[Toán 10] Tổng hợp

[trungvn10k]

1.họ và tên : nguyễn thành trung
2.lớp :10a1 THPT Ứng Hoà A Hà Nội
3.địa chỉ : Tảo Dương Văn , Ứng Hoà Hà Nộ
4.kinh No : ít
5.email: hbttrung@yahoo.com
6. Cam kết thực hiện tốt quyền và nhiệm vụ của mình.

hn3 : Em bị ban nik trong thời gian thi tuyển , vậy theo luật , anh ko gởi đề thi tuyển đến em được . Hẹn em lần khác có dịp nhé :-h

 

[asnl1234]

CM số hữu tỉ

CMR : Số 0,1741741... là số hữu tỉ tạo bởi phân số m/n với m,n thuộc Z .

Mọi người giúp e bài đó với ạ !

 

[hn3]

Chỉ biết : $0,174174174....=0,(174)=\frac{174}{999}=\frac{58}{333}$ thôi chứ chứng minh nó thì chứng minh như nào (~~)

 

[chomsaobacdau]

phuong trinh kho ma khong kho

chung minh
1^3 + 2^3 + 3^3 +...+ N^3 = {[N(N+1)]^2}/4 voi moi N thuoc N*

 

[nguyenbahiep1]

chung minh
1^3 + 2^3 + 3^3 +...+ N^3 = {[N(N+1)]^2}/4 voi moi N thuoc N*

[TEX]1^3 + 2^3 + 3^3 +...+ n^3 = \frac{[n.(n+1)]^2}{4}[/TEX]

dùng quy nạp toán học là xong nhé bạn

[TEX]n = 1 , : 1^3 = \frac{[1.(1+1)]^2}{4} = 1 [/TEX]

giả sử đúng với n = k tức là ta có

[TEX]1^3 + 2^3 + 3^3 +...+ k^3 = \frac{[k.(k+1)]^2}{4}[/TEX]

ta cần chứng minh biểu thức trên đúng với n = k + 1 tức là cần chứng minh

[TEX]1^3 + 2^3 + 3^3 +...+ k^3 + (k+1)^3= \frac{[(k+1).(k+2)]^2}{4}[/TEX]

thật vậy ta có

[TEX]1^3 + 2^3 + 3^3 +...+ k^3 + (k+1)^3 = \frac{[k.(k+1)]^2}{4} + (k+1)^3 \\ \frac{k^2.(k+1)^2}{4} + (k+1)^2.(k+1) = (k+1)^2.(\frac{k^2}{4}+ k+1) = \frac{(k+1)^2.(k+2)^2}{4} = \frac{[(k+1).(k+2)]^2}{4}[/TEX]

vậy suy ra điều phải chứng minh

 

[hthtb22]

Sử dụng kiến thức
1. 2 tam giác ABC và PQR có cùng trọng tâm khi và chỉ khi $\vec{AP}+\vec{BQ}+\vec{CR}=\vec{0}$
2. Sử dụng bài toán tổng quát sau:

 

[hn3]

Thông báo :


Khoảng 9h00 sáng ngày 20/09/2012 , anh đã gởi đề thi tuyển Mod box Toán 10 vào hộp tin nhắn riêng của các bạn đăng kí ở danh sách đã nêu .

hn3 : Do nhân lực của Box Toán 10 giảm vài Mod từ tháng 10/2012 (xin nghỉ) nên Box Toán 10 sẽ tuyển 2 - 3 Mod tùy thuộc kết quả thi của các em .

Đến : 12h20 ngày 23/09/2012 : Anh đã nhận được bài của :

- vy000 : 1+2+3+4+5+6+7+8+9

- noinhobinhyen : 1+2+3+5+7+8+9


Dài (tổng số 9 bài) nhưng không quá khó nếu chú ý ^^

Cập nhật thường xuyên​

 

[hn3]

Thông báo :


Thời hạn nộp bài thi tuyển mod box toán 10 sẽ giảm từ 24h00 ngày mai 24/09/2012 xuống là 12h00 ngày mai 24/09/2012 .


