f(x):la\ ham\ le[/TEX][TEX]\Rightarrow{\left{t=-x \\I=0[/TEX]
[TEX]2\ \ \left{I=\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{\alpha^{g(x)}+1}dx\\f(x):la\ ham\ chan\\g(x):la\ ham\ le[/TEX][TEX]\Rightarrow{\left{t=-x\\I=\int_{0}^{a}f(x)dx[/TEX]

Từ ý tưởng trên ta nghĩ ngay đến việc đổi cặp cận của bài toán bất kỳ về cận đối xứng để cho các hàm lẻ sẽ có [TEX]I=0[/TEX] và ta chỉ việc tính các hàm còn lại đơn giản hơn rất nhiều

Cách đổi
[TEX]: t=x-\frac{a+b}{2}\Rightarrow{\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{\frac{b-a}{2}}^{\frac{a-b}{2}}g(t)dt\ \ \ \ \ \ \ (t=\frac{a-b}{2}-x\ :cung\ duoc)[/TEX]

[TEX]II/\ [/TEX]Tiếp cận ý tưởng bài toán "lạ"

1/ Ta đã biết : [TEX]\left{\int e^{f(x)}dx\\f(x)\neq{ax+b}(\neq{ln(h(x)\ )[/TEX][TEX]:khong\ co\ nguyen\ ham\ so\ cap[/TEX]

2/ Nhưng nếu rơi vào hai trường hợp có thể gặp sau đây thì có thể xử lý được :

[TEX]*\int h[f(x)]e^{f(x)}f^{'}(x)dx=\int h[f(x)]e^{f(x)}d[f(x)][/TEX][TEX]\Rightarrow{\left{t=f(x)\\Tich\ phan\ toan\ phan[/TEX]

[TEX]*\left{I=\int_{a}^{b}g(x)e^{f(x)}dx\\g(x)=-g(a+b-x)\\f(x)=f(a+b-x)[/TEX][TEX]\Rightarrow{\left{t=a+b-x\\I=-I[/TEX][TEX]\Rightarrow{I=0[/TEX]

Do [TEX]I=0[/TEX] nên ta cũng hoàn toàn có thể đặt [TEX]\left[t=x-\frac{a+b}{2}\\t=\frac{a+b}{2}-x[/TEX][TEX]\Rightarrow{\left{I=\int_{\frac{b-a}{2}}^{\frac{a-b}{2}}g(t)dt\\g(t):la\ ham\ le[/TEX]


[TEX]*[/TEX] Từ hai dạng trên ta hoàn toàn có thể sáng tác một bài toán kết hợp giữa hai dạng trên lại với nhau để có được một bài toán phức tạp hơn rất nhiều.Nếu không nắm vững nguyên tác sẽ có không ít em bảo đề bài sai!


[TEX]*[/TEX]Riêng bài ví dụ ở trên máy sẽ cho ra một con số gần bằng [TEX]0[/TEX] mà khi dò đáp số cứ nghĩ mình làm sai và ta cứ loay hoay tìm chỗ sai trong bài giải của mình:thật tai hại!

[TEX]*[/TEX] Qua bài toán trên anh muốn nhấn mạnh rằng chúng ta cần phải nghiên cứu kỹ lý thuyết để có thể tiếp cận với ý đồ của người ra đề đồng thời cho ra những bài toán mới lạ nhưng không kém phần hóc búa từ những cái thật đơn giản!

 

[silvery21]

[TEX]\int \frac{\sqrt{x+1}+2}{(x+1)^2 -\sqrt{x+1}}dx[/TEX]

[TEX]\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^2}[/TEX]

[TEX]I=\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}(\frac{(sinx)^2}{sinx+\sqrt{3}cosx}dx[/TEX]

[TEX]\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(\frac{cos3x}{cosx+1}dx[/TEX]

minh goi y; thuj nha

c 1 dat [TEX]t = \sqrt{x+1} ...........[/TEX]

2. [TEX]x = a tg t . t \in (-\pi/2; \pi/2)[/TEX]

3. chuyen mau

cau 4 sdung CT ha bac cos 3x sau do chia tu cho mau

 

[kimxakiem2507]

Chỗ này a có bị nhầm k ạ, A post thêm mấy con áp dụng đi
Càng đọc càng thấm........... Thanks a !
Làm giúp e bài này ...


