Mỗi năm vào dịp 30/4, đất nước thống nhất thì có hàng nghìn các bạn học sinh giỏi lớp 10 và 11 của các trường chuyên và không chuyên của các tỉnh miền Nam, miền Trung và Tây Nguyên nô nức tham dự kì thi OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4. Kì thi OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4 được Trường Chuyên Lê Hồng Phong Thành Phố Hồ Chí Minh tổ chức đầu tiên vào năm 1994-1995 và quy mô ngày càng lớn Và môn Toán là môn thi không thể thiếu.
Hôm nay mình mạo muội lập topic này để nói về các bài toán thuộc chủ đề Toán OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4 nhằm củng cố kiến thức ,nâng cao trình độ chuyên môn, là nơi giao lưu trao dồi kiến thức và ước mơ trở thành lực lượng nòng cốt của đội tuyển Viêt Nam trong tương lai.
Mình hy vọng mọi thành viên trong diễn đàn sẽ luôn giúp đỡ xây dựng topic này lớn mạnh và trở thành 1 kho tư liệu vô cùng quý giá và bổ ích.
Mình xin chân thành cảm ơn!
Nói về thể lệ cũng không khắt khe, ở mỗi bài toán cần phải có đình hướng ( nếu có) hoăc phướng pháp giải thì càng tốt, trình bày tốt ,nếu có cách giải khác thì các bạn cứ post và tuân theo các quy định của diễn đàn.
Sau đây mình xin post 1 số bài tập:
bài 1: giải phương trình:
[TEX]x^{4n}+ \sqrt[]{x^{2n}+2004}=2004,( n \in \; N)[/TEX]
bài 2 : giải hệ phương trình :
[TEX]\left{\begin{(4x^2+1)x+(y-3)\sqrt[]{5-2y}=0}\\{4x^2+y^2+2\sqrt[]{3-4x}=7} [/TEX]
bài 3:Cho : [TEX] a_1,a_2,a_3.......a_n \in \; [0;1] [/TEX] CM:
[TEX] (1+a_1+a_2+a_3+....a_n)^2 \geq 4 (a_1^2+a_2^2+a_3^2+.......a_n^2)[/TEX]
Bài 1: đặt
[TEX]\begin{array}{l}\sqrt {{x^{2n}} + 2004} = y \ge \sqrt {2004} \\hpt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^{4n}} + y = 2004\\{y^2} - {x^{2n}} = 2004\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{x^{2n}} - y + 1} \right)\left( {{x^{2n}} + y} \right) = 0\\{x^{4n}} + y = 2004\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^{2n}} + 1\\{x^{4n}} + {x^{2n}} - 2003 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = \sqrt[2n]{{\frac{{ - 1 + \sqrt {8013} }}{2}}}\end{array}[/TEX] với n>=1
Bài 2 bài này thi đại học năm nào đó :-?
[TEX]\begin{array}{l}\sqrt {5 - 2y} = 2t \ge 0 \Leftrightarrow y = \frac{{5 - 4{t^2}}}{2}\\hpt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {4{x^2} + 1} \right)x = \left( {4{t^2} + 1} \right)t\\4{x^2} + {\left( {\frac{{5 - 4{t^2}}}{2}} \right)^2} + 2\sqrt {3 - 4x} = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = x\\4{x^2} + {\left( {\frac{{5 - 4{x^2}}}{2}} \right)^2} + 2\sqrt {3 - 4x} = 7\left( 1 \right)\end{array} \right.\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow 16{x^4} - 24{x^2} - 3 + 8\sqrt {3 - 4x} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {4{x^2} - 5} \right) + 16\frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {3 - 4x} + 1}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left[ {\left( {2x + 1} \right)\left( {4{x^2} - 5} \right) - \frac{{16}}{{\sqrt {3 - 4x} + 1}}} \right] = 0\\0 \le t = x \le \frac{3}{4} = > \left( {2x + 1} \right)\left( {4{x^2} - 5} \right) - \frac{{16}}{{\sqrt {3 - 4x} + 1}} < 0\\ = > \left( 1 \right) \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\end{array}[/TEX]
bài 3 giả sử x1=max{x1;x2;..;xn}
[TEX]\begin{array}{l}f\left( {{x_1};{x_2};...;{x_n}} \right) = {\left( {1 + {x_1} + {x_2} + .. + {x_n}} \right)^2} - 4\left( {x_1^2 + x_2^2 + .. + x_n^2} \right)\\ = {\left( {1 + {x_1}} \right)^2} - 4x_1^2 + \left[ {2\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + .. + {x_n}} \right) + {{\left( {{x_2} + .. + {x_n}} \right)}^2} - 4\left( {x_2^2 + .. + x_n^2} \right)} \right]\\ \ge - 3x_1^2 + 2{x_1} + 1 = \left( {3{x_1} + 1} \right)\left( {1 - {x_1}} \right) \ge 0\end{array}[/TEX]
dấu bằng khi có 1 số bằng 1 các số còn lại bằng 0
