L
- Status
B
beobu102
bạn không thể thêm vào A và B phần tử nào nữa, vì khi đó A\bigcap_{}^{}B sẽ khác{4;6;9}
b-(b-(b-(b-(b-
)
B
beobu102
D
duynhan1
Giải đề tuyển MOD 10 và chấm bài dự thi.
P/s: Các bạn có bài dự thi nên xem tất cả các bài làm của các bạn kia để tìm ra lỗi sai của người ta nhé, người ta sai càng nhiều thì các bạn càng có cơ hội
Các bạn bình luận bài làm trực tiếp vào đây nhé.
Tuyển Moderator Box Toán 10
. .
Dựa vào quá trình hoạt động ở box Toán 10 và bài làm đề kiểm tra dưới đây, các bạn hãy bầu chọn những người xứng đáng làm Moderator box Toán 10 nhé!. .
P/s: Các bạn có bài dự thi nên xem tất cả các bài làm của các bạn kia để tìm ra lỗi sai của người ta nhé, người ta sai càng nhiều thì các bạn càng có cơ hội
Các bạn bình luận bài làm trực tiếp vào đây nhé.
Last edited by a moderator:
D
duynhan1
Bài làm của bạn tuyn.
Bài làm
Bài 1:
ĐK: x \geq -2
0,25
[TEX]BPT \Leftrightarrow \sqrt{x+7}\geq \sqrt{x+2}+1[/TEX]
0,25
[TEX]x+7 \geq x+3+2\sqrt{x+2} [/tex]
[tex]\red \Leftrightarrow \sqrt{x+2} \leq 1 \Leftrightarrow x \leq -1[/TEX] (Trừ sai từ dòng này nhé)
Kết hợp với điều kiện ta được -2\leq x\leq -1
Vậy tập nghiệm của BPT là: [-2;-1]
--> 0,5 điểm
Bài 2:
ĐK: x \geq -1
[TEX]BPT \Leftrightarrow x+1+2\sqrt{(x+1)(x+6)}+x+6=x+22[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2\sqrt{(x+1)(x+6)}=15-x \Leftrightarrow \left{\begin{x \leq 15}\\{4(x+1)(x+6)=(15-x)^2)}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{x \leq 15}\\{3x^2+58x-201=0}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{x \leq 15}\\{x=3,hoac:x=-\frac{59}{3}}[/TEX]
Nghiệm x2 sai
Kết hợp với điều kiện ban đầu: x=3
Vậy PT có nghiệm x=3
0,75 điểm
Bài 3:
[TEX]HPT \Leftrightarrow \left{\begin{(x^2+x)+(y^2+y)=8}\\{(x^2+x)(y^2+y)=12}[/TEX]
Đặt [TEX]\left{\begin{a=x^2+x}\\{b=y^2+y} \Rightarrow \left{\begin{a+b=8}\\{ab=12}[/TEX]
Suy ra:a,b là nghiệm của PT [TEX]t^2-8t+12=0 \Leftrightarrow \left[\begin{t=6}\\{t=2}[/TEX]
\Rightarrow HPT có nghiệm (a;b)=(2;6),(6;2)
Ta có các TH sau:
TH1:
[TEX](a;b)=(2;6) \Rightarrow \left{\begin{x^2+x=2}\\{y^2+y=6} \Leftrightarrow \left{\begin{x=1,hoac:x=-2}\\{y=2,hoac:y=-3}[/TEX]
TH2:
[TEX](a;b)=(6;2) \Rightarrow \left{\begin{x^2+x=6}\\{y^2+y=2} \Leftrightarrow \left{\begin{x=2,hoac:x=-3}\\{y=1,hoac:y=-2}[/TEX]
Vậy HPT có nghiệmx;y)=(1;2);(2;1);(1;-3);(-3;1);(-2;2);(2;-2);(-2;-3);(-3;-2)
1 điểm
Bài 4:
+)x=0 \Rightarrow y=0.Suy ra0;0)là nghiệm của HPT
+)[TEX]xy \neq 0[/TEX]