Lí do :

- Ngoài vy000 và noinhobinhyen nộp bài thi thì những bạn khác không thấy nộp , dù là một bài .

- Đảm bảo về thời gian việc công khai đề thi , đáp án , thang điểm và bài thi của mem cũng như việc báo kết quả để set mod cho mem .

- Đảm bảo sự kiện Event cũng như các hoạt động khác của box toán 10 trở về như trước trong thời gian ngắn nhất .

 

[hn3]

Đề thi, đáp án, bài thi tuyển mod toán 10

ĐỀ THI TUYỂN MOD BOX TOÁN 10


Bài 1 (1 điểm) : Tìm tính chất đặc trưng của các tập hợp :

a) A={-4;-1;2;3}

b) B={[TEX]\frac{1}{17};\frac{1}{65};\frac{1}{257}[/TEX]}


Bài 2 (1 điểm) : Giải phương trình :

[TEX]x^2+2\sqrt{2x+1}-6x+2=0[/TEX]


Bài 3 (1 điểm) : Giải hệ phương trình :

[TEX]\left{\begin{2x^3-6y+2xy^2=3y^3-4x+3x^2y}\\{\sqrt{(4x+3y)y}=9y^2-6}[/TEX]


Bài 4 (1 điểm) : Cho các số thực x,y,z thỏa mãn :

[TEX]\left{\begin{x^2+z^2=1}\\{y^2+2y(x+z)=6}[/TEX]

Tìm giá trị lớn nhất của :

[TEX]M=y(z-x)[/TEX]


Bài 5 (1 điểm) : Cho a,b,c dương thỏa mãn : a+b+c=3 . Tìm giá trị lớn nhất của :

[TEX]N=\frac{ab}{c+3}+\frac{bc}{a+3}+\frac{ca}{b+3}[/TEX]


Bài 6 (1 điểm) : Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng điều kiện để trên cạnh BC tồn tại một điểm D sao cho AD=BC là :

[TEX]sinA \geq sinB.sinC[/TEX]


Bài 7 (1 điểm) : Cho tam giác ABC với độ dài các cạnh là a,b,c và diện tích là S . Chứng minh rằng :

[TEX]S \leq \frac{1}{16}(3a^2+2b^2+2c^2)[/TEX]


Bài 8 (1 điểm) : Cho hình bình hành ABCD . Chứng minh rằng với M tùy ý , ta luôn có :

[TEX](MA^2-MB^2)+(MC^2-MD^2)=DA^2-DB^2+DC^2[/TEX]


Bài 9 (2 điểm) : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC . Cho điểm B(1;2) và đường thẳng MN có phương trình : 2x+y-3=0 . Tìm tọa độ điểm C ?


Hết !


Đáp án , thang điểm và bài thi của mem , hn3 sẽ công bố sau ^^


Các bạn trẻ có thể giải bài ở topic này , coi như góp vui :khi (56):

 

[vy000]

Cho e làm một câu dễ nhất này(làm bài dễ thôi ạ,khai trương ấy mà^^)

Câu 1 ý b(Câu a để phần các bạn) ):

Phàn tử thứ nhất:$\dfrac1{17}=\dfrac1{2^{2(1+1)}+1}$

Phần tử thứ hai : $\dfrac1{65}=\dfrac1{2^{2.(2+1)}+1}$

Phần tử thứ ba: $\dfrac1{257}=\dfrac1{2^{2.(3+1)}+1}$

Đặc trưng:Với $n\in \mathbb{N^*}$ Phần tử thứ n=$\dfrac1{2^{2(n+1)}+1}$

 

[hn3]

Bài 1

Ko ai chém ^^ Khóa topic và công bố dần dần nhé ^^


Đề bài :

Bài 1 (1 điểm) : Tìm tính chất đặc trưng của các tập hợp :

a) A={-4;-1;2;3}

b) B={[TEX]\frac{1}{17};\frac{1}{65};\frac{1}{257}[/TEX]}


Đáp án :

a) Ta có :