[TEX]1, \int \blue \frac{dx}{x^9-7.x^4}[/TEX]

[TEX]*[/TEX] Đó chỉ là một hướng tiếp cận khi gặp một bài toán "lạ" không hợp logic chứ không phải lúc nào cũng sử dụng được

[TEX]*[/TEX] Theo ý tưởng đó,lấy ví dụ là tuỳ vào khả năng sáng tác của em.Em xem một bài "lạ" này :

[TEX]I=\int_{-3}^{5}(x^3-3x^2+2)^{2n+1}dx\ \ \ \ \ \ \ \ (n\in{N)[/TEX]

[TEX]t=2-x\Rightarrow{I=(-x^3+3x^2-2)^{2n+1}dx=-I\Leftrightarrow{I=0[/TEX]

[TEX]*[/TEX] Bài em hỏi em lượm ở đâu ra mà xấu xí quá vậy,về nguyên tắc là tính được nguyên hàm theo phương pháp

đồng nhất (phân rã mẫu số thành tích những mẫu đơn giản hơn) vì không thể đổi biến được nhưng rất tốn thời gian.

Anh chỉ nêu hướng thôi nha,em có thích thú thì hãy hoàn thành tiếp.Những bài kiểu này phải ra đề sao

cho có thể đổi biến một phần ,hàm hữu tỷ còn lại phải ở dạng đơn giản!

[TEX]I=\int \frac{1}{x^9-7x^4}dx=\int \frac{1}{x^4(x^5-7)}dx [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow{7I=\int (\frac{x}{x^5-7}-\frac{1}{x^4})dx=J+\frac{1}{3x^3}[/TEX]

[TEX]Dat\ \ \ a^5=7[/TEX]

[TEX]\frac{x}{x^5-a^5}=\frac{x}{(x-a)(x^4+ax^3+a^2x^2+a^3x+a^4)}=\frac{1}{5a^3}\ .\ \frac{1}{x-a}+\frac{A(2x+\frac{ \sqrt5+1}{2}a)+B}{x^2+\frac{\sqrt5+1}{2}ax+a^2}+ \frac{C(2x-\frac{\sqrt5-1}{2}a)+D}{x^2-\frac{\sqrt5-1}{2}ax+a^2}[/TEX]

[TEX]Dong\ nhat\ \Rightarrow{A,B,C,D\Rightarrow{J,I[/TEX]

 

[muathu1111]

Nhờ mấy bác giúp em bài này nữa ạk......đề thi thử ĐH trường em :
[tex]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{x^2}{xsinx + cosx}dx[/tex]

[TEX][/TEX]

[TEX]I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2x^2+x^2sin2x+xcos2x+x}{(xsinx+cosx)^2}dx[/TEX]

 

[silvery21]

[TEX]\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x\sqrt {\cos x - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} } dx[/TEX]

 

[ngomaithuy93]

[TEX]\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x\sqrt {\cos x - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} } dx[/TEX]

[TEX]t=cosx \Rightarrow dt=-sinxdx[/TEX]
[TEX]I=\int_0^1\sqrt{t-t^2}dt = \int_0^1\sqrt{t}\sqrt{1-t}dt[/TEX]
[TEX]u=\sqrt{t} \Rightarrow u^2=t \Rightarrow 2udu=dt[/TEX]
[TEX]\Rightarrow I=\int_0^12u\sqrt{1-u^2}du = -\int_0^1(1-u^2)^{\frac{1}{2}}d(1-u^2)=...[/TEX]

 

[kimxakiem2507]

[TEX]I=\int_1^e {\frac{{\left( {1 - x\ln {\rm{x}}} \right)\ln {\rm{x}}\sqrt[4]{{\ln {\rm{x}}}}}}{{x{e^{2x}}.\sqrt[4]{{{e^x}}}}}} d{\rm{x}}[/TEX]