[TEX]HPT \Leftrightarrow \left{\begin{\frac{3}{x}+\frac{4}{y}=7}\\{\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=3} \Leftrightarrow \left{\begin{\frac{1}{x}=1}\\{\frac{1}{y}=1} \Leftrightarrow \left{\begin{x=1}\\{y=1}[/TEX]
Vậy HPT có 2 nghiệm: (x;y)=(0;0),(1;1)
1 điểm
Bài 5:
Ta có:
[TEX](x+y)(y+z)(z+x)+xyz=x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+xz^2+yz^2+3xyz\\ =(x^2y+x^2z+xyz)+(xy^2+y^2z+xyz)+(xz^2+yz^2+xyz)=x(xy+yz+zx)+y(xy+yz+zx)+z(xy+yz+zx) \\ =(x+y+z)(xy+yz+zx)[/TEX]
1 điểm
Bài 6:
[TEX]M \in (d)\Rightarrow M(x;x+1)[/TEX]
[TEX]MA+MB=\sqrt{x^2+(x-1)^2}+\sqrt{(x-2)^2+(x-3)^2}[/TEX]
Áp dụng BĐT:
[TEX]\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2} \geq \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}[/TEX]
Đẳng thức xảy ra \Leftrightarrow ad=bc
Thử với a=1, b = 2 , c= -1 , d=-2
Dấu "=" chỗ này sai nhé, "=" khi [TEX]\red \left{ a = kc \\ b = kd \right. (k>0)[/TEX]
Áp dụng:a=x,b=x-1,c=2-x,d=3-x
[TEX]MA+MB \geq \sqrt{(x+2-x)^2+(x-1+3-x)^2}=\sqrt{8}[/TEX]
[TEX]Min(MA+MB)=\sqrt{8}\Leftrightarrow x(2-x)=(x-1)(3-x) \Leftrightarrow x=\frac{3}{2}[/TEX]
Vậy:[TEX]M(\frac{3}{2};\frac{5}{2})[/TEX]
Đáp số sai: 0 điểm
Bài 7:
Gọi H' là giao điểm của AH và (O).Khi đó H' đối xứng H qua BC(1)
Thật vậy:[TEX]\hat{CBH}=\hat{HAC}[/TEX](góc có cạnh tương ứng vuông góc)
[TEX]\hat{HAC}=\hat{CBH'}[/TEX](cùng chắn cung CH')
[TEX]\hat{CHB}=\hat{CBH'}[/TEX]
Do đó CB là phân giác đồng thời là đường cao của tam giác HBH'.Suy ra:BC là trung trực của BC
Gọi O' đối xứng O qua BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra:OHH'O' là hình thang cân \Rightarrow OH'=O'H=R (R là bán kính (O))
Do O,B,C cố định nên O' cố định.Suy ra (O';R) cố định
Vậy H luôn chạy trên (O') cố định
1 điểm
Bài 8:
Gọi A là tập hợp các bạn làm đúng câu dễ,B là tập hợp các bạn làm đúng câu khá,C là tập hợp các bạn làm đúng câu khó
Ký hiệu |A| số phần tử của tập hợp A
Theo bài ra ta có:
[TEX]|A+B+C|=10,|A|=7,|B|=6,|C|=4,|A\bigcap_{}^{}B|=3,|A\bigcap_{}^{}C|=2,|B\bigcap_{}^{}C|=3[/TEX]
Ta có:
[TEX]|A+B+C|=|A|+|B|+|C|-|A\bigcap_{}^{}B|-|A\bigcap_{}^{}C|-|B\bigcap_{}^{}C|+|A\bigcap_{}^{}B\bigcap_{}^{}C|[/TEX]
[TEX]\Rightarrow |A\bigcap_{}^{}B\bigcap_{}^{}C|=10+3+2+3-(7+6+4)=1[/TEX]
Vậy:có 1 bạn làm được cả câu dễ,khá và khó
1 điểm
Bài làm sử dụng nguyên lý bù trừ
Bài 9:
Đặt P là biểu thức cần tìm GTNN
Ta có:
[TEX]\frac{x^7}{x^4+y^2}=x^3-\frac{x^3y^2}{x^4+y^2} \geq x^3-\frac{x^3y^2}{2x^2y}=x^3-\frac{1}{2}xy[/TEX]