$(x+4)(x+1)(x-2)(x-3)=0$

$<=> (x^2+5x+4)(x^2-5x+6)=0$ (0,25 điểm)

$<=> x^4-15x^2+10x+24=0$

Vậy : A={$x^4-15x^2+10x+24=0|x \in R$} (0,25 điểm)

b) Ta có :

[TEX]\frac{1}{17}=\frac{1}{16+1}=\frac{1}{2^4+1}[/TEX]

[TEX]\frac{1}{65}=\frac{1}{64+1}=\frac{1}{2^6+1}[/TEX]

[TEX]\frac{1}{257}=\frac{1}{256+1}=\frac{1}{2^8+1}[/TEX] (0,25 điểm)

Vậy : B={[TEX]\frac{1}{2^{2n}+1};2 \leq n \leq 4;n \in N[/TEX]}

Hoặc B={[TEX]\frac{1}{2^{n+1}+1};n=2k+1;1 \leq k \leq 3;k \in N[/TEX]} (0,25 điểm)


Viết kiểu khác nhưng đúng vẫn được điểm .



Bài thi của vy000 :

a) A={-4;-1;2;3}

Phần tử thứ nhất: $-4 = -\dfrac13.1^3+2.1^2-\dfrac23.1-5$

Phần tử thứ hai: $-1 = -\dfrac13.2^3+2.2^2-\dfrac23.2-5$

Phần tử thứ ba: $2 = -\dfrac13.3^3+2.3^2-\dfrac23.3-5$

Phần tử thứ tư: $3 = -\dfrac13.4^3+2.4^2-\dfrac23.4-5$

Đặc trưng:

Phần tử thứ n $ = -\dfrac13.n^3+2.n^2-\dfrac23.n-5$ với $n \in \mathbb{N^*}$

Very good : 0,5 điểm . Thiếu giới hạn n : $n \in [1;4]$

b)B={$\dfrac1{17};\dfrac1{65};\dfrac1{257}$}

Phần tử thứ nhất: $\dfrac1{17}=\dfrac1{2^{(1+1)2}+1}$

Phàn tử thứ hai:$\dfrac1{65}=\dfrac1{2^{(2+1)2}+1}$

Phần tử thứ ba:$\dfrac1{257}=\dfrac1{2^{(3+1)2}+1}$

Đặc trưng:

Phần tử thứ $n=\dfrac1{2^{(n+1)2}+1}$

0,5 điểm . Thiếu giới hạn n : $n \in [1;3]$
Thôi điểm Bài 1 : 1 điểm ^^


Bài thi của noinhobinhyen :

chẳng biết sao nữa

A = {$x \in R : (x+1)(x-2)(x-3)(x+4) = 0$}

B = {$x \in R : (x-\frac{1}{17})(x-\frac{1}{65})(x-\frac{1}{257})=0$}

Dù sao cũng vẫn đúng phải ko anh

Khai triển nữa chứ! Thôi 1 điểm ^^

 

[cudiat97]

[Toán 10] cho tam giác ABC có AB=5,BC=7,AC=8

cho tam giác ABC có AB=5,BC=7,AC=8
1)tính vecAB.vecAC rồi \Rightarrow góc A
2)TÍNH vecCA.vecCB
3)Gọi D là diểm trên CA sao cho CD =3.TÍNH vectoCD.CB,AD.AB

 

[truongduong9083]

Gợi ý
a. Bạn áp dụng công thức: $\vec{AB}.\vec{AC} = AB.AC.cos(\vec{AB}.\vec{AC})$
Mà $cos(\vec{AB}.\vec{AC})$ thì bạn áp dụng định lí cosin trong tam giác mà tính nhé
b. Tương tự ý a
c. Bạn xét hai trường hợp
1. D nằm giữa A, C
2. D nằm ngoài A, C
cũng làm tương tự ý a, b