[TEX] Dang\ :\ \int \ [\ f^{'}(x)+f(x)g^{'}(x)\ ]e^{g(x)}dx=f(x)e^{g(x)}+C[/TEX]

[TEX]\left{f(x)=\frac{4}{9}ln^{\frac{\9}{4}}x\\g(x)=-\frac{9}{4}x[/TEX][TEX]\Rightarrow{I=\frac{4}{9}ln^{\frac{\9}{4}}x.e^{-\frac{9}{4}x}\|_1^{e}=\frac{4}{9e^{2e}\sqr[4]{e^{e}}}[/TEX]

 

[bacho.1]

Các anh và các bạn xem giúp em

Tính tích phân
[TEX]I = \int_{0}^{2}\frac{1}{cosx^{2} +3cosx + 2}dx[/TEX]
Cám ơn mọi người !

[TEX]I = \int_{0}^{2}(\frac{1}{1+cosx}-\frac{1}{cosx+2})dx=tg\frac{x}{2}\|_0^2-J(t=tg\frac{x}{2}\Rightarrow{dat\ luon\ tg\frac{x}{2}=\sqrt3tgt)[/TEX]

 

[gaconthaiphien]

Giúp em con tích phân:

[TEX]\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{ln(1+x)^2}{x^2}dx[/TEX]

 

[bacho.1]

Bạn tham khảo lời giải của mình nhé

Giúp em con tích phân:

[TEX]\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{ln(1+x)^2}{x^2}dx[/TEX]

Đặt
[TEX]u=ln _(1+x)^{2} \Rightarrow du = \frac{2ln(1+x)dx}{x+1}[/TEX]
[TEX]\frac{1dx}{x^2} =dv \Rightarrow v = \frac{x^{-1}}{-1}[/TEX]
Áp dụng công thức tích phân từng phần thế này hai lần là ra
Bạn làm nốt nhé !

kxk :Em hiểu sai đề rồi!

[TEX]I=2\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{ln(1+x)}{x^2}dx[/TEX]

Tích phân toàn phần 1 lần là ra

 

[kimxakiem2507]

[TEX]I_1=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{cosx}dx[/TEX]


[TEX]I_2=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{cos^3x}dx[/TEX]


[TEX]I^{*}=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{cos^5x}dx[/TEX]


[TEX]I^{**}=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{cos^7x}dx[/TEX]

 

[binhhiphop]

[TEX]I_1=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{cosx}dx[/TEX]



[TEX]I^{**}=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{cos^7x}dx[/TEX]

mạn phép :d


[TEX]\int\limits_{\frac{\Pi }{6}}^0 {\frac{{1dx}}{{(\cos x)^7 }}} [/TEX]


[TEX]= \int\limits_{\frac{\Pi }{6}}^0 {\frac{{d(x + \frac{\Pi }{2})}}{{(\sin (x + \frac{\Pi }{2}))^7 }}}[/TEX]



[TEX]= \int\limits_{\frac{\Pi }{6}}^0 {\frac{{d(u)}}{{(\sin u)^7 }}}[/TEX]


[TEX] = \int\limits_{\frac{\Pi }{6}}^0 {\frac{{d(u)}}{{128(\sin \frac{u}{2}\cos \frac{u}{2})^7 }}} [/TEX]


[TEX] = \int\limits_{\frac{\Pi }{6}}^0 {\frac{{d(u)}}{{128(\tan \frac{u}{2})^7 (\cos \frac{u}{2})^{14} }}}[/TEX]

[TEX]= \frac{1}{{64}}\int\limits_{\frac{\Pi }{6}}^0 {\frac{{(1 + \tan ^2 \frac{u}{2})^6 d(\tan \frac{u}{2})}}{{(\tan \frac{u}{2})^7 }}}[/TEX]

khai triển tử theo nhị thức newton ùi chia ra là dc mừ phải không ?
chú cho cái đề ngô văn khoai 8-}

BIẾN ĐỔI SAI,ĐÁP SỐ Ở NƠI NÀO?

mình đã sửa rùi đó các bợn!

 

[kimxakiem2507]

mạn phép :d


........