Tương tự ta có:
[TEX]\frac{y^7}{y^4+z^2} \geq y^3-\frac{1}{2}yz[/TEX]
[TEX]\frac{z^7}{z^4+x^2} \geq z^3-\frac{1}{2}zx[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P \geq (x^3+y^3+z^3)-\frac{1}{2}(xy+yz+zx) \geq3 (\frac{x+y+z}{3})^3-\frac{1}{6}(x+y+z)^2=\frac{3}{2}[/TEX]
Vậy [TEX]MinP=\frac{3}{2} \Leftrightarrow x=y=z=1[/TEX]
Bài 10:
Trước hết ta CM:
[TEX]\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \leq \frac{2}{1+xy}(1), \forall x,y \geq 0,xy \leq 1[/TEX]
Thật vậy: Xét hiệu:
[TEX]VT(1)-VP(1)=(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}+(\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy})[/TEX]
[TEX]=\frac{-x(x-y)}{xy(1+x^2)}+\frac{y(x-y)}{xy(1+y^2)}[/TEX]
[TEX]=\frac{x-y}{xy} [\frac{y}{1+y^2}-\frac{x}{1+x^2}][/TEX]
[TEX]=\frac{(x-y)^2(xy-1)}{xy(1+x^2)(1+y^2)} \leq 0 \forall x,y \geq 0,xy \leq 1[/TEX]
Áp dụng:
Theo BĐT Buniacopxki:
[TEX](\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}})^2 \leq 2(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}) \leq \frac{4}{1+xy}[/TEX]
Khai căn hai vế
Vậy ta có ĐPCM
0,75 điểm
Tuy bài không yêu cầu tìm GTLN, GTNN nhưng phải chỉ ra dấu "="
Tổng điểm: 8
Bài làm
Bài 1:
ĐK: x \geq -2
0,25
[TEX]BPT \Leftrightarrow \sqrt{x+7}\geq \sqrt{x+2}+1[/TEX]
0,25
[TEX]x+7 \geq x+3+2\sqrt{x+2} [/tex]
[tex]\red \Leftrightarrow \sqrt{x+2} \leq 1 \Leftrightarrow x \leq -1[/TEX] (Trừ sai từ dòng này nhé)
Kết hợp với điều kiện ta được -2\leq x\leq -1
Vậy tập nghiệm của BPT là: [-2;-1]
--> 0,5 điểm
Bài 2:
ĐK: x \geq -1
[TEX]BPT \Leftrightarrow x+1+2\sqrt{(x+1)(x+6)}+x+6=x+22[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2\sqrt{(x+1)(x+6)}=15-x \Leftrightarrow \left{\begin{x \leq 15}\\{4(x+1)(x+6)=(15-x)^2)}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{x \leq 15}\\{3x^2+58x-201=0}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{x \leq 15}\\{x=3,hoac:x=-\frac{59}{3}}[/TEX]
Nghiệm x2 sai
Kết hợp với điều kiện ban đầu: x=3
Vậy PT có nghiệm x=3
0,75 điểm
Bài 3:
[TEX]HPT \Leftrightarrow \left{\begin{(x^2+x)+(y^2+y)=8}\\{(x^2+x)(y^2+y)=12}[/TEX]
Đặt [TEX]\left{\begin{a=x^2+x}\\{b=y^2+y} \Rightarrow \left{\begin{a+b=8}\\{ab=12}[/TEX]
Suy ra:a,b là nghiệm của PT [TEX]t^2-8t+12=0 \Leftrightarrow \left[\begin{t=6}\\{t=2}[/TEX]
\Rightarrow HPT có nghiệm (a;b)=(2;6),(6;2)
Ta có các TH sau:
TH1:
[TEX](a;b)=(2;6) \Rightarrow \left{\begin{x^2+x=2}\\{y^2+y=6} \Leftrightarrow \left{\begin{x=1,hoac:x=-2}\\{y=2,hoac:y=-3}[/TEX]
TH2:
[TEX](a;b)=(6;2) \Rightarrow \left{\begin{x^2+x=6}\\{y^2+y=2} \Leftrightarrow \left{\begin{x=2,hoac:x=-3}\\{y=1,hoac:y=-2}[/TEX]
Vậy HPT có nghiệm
x;y)=(1;2);(2;1);(1;-3);(-3;1);(-2;2);(2;-2);(-2;-3);(-3;-2)1 điểm
Bài 4:
+)x=0 \Rightarrow y=0.Suy ra
0;0)là nghiệm của HPT+)[TEX]xy \neq 0[/TEX]
[TEX]HPT \Leftrightarrow \left{\begin{\frac{3}{x}+\frac{4}{y}=7}\\{\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=3} \Leftrightarrow \left{\begin{\frac{1}{x}=1}\\{\frac{1}{y}=1} \Leftrightarrow \left{\begin{x=1}\\{y=1}[/TEX]
Vậy HPT có 2 nghiệm: (x;y)=(0;0),(1;1)
1 điểm
Bài 5:
Ta có:
[TEX](x+y)(y+z)(z+x)+xyz=x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+xz^2+yz^2+3xyz\\ =(x^2y+x^2z+xyz)+(xy^2+y^2z+xyz)+(xz^2+yz^2+xyz)=x(xy+yz+zx)+y(xy+yz+zx)+z(xy+yz+zx) \\ =(x+y+z)(xy+yz+zx)[/TEX]
1 điểm
Bài 6:
[TEX]M \in (d)\Rightarrow M(x;x+1)[/TEX]
[TEX]MA+MB=\sqrt{x^2+(x-1)^2}+\sqrt{(x-2)^2+(x-3)^2}[/TEX]
Áp dụng BĐT:
[TEX]\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2} \geq \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}[/TEX]
Đẳng thức xảy ra \Leftrightarrow ad=bc
Thử với a=1, b = 2 , c= -1 , d=-2
Dấu "=" chỗ này sai nhé, "=" khi [TEX]\red \left{ a = kc \\ b = kd \right. (k>0)[/TEX]
Áp dụng:a=x,b=x-1,c=2-x,d=3-x
[TEX]MA+MB \geq \sqrt{(x+2-x)^2+(x-1+3-x)^2}=\sqrt{8}[/TEX]
[TEX]Min(MA+MB)=\sqrt{8}\Leftrightarrow x(2-x)=(x-1)(3-x) \Leftrightarrow x=\frac{3}{2}[/TEX]
Vậy:[TEX]M(\frac{3}{2};\frac{5}{2})[/TEX]
Đáp số sai: 0 điểm
Bài 7:
Gọi H' là giao điểm của AH và (O).Khi đó H' đối xứng H qua BC(1)
Thật vậy:[TEX]\hat{CBH}=\hat{HAC}[/TEX](góc có cạnh tương ứng vuông góc)
[TEX]\hat{HAC}=\hat{CBH'}[/TEX](cùng chắn cung CH')
[TEX]\hat{CHB}=\hat{CBH'}[/TEX]
Do đó CB là phân giác đồng thời là đường cao của tam giác HBH'.Suy ra:BC là trung trực của BC
Gọi O' đối xứng O qua BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra:OHH'O' là hình thang cân \Rightarrow OH'=O'H=R (R là bán kính (O))
Do O,B,C cố định nên O' cố định.Suy ra (O';R) cố định
Vậy H luôn chạy trên (O') cố định
1 điểm
Bài 8:
Gọi A là tập hợp các bạn làm đúng câu dễ,B là tập hợp các bạn làm đúng câu khá,C là tập hợp các bạn làm đúng câu khó
Ký hiệu |A| số phần tử của tập hợp A
Theo bài ra ta có:
[TEX]|A+B+C|=10,|A|=7,|B|=6,|C|=4,|A\bigcap_{}^{}B|=3,|A\bigcap_{}^{}C|=2,|B\bigcap_{}^{}C|=3[/TEX]
Ta có:
[TEX]|A+B+C|=|A|+|B|+|C|-|A\bigcap_{}^{}B|-|A\bigcap_{}^{}C|-|B\bigcap_{}^{}C|+|A\bigcap_{}^{}B\bigcap_{}^{}C|[/TEX]