 

[hn3]

Bài 2

Đề bài :


Bài 2 (1 điểm) : Giải phương trình :

[TEX]x^2+2\sqrt{2x+1}-6x+2=0[/TEX]


Đáp án :

Điều kiện : $2x+1 \ge 0 <=> x \ge \frac{-1}{2}$

Phương trình tương đương với :

$2x+1-2\sqrt{2x+1}+1=x^2-4x+4$

$<=> (\sqrt{2x+1}-1)^2=(x-2)^2$ (0,25 điểm)

[TEX]<=> \ \left[\begin{\sqrt{2x+1}-1=x-2}\\{\sqrt{2x+1}-1=2-x}[/TEX]

[TEX]<=> \ \left[\begin{\sqrt{2x+1}=x-1(1)}\\{\sqrt{2x+1}=3-x(2)}[/TEX] (0,25 điểm)

Giải (1) : Điều kiện : $x \ge 1$

$(1) <=> 2x+1=(x-1)^2=x^2-2x+1$

$<=> x^2-4x=0 <=> x(x-4)=0 <=> x=4$ (thỏa mãn) (0,25 điểm)

Giải (2) : Điều kiện : $x \le 3$

$(2) <=> 2x+1=(3-x)^2=x^2-6x+9$

$<=> x^2-8x+8=0$

Được nghiệm $x=4-2\sqrt{2}$ thỏa mãn (0,25 điểm)

Đối chiếu điều kiện trước giải ta có $x=4$ và $x=4-2\sqrt{2}$ là 2 nghiệm của phương trình .


Bài thi của vy000 :

[TEX]x^2+2\sqrt{2x+1}-6x+2=0[/TEX] $ \ \ \ (x\ge -\dfrac12)$

$\Leftrightarrow x^2-4x+4=2x+1-2\sqrt{2x+1}+1$

$\Leftrightarrow (x-2)^2=(\sqrt{2x+1}-1)^2$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}\sqrt{2x+1}-1=x-2 \\x-2=1-\sqrt{2x+1}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}\sqrt{2x+1}=x-1 \ (x \ge 1)\\x-3=-\sqrt{2x+1} \ (x\le 3)\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{matrix}2x+1=x^2-2x+1\\x^2-6x+9=2x+1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x^2-4x=0\\x^2-8x+8=0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x=4 \ (x\ge 1)\\x=4-2\sqrt2 \ (x \le 3)\end{matrix}\right.$


Vậy $\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x=4 \ \\x=4-2\sqrt2 \end{matrix}\right.$

1 điểm


Bài thi của noinhobinhyen :

ĐK :
[TEX]x \geq \frac{-1}{2}[/TEX]

(PT) \Leftrightarrow $(x^2 - 6x + 8) + 2(\sqrt[]{2x+1} - \sqrt[]{9}) = 0$

\Leftrightarrow $(x-2)(x-4) + 2\frac{2x+1-9}{\sqrt[]{2x+1}+\sqrt[]{9}} = 0$

\Leftrightarrow $(x-4)[x-2 + \frac{4}{\sqrt[]{2x+1}+\sqrt[]{9}} ] = 0$

$x=4$ là một nghiệm của phương trình . $x$ khác 4 thì :

$x-2 + \frac{4}{\sqrt[]{2x-1}+\sqrt[]{9}} = 0$

\Rightarrow $(x-2)(\sqrt[]{2x-1}+3) + 4 = 0$

\Leftrightarrow $(x-2)\sqrt[]{2x-1} + 3x - 2 = 0$

\Leftrightarrow $(x-2)\sqrt[]{2x-1} = -3x+2$

- $x=2$ không là nghiệm

- Nếu $x>2$ thì VT > VP \Rightarrow pt vô nghiệm.

-Nếu [TEX]\frac{-1}{2} \leq x \leq \frac{2}{3}[/TEX] thì VT < VP \Rightarrow pt vô nghiệm.

