[Toán 12] Chuyên đề: Nguyên hàm tích phân

[vivietnam]

luyện tập với vài bài đơn giản này

tính các tích phân

[TEX]I_1=\int \frac{dx}{x.lnx.ln(lnx)}[/TEX]

[TEX]I_2=\int \sqrt{\frac{arcsinx}{1-x^2}}dx[/TEX]

[TEX]I_3=\int x.(2x+5)^{10}dx[/TEX]

[TEX]I_4=\int \frac{ln2x}{ln5x}dx[/TEX]

[TEX]I_5=\int \frac{x^5}{(1+x^3)(8+x^3)}dx[/TEX]

[TEX]I_6=\int \frac{x^7+x^3}{x^{12}-2x^4+1}dx[/TEX]

[TEX]I_7=\int \frac{dx}{x.(x^5+1)^2}dx[/TEX]

[TEX]I_8=\int \frac{x^4-1}{x(x^4-5)(x^5-5x+1)}dx[/TEX]

[TEX]I_9=\int \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt[3]{x}+1}dx[/TEX]

[TEX]I_{10}=\int \sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}dx[/TEX]

 

[vivietnam]

gửi các anh kimxakiem2507,vodichhocmai,....và những ai biết

em có đọc vài pic viết về bài toán tính nguyên hàm của

[TEX]I=\int \frac{dx}{x^8+1}[/TEX]


em muốn hỏi là cách tính nguyên hàm này bằng 3 hoặc 5 dòng kiểu ji ạ
các anh có thể đưa các giải lên được không ạ
em cảm ơn nhiều

 

[vodichhocmai]

gửi các anh kimxakiem2507,vodichhocmai,....và những ai biết
em có đọc vài pic viết về bài toán tính nguyên hàm của
[TEX]I=\int \frac{dx}{x^8+1}[/TEX]
em muốn hỏi là cách tính nguyên hàm này bằng 3 hoặc 5 dòng kiểu ji ạ
các anh có thể đưa các giải lên được không ạ
em cảm ơn nhiều

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=19456 [TEX]\ \[/TEX]

 

[bigbang195]

luyện tập với vài bài đơn giản này

tính các tích phân

[TEX]I_1=\int \frac{dx}{x.lnx.ln(lnx)}[/TEX]

[TEX]I_2=\int \sqrt{\frac{arcsinx}{1-x^2}}dx[/TEX]

[TEX]I_3=\int x.(2x+5)^{10}dx[/TEX]

[TEX]I_4=\int \frac{ln2x}{ln5x}dx[/TEX]

http://mathworld.wolfram.com/LogarithmicIntegral.html

Hình như cái này là Logarit tích hợp phải ko anh

[TEX]I_5=\int \frac{x^5}{(1+x^3)(8+x^3)}dx[/TEX]

[TEX]I_6=\int \frac{x^7+x^3}{x^{12}-2x^4+1}dx[/TEX]

[TEX]I_7=\int \frac{dx}{x.(x^5+1)^2}dx[/TEX]

[TEX]I_8=\int \frac{x^4-1}{x(x^4-5)(x^5-5x+1)}dx[/TEX]

[TEX]I_9=\int \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt[3]{x}+1}dx[/TEX]

[TEX]I_{10}=\int \sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}dx[/TEX]

 

[vivietnam]

tiếp
[TEX]I_1=\int_{0}^{\sqrt{7}} \frac{x^3}{\sqrt[3]{1+x^2}}dx[/TEX]

[TEX]I_2=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{cosx}{7+cos2x}dx[/TEX]

[TEX]I_3=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sin^6x}{sin^6x+cos^6x}dx[/TEX]

[TEX]I_4=\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin^6x}{(sin^6x+cos^6x).(2010^x+1)}dx[/TEX]

[TEX]I_5=\int_{0}^{1} \frac{ln(1+x)}{1+x^2}dx[/TEX]

nhớ trình bày cụ thể

tập từ từ sẽ quen với cách gõ thôi

 

[vivietnam]

[TEX]I_2=\int \sqrt{\frac{arcsinx}{1-x^2}}dx[/TEX]

[TEX]I_2=\int \sqrt{arcsinx}.\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\int \sqrt{arcsinx}.d(arcsinx)=\frac{(arcsinx)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}[/TEX]

 

[vivietnam]

câu này
[TEX]I=\lim_{n \to+\infty }\sum_{k=1}^n \frac{2^{\frac{k}{n}}}{n+\frac{1}{k}}[/TEX]

 

[vivietnam]