[TEX]= \frac{1}{{64}}\int\limits_{\frac{\Pi }{6}}^0 {\frac{{d(\tan \frac{u}{2})}}{{(\tan \frac{u}{2})^7 (\cos \frac{u}{2})^{12} }}} [/TEX]


[TEX]= \frac{1}{{64}}\int\limits_{\frac{\Pi }{6}}^0 {\frac{{(1 + \tan ^2 \frac{u}{2})^6 d(\tan \frac{u}{2})}}{{(\tan \frac{u}{2})^7 }}}[/TEX]

khai triển tử theo nhị thức newton ùi chia ra là dc mừ phải không ?
chú cho cái đề ngô văn khoai

[TEX]* [/TEX]Đây cũng là một cách để giải quyết bài toán này nhưng có một nhược điểm là cồng kềnh khi khai triển theo nhị thức Neuton ,rất khó ra đáp số chính xác,đi thi là em mệt liền.Bài giải quá cẩu thả dẫn đến sai lệch kết quả bài toán.

[TEX]*[/TEX]Đây là một bài toán kinh điển,tạm gọi là "ngô văn khoai" cũng được nhưng nếu chịu khó nghiền ngẫm ta sẽ tìm ra cái hay của nó để vận dụng vào những chỗ khác.

[TEX]*[/TEX]Cách đổi biến về hàm hữu tỷ lại có nhược điểm là khi [TEX]n[/TEX] lớn sẽ khó thực hiện.Các em hãy tìm ra thêm cách giải hay hơn cho bài toán này nhé!

[TEX]I_1=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{cosx}dx[/TEX]


[TEX]I_3=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{cos^3x}dx[/TEX]


[TEX]I_5=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{cos^5x}dx[/TEX]


[TEX]I_7=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{cos^7x}dx[/TEX]

[TEX]I_1=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{sin^2x-1}d(-sinx)=\frac{1}{2}ln\frac{1+sinx}{1-sinx}\|_0^{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{2}ln3[/TEX]

[TEX]I_3=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{(sin^2x-1)^2}d(sinx)[/TEX][TEX]\ \ \ \ \ (t=sinx)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow{I_3=\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{1}{(t^2-1)^2}dt=\frac{1}{4}\int_0^{\frac{1}{2}}(\frac{1}{(t-1)^2}-\frac{1}{t-1}+\frac{1}{(t+1)^2}+\frac{1}{t+1})dt=[\frac{1}{4}ln\frac{1+t}{1-t}-\frac{1}{2}\frac{t}{t^2-1}]\|_0^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}ln3+\frac{1}{3}[/TEX]

[TEX]I_5=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{(sin^2x-1)^3}d(-sinx)\ \ \ \ \ \ Bat\ dau\ thay\ met\ neu\ kien\ nhan\ van\ ra ...Vay\ no\ co\ quy\ luat\ nao\ khong\ ?[/TEX]

[TEX]I_{_{2n+1}}=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{cos^{2n+1}x}dx\ \ \ \ \ \ \ (n\in{N^{*}})[/TEX]

[TEX]I_{_{2n+1}}=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{cos^{2n-1}}d(tgx)=\frac{tgx}{cos^{2n-1}x}\|_0^{\frac{\pi}{6}}-(2n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{sin^2x}{cos^{2n+1}x}dx=\frac{4^{n}}{2.3^{n}}-(2n-1)J[/TEX]

[TEX]\left{I_{_{2n+1}}+(2n-1)J=\frac{4^{n}}{2.3^{n}}\\I_{_{2n+1}}-J=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{cos^{2n-1}x}dx=I_{_{2n-1}}[/TEX][TEX]\ \ \ \ \ \Rightarrow{I_{_{2n+1}}=\frac{4^{n}}{4n.3^{n}}+ \frac{2n-1}{2n}I_{_{2n-1}}[/TEX]

[TEX]Ta\ ap\ dung\ moi\ lien\ he\ tren\ de\ giai\ chinh\ xac\ cac\ tich\ phan\ con\ lai[/TEX]

[TEX]I_3=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}I_1=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}ln3[/TEX]