[TEX]\Rightarrow |A\bigcap_{}^{}B\bigcap_{}^{}C|=10+3+2+3-(7+6+4)=1[/TEX]
Vậy:có 1 bạn làm được cả câu dễ,khá và khó
1 điểm
Bài làm sử dụng nguyên lý bù trừ
Bài 9:
Đặt P là biểu thức cần tìm GTNN
Ta có:
[TEX]\frac{x^7}{x^4+y^2}=x^3-\frac{x^3y^2}{x^4+y^2} \geq x^3-\frac{x^3y^2}{2x^2y}=x^3-\frac{1}{2}xy[/TEX]
Tương tự ta có:
[TEX]\frac{y^7}{y^4+z^2} \geq y^3-\frac{1}{2}yz[/TEX]
[TEX]\frac{z^7}{z^4+x^2} \geq z^3-\frac{1}{2}zx[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P \geq (x^3+y^3+z^3)-\frac{1}{2}(xy+yz+zx) \geq3 (\frac{x+y+z}{3})^3-\frac{1}{6}(x+y+z)^2=\frac{3}{2}[/TEX]
Vậy [TEX]MinP=\frac{3}{2} \Leftrightarrow x=y=z=1[/TEX]
Bài 10:
Trước hết ta CM:
[TEX]\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \leq \frac{2}{1+xy}(1), \forall x,y \geq 0,xy \leq 1[/TEX]
Thật vậy: Xét hiệu:
[TEX]VT(1)-VP(1)=(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}+(\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy})[/TEX]
[TEX]=\frac{-x(x-y)}{xy(1+x^2)}+\frac{y(x-y)}{xy(1+y^2)}[/TEX]
[TEX]=\frac{x-y}{xy} [\frac{y}{1+y^2}-\frac{x}{1+x^2}][/TEX]
[TEX]=\frac{(x-y)^2(xy-1)}{xy(1+x^2)(1+y^2)} \leq 0 \forall x,y \geq 0,xy \leq 1[/TEX]
Áp dụng:
Theo BĐT Buniacopxki:
[TEX](\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}})^2 \leq 2(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}) \leq \frac{4}{1+xy}[/TEX]
Khai căn hai vế
Vậy ta có ĐPCM
0,75 điểm
Tuy bài không yêu cầu tìm GTLN, GTNN nhưng phải chỉ ra dấu "="
Tổng điểm: 8
Last edited by a moderator:
D
duynhan1
Đây là bài làm của bạn locxoaymgk.
Bài 1:
DK : [TEX]x \geq-2.[/TEX]
Ta có:[TEX] PT \Leftrightarrow \sqrt{x+7}=1+\sqrt{x+2}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow x+7 \geq 1+x+2+2\sqrt{x+2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x+2} \leq 2[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow x+2 \leq 4.[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow x \leq 2.[/TEX]
Vậy nghiệm của BPT là[TEX] -2 \leq x \leq 2.[/TEX]
1 điểm
Bài 2:
[TEX] DK: x \geq -1[/TEX]
[TEX] \sqrt{x+1}+\sqrt{x+6} = \sqrt{x+22}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x+1+x+6+2\sqrt{x+1}{x+6}=x+22.[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2\sqrt{x^2+7x+6}=15-x. \ (*.)[/TEX]
DK: [TEX]x \leq 15.[/TEX]
[TEX] (*.) \Leftrightarrow 4(x^2+7x+6)= x^2-30x+225.[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow 3x^2+58x-201=0[/TEX]
Giải PT ta được :[TEX] x_1=3 ( tm) ; x_2=\frac{-67}{3} \ [/TEX]( Loại).
