1) Cho hình vuông ABCD có cạnh AB nằm trên đường thẳng d: y = x + 8; hai đỉnh C, D nằm trên parabol (P): y = x^2. Tính diện tích hình vuông.
2) Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E. Đường phân giác trong của góc BAE và góc EAD lần lượt cắt BC và CD tại M và N. C/m: MN vuông góc với AE
3) Cho tam giác ABC cố định. MNPQ là hình chữ nhật thay đổi có M, N thuộc cạnh BC; P thuộc cạnh CA và Q thuộc cạnh AB. Tìm tập hợp các hình chữ nhật MNPQ.
4) Cho tam giác đều ABC. Trên các cạnh AB và BC, lần lượt lấy các điểm M và N thỏa mãn: AB = 3 AM, BC = 3 BN, AN cắt CM tại I. Chứng minh rằng BI vuông góc với CM
Đường thẳng chứa cạnh AB cắt trục tung tại điểm có tung độ 8
Đường thẳng chứa cạnh CD song song với đường thẳng (AB) và
cắt trục tung tại điểm có tung độ m
(AB): y = x + 8
(CD): y = x + m
Ta có tanα là hệ số góc của đường thẳng (AB) và (CD),
tang = 1
C và D là giao điểm của (CD) và (P).
(CD):y = x + m
(P) : y = [TEX]x^2[/TEX]
Hoành độ của C và D là nghiệm x1, x2 của phương trình
[TEX]x^2 - x - m = 0[/TEX]
Bình phương khoảng cách giữa C và D là
[TEX]CD^2[/TEX] = [TEX](x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2[/TEX]
. . . .= [TEX](x1 - x2)^2 + (x1^2 - x2^2)^2[/TEX]
. . . .= [TEX](x1 - x2)^2 + (x1 - x2)^2(x1 + x2)^2[/TEX]
. . . .= [TEX](x1 - x2)^2[1 + (x1 + x2)^2][/TEX]
Do đó
[TEX]CD^2[/TEX] = (1 + 4m)(1 + 1) = 2(4m + 1)
ABCD là hình vuông nên
[TEX]AD^2[/TEX] = [TEX]CD^2[/TEX]
[TEX]\frac{(m - 8)^2}{2}[/TEX] = 2(4m + 1)
[TEX](m - 8)^2[/TEX] = 4(4m + 1)
[TEX]m^2[/TEX] - 16m + 64 = 16m + 4
[TEX]m^2[/TEX] - 32m + 60 = 0
(m - 2)(m - 30) = 0
m = 2 hay m = 30
Diện tích của hình vuông ABCD là S = [TEX]CD^2[/TEX] = 4(4m + 1)
S = 4(4×2 + 1) = 36 hoặc S = 4(4×30 + 1) = 484