[TEX]I_5=\frac{2}{9}+\frac{3}{4}I_3=\frac{17}{36}+\frac{3}{16}ln3[/TEX]


[TEX]I_7=\frac{16}{81}+\frac{5}{6}I_5=\frac{383}{648}+ \frac{5}{32}ln3[/TEX]


[TEX]I_9=\frac{16}{81}+\frac{7}{8}I_7=\frac{1235}{1728}+\frac{35}{256}ln3\ \ \ \ ...[/TEX]

 

[binhhiphop]

xin lỗi chú nếu con quá ngông
con đã sửa lỗi sai rồi ạ, nháp mà ghi cả nháp vào luôn :-"
vs lại nếu chú nhận xét thì cũng đừng edit bài của con, nếu con thấy sai thì sẽ tự sửa ạ.
mong chú thông cảm chứ lòng tự trọng con cao lắm )!
bài giải của chú rất hay cũng nói thẳng là chú làm tắt quá đâm khó hiểu :-?
vậy khi gặp lại bài này ta làm sao ? chứng minh kết quả của chú là nguyên hàm của I à
cũng đâu đơn giản

[TEX]*[/TEX] Anh trả lời cho em ở đây khỏi viết thêm bài mới nhé,anh ghi nhận ý kiến của em.

[TEX]* [/TEX]Bài em chú ý cái cận kìa!

[TEX]*[/TEX] Với những bài toán với [TEX]n[/TEX] nhỏ như [TEX]I_1,I_3[/TEX] thì đã giải bằng hữu tỷ ngon lành rồi.Khi [TEX]n[/TEX] lớn thì anh nghĩ truy hồi là phương pháp tối ưu,toàn những bước đơn giàn:giải phương trình cơ bản,thế số cơ bản,tích phân toàn phần cơ bản,nói chung là rất đơn giàn ,em không thấy đơn giản thì anh chịu

[TEX]*[/TEX]Chúng ta đã biết phương pháp truy hồi nhưng bài này truy hồi thế nào mới là vấn đề.Chương trình phổ thông không sử dụng truy hồi,kệ nó cứ coi như mình không biết gì về truy hồi đi

[TEX]*[/TEX] Cách này ta cũng làm luôn cho[TEX] \int_{a}^{b}\frac{1}{cos^{n}x}dx\ \ \ \ (n\in{N,n\ge3)[/TEX]

[TEX]*[/TEX]Đây là bài làm cụ thể cho đề thi :[TEX] I=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{cos^{9}x}dx[/TEX]

[TEX]*[/TEX] Nếu nghĩ đến truy hồi,học sinh khá (bài này sẽ dành cho HSG) bài này vô thi không quá [TEX]15[/TEX] phút (thời gian cho phép trung bình [TEX]18[/TEX] phút)

[TEX] I=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{cos^{9}x}dx[/TEX]

[TEX]Xet\ bai\ toan\ :\ I_{_{2n+1}}=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{cos^{2n+1}x}dx\ \ \ \ \ \ \ \ \ (\forall{n\in{N^{*})[/TEX]

[TEX]I_{_{2n+1}}=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{cos^{2n-1}x}d(tgx)=\frac{tgx}{cos^{2n-1}x}\|_0^{\frac{\pi}{6}}-(2n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{sinxtgx}{cos^{2n}x}dx=\frac{4^{n}}{2.3^{n}}-(2n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{sin^2x}{cos^{2n+1}x}dx=\frac{4^{n}}{2.3^{n}}-(2n-1)J[/TEX]

[TEX]\left{I_{_{2n+1}}+(2n-1)J=\frac{4^{n}}{2.3^{n}}\\I_{_{2n+1}}-J=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{cos^{2n-1}x}dx=I_{_{2n-1}}[/TEX][TEX]\ \ \ \ \ \Rightarrow{I_{_{2n+1}}=\frac{4^{n}}{4n.3^{n}}+ \frac{2n-1}{2n}I_{_{2n-1}}\ \ (1)[/TEX]

[TEX]Mat\ khac\ :\ I_1=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{cosx}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{sin^2x-1}d(-sinx)=\frac{1}{2}ln\frac{1+sinx}{1-sinx}\|_0^{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{2}ln3\ \ (2)[/TEX]


