[Toán 12] Chuyên đề: Nguyên hàm tích phân

[vivietnam]

[TEX]\int_{2}^{3}\frac{dx}{(x^2 -2).\sqrt{x^2 +3}}[/TEX]

Cách 1:
đặt [TEX]x^2+3=(x+t)^2 (t>0) \Rightarrow x=\frac{3-t^2}{2t}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]dx=\frac{-3-t^2}{2t^2}dt[/TEX]
\Rightarrow[TEX]I=\int \frac{\frac{-3-t^2}{2t^2}}{\frac{t^4-14t^2+9}{4t^2} (\frac{t^2+3}{2t})}dt=\frac{-2.d(t^2)}{t^4-14t^2+9}=\frac{-1}{\sqrt{40}}.ln|\frac{t^2-7-\sqrt{40}}{t^2-7+\sqrt{40}}|[/TEX]

Cách 2;
đặt [TEX]x^2+3=x^2t^2\Rightarrow x^2=\frac{3}{t^2-1}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]xdx=\frac{-3tdt}{(t^2-)^2}[/TEX]
chia cả 2 vế cho [TEX]x^2t[/TEX] ta có
[TEX]\frac{xdx}{\sqrt{x^2+3}}=\frac{-dt}{t^2-1}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]I=\int \frac{dt}{2(t^2-\frac{5}{2})}=\frac{1}{2.\sqrt{10}}.ln|(\frac{t-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}{\frac{t+\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}})| [/TEX]

 

[vivietnam]

tính các tích phân

[TEX]\int \frac{xdx}{(x-1)^2.e^x}[/TEX]

[TEX]\int \frac{dx}{(x^2+a^2).\sqrt{a^2-x^2}}[/TEX]

 

[keosuabeo_93]

1.[tex]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{sinx+cosx}{(2sinx+cosx)^3dx[/tex]

2.[tex]\int\frac{2}{2sinx-cosx+1}dx[/tex]

 

[vodichhocmai]

1. [tex] \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{sinx+cosx}{(2sinx+cosx)^3dx[/tex]

[TEX]\I:= \lim_{a\to 0}\int\limits_{a}^{\frac{\pi}{4} }\frac{1}{sin^2x(2+cotx)^3}dx+\int\limits_{0}^{ \frac{\pi}{4}}\frac{1}{co s^2x(2tan x+1)^3}dx[/TEX]

[TEX]\I:= -\lim_{a\to 0}\int\limits_{a}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{(2+cotx)^3}d\(cotx\)+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{(2tan x+1)^3}d\(tan x\)[/TEX]

[TEX]\I:= \lim_{a\to 0} \[\frac{1}{2\(2+cotx\)^2}|_{a}^{\frac{\pi}{4}}\]-\frac{1}{4\(2tan x+1\)^2}\|_{0}^{ \frac{\pi}{4}}=\frac{1}{2}\(\frac{1}{9}-0\)+\frac{1}{4}\(1-\frac{1}{9}\)=\frac{5}{18}[/TEX]

 

[vivietnam]

2.[tex]\int\frac{2}{2sinx-cosx+1}dx[/tex]

2
đặt [TEX]tan(\frac{x}{2})=t \Rightarrow sinx=\frac{2t}{t^2+1};cosx=\frac{1-t^2}{t^2+1}[/TEX]
và [TEX]dx=\frac{2dt}{t^2+1}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]I=\int\frac{4dt}{(t^2+1).[\frac{4t-1+t^2+t^2+1}{t^2+1}]}=\int \frac{4dt}{2t^2+4t}dt=\int \frac{2dt}{t(t+2)}=\int \frac{dt}{t}-\int\frac{dt}{t+2}=ln|\frac{t}{t+2}|[/TEX]

 

[vivietnam]

tính nguyên hàm sau
[TEX]I=\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}dx[/TEX]


[TEX]J=\sqrt{\frac{x-a}{x+a}}dx[/TEX]

 