-Nếu $\frac{2}{3}<x<2$ thì cả 2 vế cùng âm , ta bình phương 2 vế được : ?

$2x^3 - 16x^2 + 16x = 0$ ?

\Leftrightarrow $2x(x^2-8x+4) = 0$ ?

giải pt này kết hợp với $\frac{2}{3}<x<2$ ta có : $x=4-2\sqrt[]{2}$

Vậy tập nghiệm của pt là S = {$4-2\sqrt[]{2} ; 4$}

Cách này dài , vất vả , nỗ lực ghê ^^ Vài chỗ Latex và đoạn cuối bài thi chưa ổn , nhưng ra nghiệm đúng ^^
1 điểm

 

[hn3]

Bài 3

Đề bài :


Bài 3 (1 điểm) : Giải hệ phương trình :

[TEX]\left{\begin{2x^3-6y+2xy^2=3y^3-4x+3x^2y}\\{\sqrt{(4x+3y)y}=9y^2-6}[/TEX]


Đáp án :

[TEX]\left{\begin{2x^3-6y+2xy^2=3y^3-4x+3x^2y(1)}\\{\sqrt{(4x+3y)y}=9y^2-6(2)}[/TEX]

Điều kiện : $9y^2-6 \ge 0 <=> 9y^2 \ge 6 <=> y^2 \ge \frac{2}{3}$ (0,25 điểm)

Phương trình (1) tương đương với :

$(2x-3y)(x^2+y^2+2)=0$

$<=> 2x-3y=0$ (do $x^2+y^2+2 >0 \forall x,y$)

$<=> 2x=3y$ (0,25 điểm)

Đem nó thay sang (2) : $\sqrt{(6y+3y)y}=\sqrt{9y^2}=9y^2-6$

$<=> 9y^2-\sqrt{9y^2}-6=0$

$<=> (\sqrt{9y^2}-3)(\sqrt{9y^2}+2)=0$

$<=> \sqrt{9y^2}=3$ (do $\sqrt{9y^2}+2 >0$)

$<=> 9y^2=9 <=> y^2=1 <=> y=-1$ hoặc $y=1$ (0,25 điểm)

Tương ứng $x=\frac{-3}{2}$ hoặc $x=\frac{3}{2}$ (0,25 điểm)


Bài thi của vy000 :

[TEX]\left{\begin{2x^3-6y+2xy^2=3y^3-4x+3x^2y} \ (1)\\{\sqrt{(4x+3y)y}=9y^2-6} \ (2)[/TEX]

$(1) \Leftrightarrow (2x^3-3x^2y)+(2xy^2-3y^3)+(4x-6y)=0$

$\Leftrightarrow (2x-3y)(x^2+y^2+2)=0$

Do $x^2+y^2+2 \ge 2>0$

$\Rightarrow 2x=3y$

Thay vào (2) ta có:

$\sqrt{(6y+3y)y}=9y^2-6$

$\Leftrightarrow 9y^2-\sqrt{9y^2}-6=0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{9y^2}-3)(\sqrt{9y^2}+2)=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{9y^2}=3 \ \ (\text{Do $9y^2+2>0$})$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}3y=3\\3y=-3\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}y=1 \Rightarrow x=\dfra\\y=-1 \Rightarrow x=-\dfra\end{matrix}\right.$


Vậy $\left[\begin{matrix}y=1 ; x=\dfra\\y=-1 ;x=\dfra\end{matrix}\right.$

0,75 điểm


Bài thi của noinhobinhyen :

Xét phương trình thứ nhất là :

$2x^3-6y+2xy^2$ = $3y^3-4x+3x^2y$

[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $2x^3+4x+2xy^2$ = $3y^3+6y+3x^2y$

[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $2x(x^2+2+y^2) = 3y(y^2+2+x^2)$

[TEX]\Rightarrow[/TEX] $2x$ = $3y$ [TEX]\Rightarrow[/TEX] $x = \frac{3}{2}y$

thế vào phương trình thứ 2 ta có :