[TEX](1)(2)\Rightarrow{I_3=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}I_1= \frac{1}{3}+\frac{1}{4}ln3[/TEX]


[TEX]\Rightarrow{I_5=\frac{2}{9}+\frac{3}{4}I_3=\frac{17}{36}+\frac{3}{16}ln3[/TEX]


[TEX]\Rightarrow{I_7=\frac{16}{81}+\frac{5}{6}I_5=\frac{383}{648}+ \frac{5}{32}ln3[/TEX]


[TEX]\Rightarrow{I=I_9= \frac{16}{81}+\frac{7}{8}I_7=\frac{1235}{1728}+ \frac{35}{256}ln3\ \ [/TEX]

[TEX]*[/TEX] Chúc em học tốt!

 

[bacho.1]

Gửi anh Kimxakiem

Anh cho em hỏi
Trong khi quan sát bài giải của anh dành cho bạn binhhihop em thấy anh dùng một số công thức khá lạ lẫm , vậy phải chứng minh khi đi thi không anh vì nó không có trong Chương trình sách giáo khoa
anh xem giúp em nhé
Cám ơn Anh !

Trả lời em :

Chắc em thắc mắc chỗ : [TEX]\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{sin^2x-1}d(-sinx)[/TEX]

Chỗ này em nên đặt [TEX]t=sinx[/TEX] cho dễ giải nhưng anh ghi nhanh như thế cũng chẳng có vấn đề vì cả vì đơn giản cái kết quả của anh đạo hàm ra ngay bài toán tính nguyên hàm :hoàn toàn hợp lệ không ai dám ý kiến.

Còn chỗ tích phân toàn phần là hoàn toàn cơ bản không có gì bàn cải
Tóm lại bài giải của anh là trọn vẹn không có gì khúc mắc,còn tắt hay không là do cách xử lý nhanh hay chậm của mọi người mà thôi.Không có một cái nào ngoài sách giáo khoa cả .(truy hồi là do mình biết nó là truy hồi thôi chứ nó là gì kệ nó chứ)

ví dụ :[TEX]I=\int \sqrt{x^2+a}dx[/TEX] em không cần làm gì cả chỉ cần ghi

[TEX]I=\int d(\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a}+\frac{a}{2}ln\|x+\sqrt{x^2+a}\|)=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a}+\frac{a}{2}ln\|x+\sqrt{x^2+a}\|+C[/TEX]

Biết trước nguyên hàm của nó là một lợi thê!
Chúc em học tốt

 

[vivietnam]

tính tích phân
[TEX]I=\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{dx}{x.\sqrt{1+x^5+x^{10}}}[/TEX]

 

[kimxakiem2507]

tính tích phân
[TEX]I=\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{dx}{x.\sqrt{1+x^5+x^{10}}}[/TEX]

[TEX]I=\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{x^5}{x^6.\sqrt{1+x^5+x^{10}}}dx[/TEX]

[TEX]t=\frac{1}{x^5}\Rightarrow{I=\frac{1}{5}\int_{ \frac{1}{32}}^{32}\frac{1}{\sqrt{t^2+t+1}}dt=\frac{1}{5}\int_{ \frac{1}{32}}^{32}\frac{1}{t+\frac{1}{2}+\sqrt{t^2+t+1}}d(t+\frac{1}{2}+\sqrt{t^2+t+1})=\frac{1}{5}ln(t+\frac{1}{2}+\sqrt{t^2+t+1})\|_{\frac{1}{32}}^{32}[/TEX]

 

[keropik]

Tính tích phân
[TEX]\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{(cosx-2sinx)^2}[/TEX]
Học đạo hàm khó quá (

 

[gaconthaiphien]

Giúp em 2 con tích phân này:

[TEX]1. \int_{1}^{\sqrt{2}}\frac{x.dx}{(x+1)^2}[/TEX]

[TEX]2. \int_{0}^{1}(x.e^{2x} - \frac{x}{\sqrt{4-x^2}}).dx[/TEX]