Em xin chém câu dễ nhứt bằng cách cù nhầy nhứt 
)
ĐK: $x \ge 0$
Vì $a+b=c+d$ nên $a^2+b^2+2ab=c^2+d^2+2cd$
Ta có:
$$a^2+b^2 + 2.\sqrt{(x+a^2).(x+b^2)} = c^2+d^2 + 2.\sqrt{(x+c^2).(x+d^2)}$$
$$\Leftrightarrow \sqrt{(x+a^2).(x+b^2)} + cd = \sqrt{(x+c^2).(x+d^2)} + ab$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{x.(a^2+b^2-c^2-d^2)+(ab-cd).(ab+cd)}{\sqrt{(x+a^2).(x+b^2)} + \sqrt{(x+c^2).(x+d^2)} } = ab - cd$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{2.x(cd-ab) + (ab-cd).(ab+cd) }{\sqrt{(x+a^2).(x+b^2)} + \sqrt{(x+c^2).(x+d^2)}} = ab - cd $$
Với $a,b,c,d$ thỏa mãn $ab=cd$ thì phương trình có vô số nghiệm
Với $ab$ khác $cd$, ta có:
$$ab + cd - 2x = \sqrt{(x+a^2).(x+b^2)} + \sqrt{(x+c^2).(x+d^2)}$$
$$\Leftrightarrow 2x^2 - 2x.(a+b)^2 + abcd = \sqrt{(x+a^2).(x+b^2).(x+c^2).(x+d^2)}$$
Bình phương hai vế, ta đưa về được một phương trình bậc 3, giải theo công thức nghiệm.
( Gần như là thế, ko đủ kiên nhẫn để làm cho đến nơi, đến chốn )
Bosjeunhan.
Cách giải của tại hạ ! Hơi khủng bố tý và không đảm bảo toàn vẹn ! Chống chỉ định vs các thành phần có vấn đề về thần kinh , mắt !
Ta có : a + b = c + d
[TEX]PT \Leftrightarrow \sqrt{x + a^2} - a + \sqrt{x + b^2} - b = \sqrt{x + c^2} - c + \sqrt{x + d^2} - d[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{x + a^2} + a} + \frac{x}{\sqrt{x + b^2} + b} = \frac{x}{\sqrt{x + c^2} + c} + \sqrt{x}{\sqrt{x + d^2} + d} [/TEX]
xin không xét các TH a = c ; a = d
Trong TH a # c ; a # d
Tất nhiên x = 0 sẽ là 1 nghiệm ko thể thiếu
KHi x # 0
Lúc đó
[TEX]\frac{1}{ \sqrt{x + a^2} + a} + \frac{1}{\sqrt{x + b^2} + b} = \frac{1}{\sqrt{x + c^2} + c} + \frac{1}{\sqrt{x + d^2} + d}[/TEX]
[TEX]\frac{\sqrt{x + a^2} + a + \sqrt{x + b^2} + b}{(\sqrt{x + a^2} + a)(\sqrt{x + b^2} + b)} = \frac{\sqrt{x + c^2} + c +\sqrt{x + d^2} + d}{(\sqrt{x + c^2} + c)(\sqrt{x + d^2} + d)}[/TEX]
Do [TEX] \sqrt{x + a^2} + a +\sqrt{x + b^2} + b = \sqrt{x + c^2} + c +\sqrt{x + d^2} + d[/TEX] (*)
Nên [TEX](\sqrt{x + a^2} + a)(\sqrt{x + b^2} + b) = (\sqrt{x + c^2} + c)(\sqrt{x + d^2}+ d)[/TEX] (*)(*)
Từ (*) và (*)(*) thấy rằng
Nếu [TEX]\sqrt{x + a^2} + a = x_1[/TEX] ; [TEX]\sqrt{x + b^2} + b = x_2[/TEX]; ; [TEX]\sqrt{x + c^2} + c = x_3[/TEX] ; [TEX]\sqrt{x + d^2}+ d = x_4[/TEX] là các nghiệm của 1 PT bậc 2 thì ta thấy rằng
[TEX]x_1.x_2 = x_3.x_4 = P[/TEX]
[TEX]x_1 + x_2 = x_3 + x_4 = S[/TEX]
KHi đó x_1 ; x_2 là nghiệm PT [TEX]t^2 - St + P = 0[/TEX]
Đồng thời x_3 và x_4 cũng là nghiệm PT [TEX]t^2 - St + P = 0[/TEX]
Do PT bậc 2 [TEX]t^2 - St + P = 0[/TEX] nhiều nhất có 2 nghiệm
Vậy nên
[TEX]x_1 = x_3[/TEX] hoặc [TEX]x_1 = x_4[/TEX]
Khi đó
[TEX]\left[\begin{\sqrt{x + a^2} + a = \sqrt{x + c^2} + c}\\{\sqrt{x + a^2} + a = \sqrt{x + d^2}+ d } [/TEX]
Giờ chỉ cần đánh : giờ chỉ cần bình xét là đc !