[vivietnam]

tính nguyên hàm của bài này
[TEX]I=\int \frac{2^{3x}-1}{e^x-1}dx[/TEX]

 

[vivietnam]

tính nguyên hàm sau
[TEX]I=\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}dx[/TEX]


[TEX]J=\sqrt{\frac{x-a}{x+a}}dx[/TEX]

HD: I đặt x=a.cos2x
J đặt [TEX]x=\frac{a}{cos2x}[/TEX]
vậy là được

 

[bacho.1]

Sao Top pic chìm thế này

Mình thấy toppic này chìm quá
Góp vui mấy bài vậy
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau đây
[TEX]\int xsin{\sqrt{x}}dx[/TEX]
Đáp số luôn giúp các bạn so sánh
[TEX]6(x-2)sin{\sqrt{x}} - 2(\sqrt{x^3} + 6\sqrt{x})cos\sqrt{x} +c[/TEX]
tạm thế đã rôi up tiếp

 

[vivietnam]

Mình thấy toppic này chìm quá
Góp vui mấy bài vậy
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau đây
[TEX]\int xsin{\sqrt{x}}dx[/TEX]
Đáp số luôn giúp các bạn so sánh
[TEX]6(x-2)sin{\sqrt{x}} - 2(\sqrt{x^3} + 6\sqrt{x})cos\sqrt{x} +c[/TEX]
tạm thế đã rôi up tiếp

đặt [TEX]x=t^2 \Rightarrow dx=2tdt[/TEX]
\Rightarrow[TEX]I=2\int t^3.sintdt=-2\int t^3d(cost)=-2.t^3cost+6\int t^2.costdt=-2.t^3cost+6.\int t^2.d(sint)=-2t^3.cost+6.t^2.sint-12\int t.sint dt=-2.t^3.cost+6.t^2.sint+12\int t.d(cost)=-2t^3.cost+6t^2.sint+12.t.cost-12\int costdt=-2t^3.cost+6t^2.sint+12t.cost-12sint+C [/TEX]

 

[vivietnam]

tính nguyên hàm
[TEX]I=\int \frac{xdx}{e^x.(x-1)^2}[/TEX]
...........................................................................

[TEX]I=\int (\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2})e^{-x}dx=\int d(-\frac{1}{x-1}e^{-x})=-\frac{1}{x-1}e^{-x}+C[/TEX]

 

[bacho.1]

Cả nhà giúp đỡ

Bài này đăng ở diễn đàn luyện thi đảm bảo chẳng thấy ai giải . Bây giờ up nên đây cả nhfa giúp nhé
[TEX]\int_{}^{}e^{cosx}dx[/TEX] đề bài chỉ thế thôi mà không giải được các bạn giúp nhé

 

[vivietnam]

Bài này đăng ở diễn đàn luyện thi đảm bảo chẳng thấy ai giải . Bây giờ up nên đây cả nhfa giúp nhé
[TEX]\int_{}^{}e^{cosx}dx[/TEX] đề bài chỉ thế thôi mà không giải được các bạn giúp nhé

bài này thuộc dạng không có nguyên hàm
nếu là tích phân thì may ra dh tính được

 

[mai_s2a3_93]

[TEX]\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{sin^2x+sin2x-cos^2x}[/TEX]

 

[ngomaithuy93]

[TEX]\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{sin^2x+sin2x-cos^2x}[/TEX]

[TEX]= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{sin2x-cos2x}[/TEX]
[TEX] = \frac{1}{2\sqrt{2}}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d(2x-\frac{\pi}{4})}{sin(2x-\frac{\pi}{4})} [/TEX]
[TEX] = \frac{-1}{2\sqrt{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d[cos(2x-\frac{\pi}{4})]}{[1-cos(2x-\frac{\pi}{4})][1+cos(2x-\frac{\pi}{4})]}[/TEX]

 

[klove]

[TEX]\int_{0}^{\pi/3}\frac{4sin^4x}{1+cos^4x}dx[/TEX]
2 . [TEX]\int_{0}^{\pi/4}tan^{2n}xdx[/TEX]