:khi (61):[TEX]\huge\blue \int_{4}^{5}\frac{9x^3-8x^2-33x+15}{\sqrt{x^2-4x+3}}dx[/TEX]:khi (103):

[TEX]I=\int (9x.\sqrt{x^2-4x+3}+28.\sqrt{x^2-4x+3}+26.\frac{d(x^2-4x+3)}{\sqrt{x^2-4x+3}}+\frac{35}{\sqrt{x^2-4x+3}})dx=\int \frac{9}{2}.\sqrt{x^2-4x+3}.d(x^2-4x+3)+(46.\sqrt{x^2-4x+3}+\frac{35}{\sqrt{(x-2)^2-1}})dx+13.\sqrt{x^2-4x+3}=3.(x^2-4x+3)^{\frac{3}{2}}+13.\sqrt{x^2-4x+3}+46.ln|x-2+\sqrt{x^2-4x+3}|+\int \frac{35}{\sqrt{(x-2)^2-1}}dx=3.(x^2-4x+3)^{\frac{3}{2}}+13.\sqrt{x^2-4x+3}+46.ln|x-2+\sqrt{x^2-4x+3}|+35.ln|tan(\frac{\frac{\pi}{2}+arcsin{\frac{a}{x}}}{2})|[/TEX]

 

[vodichhocmai]

tiếp
[TEX]I_1=\int_{0}^{\sqrt{7}} \frac{x^3}{\sqrt[3]{1+x^2}}dx[/TEX]

[TEX]I_2=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{cosx}{7+cos2x \ }dx[/TEX]

[TEX]I_3=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sin^6x}{sin^6x+cos^6x}dx[/TEX]

[TEX]I_4=\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin^6x}{(sin^6x+cos^6x).(2010^x+1)}dx[/TEX]

[TEX]I_5=\int_{0}^{1} \frac{ln(1+x)}{1+x^2}dx[/TEX]

nhớ trình bày cụ thể

tập từ từ sẽ quen với cách gõ thôi

Chúng tôi có thể đưa hướng dẫn các bạn mới học tích phân như sau ( mới coi bài giải )

[TEX]1\)\ \ t=x^2[/TEX]
[TEX]2\)\ \ t=sin x[/TEX]
[TEX]3\)\ x=\frac{\pi}{2}-t[/TEX]
[TEX]4\)\ \ x=-t[/TEX]
[TEX]5\)\ \ x=tant[/TEX] tiếp tục đặt [TEX]t=\frac{\pi}{4}-u[/TEX]

 

[kimxakiem2507]

[TEX]\ \ \ \ \ I^{*}=\int_1^3\frac{\sqrt{x}}{2+\sqrt{4x-x^2}}dx\ \ \ \ \ \ \ \ [/TEX]

 

[vivietnam]

[TEX]I=\int_{0}^{1} \frac{x^2+1}{x^4+3x^2+1}dx[/TEX]





[TEX]J=\int \frac{cosx}{\sqrt{cosx+2}}dx[/TEX]

 

[vivietnam]

bài này nữa đây
[TEX]I=\int \frac{x^3}{\sqrt{1+2x-x^2}}dx[/TEX]

HD:
bài này dùng phép khử ơle
đặt [TEX]\sqrt{1+2x-x^2}=tx+1\Rightarrow 2x-x^2=2tx+t^2.x^2\Rightarrow 2-x=2t+t^2x[/TEX]
\Rightarrow[TEX] x=\frac{2-2t}{t^2+1}[/TEX]

 

[vivietnam]

[TEX]\ \ \ \ \ I^{*}=\int_1^3\frac{\sqrt{x}}{2+\sqrt{4x-x^2}}dx\ \ \ \ \ \ \ \ [/TEX]

HD
x-2=2cost [TEX](t \in (-\pi;0))[/TEX]
ta biến đổi về
[TEX]I=\int \frac{\sqrt{2}(cos(\frac{t}{2})sintdt}{2.(1+sint)}=\int (\frac{\sqrt{2}dt}{2(1+sint)}-\frac{\sqrt{2}.cos{\frac{t}{2}}}{2.(1+sint)})dt=I_1-I_2[/TEX]
[TEX]I_1 [/TEX] dễ dàng tính được
[TEX]I_2=\int \frac{1}{4}.\frac{sin(\frac{t}{2}-\frac{\pi}{4})-sin(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{4})}{sin(\frac{t}{2}-\frac{\pi}{4}).sin(\frac{\pi}{2}+\frac{t}{2})}[/TEX]
đưa về giống dạng [TEX]I_1[/TEX]