$\sqrt[]{(4x+3y)y} = 9y^2 - 6$

[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $\sqrt[]{9y^2} = 9y^2 - 6$

Đặt [TEX]\sqrt[]{9y^2} = a \geq 0[/TEX] $\Rightarrow a^2 - a -6 =0$

[TEX]\Rightarrow[/TEX] a = 3 [TEX]\Rightarrow[/TEX] $y^2 = 1$

[TEX]\Leftrightarrow \left[\begin{y = 1}\\{y = -1}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[\begin{x = \frac{3}{2}}\\{x = \frac{-3}{2}}[/TEX]

Vậy ...

0,75 điểm

 

[hn3]

Bài 4

Đề bài :


Bài 4 (1 điểm) : Cho các số thực x,y,z thỏa mãn :

[TEX]\left{\begin{x^2+z^2=1}\\{y^2+2y(x+z)=6 \ (1)}[/TEX]

Tìm giá trị lớn nhất của :

[TEX]M=y(z-x)[/TEX]


Đáp án :

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski :

$[y(z-x)]^2=[(-x)(y+2z)+z(2x+y)]^2$ (0,25 điểm)

$\le [(-x)^2+z^2][(y+2z)^2+(2x+y)^2]$ (0,25 điểm)

$= 2(x^2+z^2)[y^2+2y(x+z)+2(x^2+z^2)]$ (0,25 điểm)

$= 2.1.(6+2)=16$

$=> Max_M=4$ .

Dấu "=" khi $\begin{cases} x^2+z^2=1 \\ z(y+2z)+x(2x+y)=0 \\ y(z-x)=4 \end{cases}$

Giải hệ đấy có :

$x=\frac{-3}{\sqrt{10}};y=\sqrt{10};z=\frac{1}{\sqrt{10}}$

hoặc $x=\frac{3}{\sqrt{10}};y=-\sqrt{10};z=\frac{-1}{\sqrt{10}}$ (0,25 điểm)

Hoặc giải theo phương pháp thế (rút x+z rùi thế sang M) .


Bài thi của vy000 :

Có:

$4M^2=4y^2(z-x)^2=4y^2(x^2+z^2-2xz)$

$(1) \Rightarrow (6-y^2)^2=4y^2(x^2+z^2+2xz)$

$\Rightarrow 4M^2+36+y^4-12y^2=4y^2(x^2+z^2+x^2+z^2)=8y^2 \ (\text{Do $x^2+z^2=1$})$

$\Leftrightarrow y^4-20y^2+36+4M^2=0$

$\Leftrightarrow (y^2-10)^2+4M^2=64$

$\Rightarrow 4M^2 \le (y^2-10)^2+4M^2=64$

$\Leftrightarrow M^2 \le 16$

$\Rightarrow M \le 4$

Dấu đăng thức $\Leftrightarrow y=\sqrt{10};x=-\dfrac3{\sqrt{10}};z=\dfrac1{\sqrt{10}}$

Dấu "=" xảy ra như nào ^^ Thiếu điều kiện dấu "=" , nhưng bài giải độc đáo ^^
1 điểm

noinhobinhyen ko giải bài này .

 

[conghung36]

[Toán 10]Chứng minh phản chứng

lấy bất kì 8 số từ 1 đến 20, chứng minh rằng trong 8 số đó luôn tồn tại bộ 3 số là độ dài các cạnh của một tam giác.
chứng minh bằng phản chứng

 

[vy000]

Gọi 8 ố đó là $a_1<a_2<a_3<a_4<a_5<a_6<a_7<a_8$

Giả sử ko chọn được 3 số nào thỏa mãn

Do đó:

$a_3\ge a_2+a_1 \ge 3\\a_4 \ge a_2+a_3 \ge 3+2=5\\a_5 \ge a_3+a_4 \ge 5+3=8\\a_6 \ge ạ_5+a_4 \ge 8+5=13\\a_7 \ge a_6+a_5 \ge 13+8=21 \\a_8 \ge a_7+a_6 >20$