 

[ngomaithuy93]

[TEX]I=\int_{0}^{\pi/3}\frac{4sin^4x}{1+cos^4x}dx[/TEX]

[TEX] I=\int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{2sin^3x}{\frac{1}{cos^3x}+cosx}{ .}\frac{2sinx}{cos^3x}dx[/TEX]
[TEX] =\int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{2tan^3x}{(1+tan^2x)^3+1+tan^2x}d(tanx)[/TEX]
[TEX] t=tanx \Rightarrow I=\int_0^{\sqrt{3}}\frac{2t^3}{(1+t^2)^3+(1+t^2)}dt[/TEX]
[TEX] u=1+t^2 \Rightarrow du=2tdt[/TEX]
[TEX] \Rightarrow I= \int_1^4 \frac{(u-1)du}{u^3+u}=\int_1^4\frac{du}{u^2+1}-\int_1^4\frac{du}{u(u^2+1)}[/TEX]
... Tiếp tục đổi biến số, ổn rồi!

 

[ngomaithuy93]

2 . [TEX]\int_{0}^{\pi/4}tan^{2n}xdx[/TEX]

[TEX]I= \int_0^{\frac{\pi}{4}}tan^{2n}xdx = \int_0^{\frac{\pi}{4}}tan^{2n-2}x(\frac{1}{cos^2x}-1)dx[/TEX]
[TEX] = \int_0^{\frac{\pi}{4}}tan^{2n-2}xd(tanx)-\int_0^{\frac{\pi}{4}}tan^{2n-4}(\frac{1}{cos^2x}-1)dx[/TEX]
[TEX] = (\frac{tan^{2n-1}x}{2n-1}+\frac{tan^{2n-3}x}{2n-3}+...+\frac{tan^{2n-k}}{2n-k}+...+\frac{tanx}{1})|_0^{\frac{\pi}{4}}[/TEX]
[TEX]= \frac{1}{\sqrt{2}}.\left (\frac{1}{2^{n-1}(2n-1)}+\frac{1}{2^{n-3}(2n-3)}+...+\frac{1}{2^{n-k}(2n-k)}+...+\frac{1}{2^0(2.0-1)}\right)[/TEX]
Hộ t nốt với!

 

[klove]

1.[TEX]\int_{0}^{1}\frac{x^2-1}{1+x^4}dx[/TEX]
2.[TEX]\int_{0}^{\pi/2}\frac{cosxsinx}{(1+sin^4x)(1+cos^4x)}dx>\pi/12[/TEX]

 

[silvery21]

Phương pháp đổi biến số . sẽ có 1 vài dấu hiệu để làm đc dạng toán này như sau




[TEX]\sqrt {{a^2} - {x^2}}[/TEX] ...............Cách chọn: Đặt [TEX]x = |a| sint[/TEX]; với [TEX]t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right][/TEX] ; hoặc [TEX]x = |a| cost[/TEX] với [TEX]t \in \left[ {0;\pi } \right\][/TEX]



[TEX]\sqrt {{x^2} - {a^2}} [/TEX]...............Cách chọn: Đặt [TEX]x = \frac{{\left| {\rm{a}} \right|}}{{{\rm{sint}}}}[/TEX]; với [TEX]t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}[/TEX]hoặc [TEX]x =\frac{{\left| a \right|}}{{cost}} [/TEX]; với [TEX]t \in \left[ {0;\pi } \right]\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2}} \right\}[/TEX]


[TEX]\frac{1}{{{a^2} + {x^2}}}[/TEX]...............Cách chọn: Đặt [TEX] x = atant[/TEX]; với [TEX]t \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)[/TEX]

[TEX]\sqrt {\frac{{a + x}}{{a - x}}} [/TEX]...............Cách chọn: Đặt [TEX]x = a cos 2 t [/TEX]



[TEX]\sqrt {\left( {x - a} \right)\left( {b - x} \right)} [/TEX]..............Cách chọn:Đặt [TEX]x = a + (b - a)sin2t[/TEX]