[TEX]I^{*}=\int_1^3\frac{\sqrt{x}}{2+\sqrt{4x-x^2}}dx=2 \int_1^3\frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+\sqrt{4-x})^2}dx[/TEX]

[TEX]t=4-x\Rightarrow{I^{*}=2 \int_1^3\frac{\sqrt{4-t}}{(\sqrt{t}+\sqrt{4-t})^2}dt=2 \int_1^3\frac{\sqrt{4-x}}{(\sqrt{x}+\sqrt{4-x})^2}dx[/TEX]

[TEX]\Rightarrow{I^{*}+\frac{I^{*}}{2}=\int_1^3\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{4-x}}dx[/TEX]

 

[kimxakiem2507]

[TEX]f(x)=\int_{\frac{1}{e}}^{tgx}\frac{t^9}{1+t^2}dt+ \int_1^{cotgx}\frac{1}{t^9(1+t^2)}dt[/TEX][TEX]\ \ \ \ \ \ \ \ \ x\neq{k\frac{\pi}{2} [/TEX][TEX]\ \ \ \ \ \ \( k\in{Z)[/TEX]

[TEX]\left{f(x)=\int_{v(x)}^{u(x)}g(t)dt\\ \int g(t)dt=G(t)+C\\ g(t):\ \ lien\ tuc \\ {u(x),v(x): kha\ vi}[/TEX][TEX]\Rightarrow{f(x)=G(t)\|_{v(x)}^{u(x)}=G(u(x))-G(v(x))[/TEX]
[TEX]\Rightarrow{f^'(x)=g(u(x)).u^'(x)[/TEX][TEX]{-g(v(x)).v^'(x)[/TEX]

[TEX]f^'(x)=\frac{tg^9x}{1+tg^2x}.\frac{1}{cos^2x}-\frac{1}{cotg^9x(1+cotg^2x)}.\frac{1}{sin^2x}=tg^9x-\frac{1}{cotg^9x}=0\ \ \ \ \forall{x\neq{k\frac{\pi}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow{f(x)=C\ \ \ \ \ \forall{x\neq{k\frac{\pi}{2}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow{f(x)=f(\frac{\pi}{4})=\int_{\frac{1}{e}}^{1} \frac{t^9}{1+t^2}dt=\int_{\frac{1}{e}}^{1} (t^7-t^5+t^3-t+\frac{t}{1+t^2})dt[/TEX]

 

[vivietnam]

cho[TEX] f(x)+f(-x)=\sqrt{2-2.cos2x}[/TEX]

tính [TEX]I=\int_{\frac{-3\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} f(x)dx[/TEX]

[TEX]HD:t=-x[/TEX]

 

[vivietnam]

[TEX] I_1=\int \frac{x^{\frac{n}{2}}}{\sqrt{1+x^{n+2}}}dx [/TEX]

 

[vivietnam]

với

và

liên tục và xác định trên

thì:

câu này sau khi nghiên cứu đáp án
đưa lên cho mọi người cùng xem

xét [TEX](t.f(x)+g(x))^2\geq0\Rightarrow t^2.f(x)^2+2.t.f(x)g(x)+g(x)^2\geq0[/TEX]
vì f(x);g(x) liên tục và xác định nên
khả tích trên [a;b]
\Rightarrow [TEX]y= t^2\int_{a}^{b}f(x)^2dx+2t.\int_{a}^{b}f(x).g(x)dx+\int_{a}^{b} g(x)^2dx\geq0 [/TEX]
coi t là ẩn
theo định lí về dấu của tam thức bậc 2
ta có y\geq0 mà
[TEX]\int_{a}^{b} f(x)^2dx\geq0[/TEX]
\Rightarrow[tex]\large\Delta'\leq0[/tex]
\Leftrightarrow[TEX](\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx)^2\leq\int_{a}^{b}f(x)^2dx.\int_{a}^{b}g(x)^2dx[/TEX]

 

[vivietnam]

tính tích phân
[TEX]I=\int_{0}^{20.\pi} \frac{1+|cosx|}{|sinx|+|cosx|+2}dx[/TEX]

 

[ngomaithuy93]

[TEX] \int_{}^{}e^{x^2+1}xdx=\frac{1}{2}\int_{}^{}e^{x^2+1}d(x^2+1)=\frac{1}{2}e^{x^2+1}+c[/TEX]
Thế này đúng/sai ạ?
t mới học tích phân!

 

[vivietnam]

tính tích phân

[TEX]I_1=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sin^2x}{2cosx+3sinx}dx[/TEX]

[TEX]I_2=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cos^2x}{2cosx+3sinx}dx[/TEX]