Mà $a_8 \le 20$

Điều giả sử là sai

 

[123tuananh]

[Toán 10]tìm thương 2 số biết thương bằng 1/5 số lớn và gấp 4 lần số bé

tìm thương 2 số biết thương bằng 1/5 số lớn và gấp 4 lần số bé

Chú ý tiêu đê

 

[hn3]

Bài 5

Đề bài :


Bài 5 (1 điểm) : Cho a,b,c dương thỏa mãn : a+b+c=3 . Tìm giá trị lớn nhất của :

[TEX]N=\frac{ab}{c+3}+\frac{bc}{a+3}+\frac{ca}{b+3}[/TEX]


Đáp án :

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :

[TEX]\frac{1^2}{c+a}+\frac{1^2}{c+b} \geq \frac{(1+1)^2}{(c+a)+(c+b)}=\frac{4}{c+c+a+b}= \frac{4}{c+3}[/TEX] (0,25 điểm)

[TEX]=> \ \frac{1}{c+3} \leq \frac{1}{4}(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+b})[/TEX] (0,25 điểm)

Theo đánh giá đấy có :

[TEX]\sum \frac{ab}{c+3} \leq \frac{1}{4} \sum (\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b})= \frac{a+b+c}{4}=\frac{3}{4}[/TEX] (0,25 điểm)

Vậy $max_N=\frac{3}{4}$ . Dấu "=" khi $a=b=c=1$ (0,25 điểm)


Bài thi của vy000 :

$N=\dfrac{ab}{c+3}+\dfrac{bc}{a+3}+\dfrac{ca}{b+3}$

$=abc\Big(\dfrac1{c^2+3c}+\dfrac1{a^2+3a}+\dfrac1{b^2+3b}\Big)$

$=abc\Big(\dfrac1{c^2+ab+bc+ca}+\dfrac1{b^2+ab+bc+ca}+\dfrac1{a^2+ab+bc+ca}\Big)$ (Do $a+b+c=3$) ?

$=abc\Big(\dfrac1{(c+a)(c+b)}+\dfrac1{(c+a)(a+b)}+\dfrac1{(b+a)(c+b)}\Big)$

$=abc\dfrac{a+b+b+c+c+a}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

$=abc\dfra{(a+b)(b+c)(c+a)}$ (Do $a+b+c=3$)

$\le abc\dfra{2\sqrt{ab}2\sqrt{bc}2\sqrt{ca}}$ (Do $a;b;c>0$)

$=abc\dfra{8abc}$

$=\dfrac34$

Dấu đẳng thức $\Leftrightarrow a=b=c=1$

0,75 điểm


Bài thi của noinhobinhyen :

đặt trong cái $$ em ko quen nên dùng [Tex] nhá[/QUOTE] ta có : [TEX]\frac{ab}{c+3} = \frac{ab}{(c+a)+(c+b)} \leq \frac{1}{4}(\frac{ab}{c+a} + \frac{ab}{c+b})[/TEX]

vậy : [TEX]\frac{bc}{a+3} \leq \frac{1}{4}(\frac{bc}{a+b} + \frac{bc}{a+c})[/TEX]

[TEX]\frac{ac}{b+3} \leq \frac{1}{4}(\frac{ac}{b+a} + \frac{ac}{b+c})[/TEX]

Cộng các vế tương ứng của các BĐT trên ta có :

[TEX]N \leq \frac{1}{4}(\frac{ab}{c+a} + \frac{ab}{c+b} + \frac{bc}{a+b} + \frac{bc}{a+c} + \frac{ac}{b+a} + \frac{ac}{b+c}) [/TEX]

[TEX]\Rightarrow 4N \leq \frac{ab+bc}{a+c} + \frac{ac+ab}{b+c} + \frac{ac+cb}{a+b} = a+b+c = 3[/TEX]

[TEX]\Rightarrow N \leq \frac{3}{4}[/TEX] Dấu "=" ?

0,75 điểm