Làm cách đó cũng được , tuy phức tạp hơn thôi . Bài khác
Cho [TEX]a,b,c,d,e \in [0;1] [/TEX]. Tìm GTLN của biểu thức
[TEX]P = \frac{a}{1+bcde} +\frac{b}{1+acde}+\frac{c}{1+abde}+\frac{d}{1+abce}+\frac{e}{1+abcd}[/TEX]
Đặt
[TEX]P(a,b,c,d,e) = \frac{a}{1+bcde} +\frac{b}{1+acde}+\frac{c}{1+abde}+\frac{d}{1+abce}+\frac{e}{1+abcd}[/TEX]
[TEX]=a+b+c+d+e- abcde\left(\sum \frac{1}{1+bcde}\right)[/TEX]
Ta sẽ CM: [TEX]P(a,b,c,d,e) \le max \{P(0,b,c,d,e); P(1,b,c,d,e)\}[/TEX]
Thật vậy:
* Nếu: [TEX]bcde\sum^{b,c,d,e,a} \frac{1}{1+bcde} \ge 1[/TEX] thì:
[TEX]P(0,b,c,d,e)-P(a,b,c,d,e)=-a+abcde\left(\sum^{b,c,d,e,a} \frac{1}{1+bcde}\right)=a\left(bcde\left(\sum^{b,c,d,e,a} \frac{1}{1+bcde}\right)-1\right) \ge 0[/TEX]
* Nếu: [TEX]bcde\sum^{b,c,d,e,a} \frac{1}{1+bcde} \le 1[/TEX] thì:
[TEX]P(1,b,c,d,e)-P(a,b,c,d,e)=1-a+bcde\left(a.\sum^{b,c,d,e,a}\frac{1}{1+bcde}-\frac{1}{1+bcde}-\sum^{c,d,e,b}\frac{1}{1+cde}\right)[/TEX]
[TEX]=1-a+bcde\left(\frac{a-1}{1+bcde}+\sum^{c,d,e,b}\frac{a-1}{(1+cde)(1+acde)}\right)[/TEX]
[TEX]=(1-a)\left(1-bcde\left(\frac{1}{1+bcde}+\sum^{c,d,e,b}\frac{1}{(1+cde)(1+acde)}\right)\right) \ge (1-a)\left(1-bcde\left(\sum^{b,c,d,e,a} \frac{1}{1+bcde}\right)\right) \ge 0[/TEX]
Cứ làm liên tiếp như vậy cuối cùng ta được: [TEX]P(a,b,c,d,e) \le max\{P(0,1,1,1,1); P(1,1,1,1,1);P(0,1,0,1,1).....\}[/TEX] (đại loại là 0 với 1 =)))
Bằng cách thử trực tiếp ta thu được [TEX]max\{P(0,1,1,1,1); P(1,1,1,1,1);P(0,1,0,1,1).....\}=P(0,1,1,1,1)=4[/TEX]
Vậy [TEX]\max P = 4 [/TEX] khi 1 trong 5 số =0 và các số còn lại =1
p/s::| cách này hơi khủng =))
)