Vậy nghiệm của PT là [TEX]x=3.[/TEX]
1 điểm
Bài 4:
Ta thấy[TEX] x=0; y=0[/TEX] là một nghiệm của PT.
Thiếu chặt chẽ, biết đâu ta còn 1 nghiệm y=0 và 1 nghiệm x nào đó--> Trừ 0,25
Với[TEX] y \ khac \ 0 [/TEX], chia cả hai vế của 2 PT cho y và biến đổi ta được:
[TEX]\left{\begin{\frac{4x}{y}-7x=-3}\\{\frac{4x}{y}-6x=-2.} [/TEX]
Cộng 2 vế của 2 PT ta được: [TEX]x=1.[/TEX]
Giải ra x=1, thay vào x=-1
Thay x=-1 vào PT thứ 2 ban đầu ta có:
[TEX] -2+y=-3y \Leftrightarrow 4y=2 \Leftrightarrow y=\frac{1}{2}.[/TEX]
Vậy HPT có 2 nghiệm:[TEX] (x_1;y_1)=(0;0); (x_2;y_2)=(-1;\frac{-1}{2}.[/TEX]
0,5 điểm
Bài 5:
Ta có:[TEX] (x+y)(y+z)(z+x)=xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)+2xyz.[/TEX]
[TEX] \Rightarrow (x+y)(y+z)(z+x)+xyz = [xy(x+y)+xyz]+[yz(y+z)+xyz]+[zx(z+x)+xyz][/TEX]
[TEX]= xy(x+y+z)+yz(x+y+z)+zx(x+y+z)=(x+y+z)(xy+yz+zx).[/TEX]
[TEX] \Rightarrow (x+y)(y+z)(z+x)+xyz =(x+y+z)(xy+yz+zx)..[/TEX]
1 điểm
Bài 10:
Ta có:
[TEX] \frac{1}{1+x^2} \leq \frac{1}{xy+x^2}=\frac{1}{x(x+y)}[/TEX]
Theo BDt cô - si Ta có: [TEX]x(x+y) \geq 2x \geq 2 \geq 1+xy.[/TEX]Sai
[TEX] \Rightarrow \frac{1}{1+x^2} \leq \frac{1}{1+xy}[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \sqrt{ \frac{1}{1+x^2} } \leq \sqrt{ \frac{1}{1+xy}}.[/TEX]
CMTT ta cũng có:
[TEX]\sqrt{\frac{1}{1+x^2}} \leq \sqrt{\frac{1}{1+xy}.[/TEX]
Cộng từng vế các BDT ta có DPCM.
0 điểm
Câu 4:
[TEX]PT \Leftrightarrow \left{\begin{x(x+1)+y(y+1)=8}\\{xy(x+1)(y+1)=12.}[/TEX]
Đặt [TEX]\left{\begin{u=x(x+1)}\\{v=y(y+1)} , DK: u,v \geq \frac{-1}{4}.[/TEX]
KHi HPT trở thàNH:
[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{u=6}\\{v=2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{x(x+1)=6}\\{y(y+1)=2} \ (1)[/TEX]
hoặc : [TEX]\left{\begin{u=2}\\{v=6} \Leftrightarrow \left{\begin{x(x+1)=2}\\{y(y+1)=6=0}. \ (2).[/TEX]
Giải(1) và (2) \Rightarrow HPT có 8 nghiệm :[TEX] (-3;1);(-3;-2);(2;1);(2;-2);(1;-3);(1;2);(-2;-3);(-2;2).[/TEX]
1 điểm
Câu 9:
do[TEX] x+y+z =3 \Rightarrow x;y;z \leq 3[/TEX]. (x;y;z ko đồng thời =3).
[TEX]\Rightarrow x^4=x.x^3 \leq 3x^3.[/TEX]
Ta có:
[TEX]\frac{x^7}{x^4+y^2} +x^2+ ( 3x^3+y^2) \geq \frac{x^7}{3x^3+y^2}+x^2+(3x^3+y^2) \geq 3 x^3.[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \frac{x^7}{x^4+y^2} \geq -(x^2+y^2).[/TEX]
CMTT và cộng từng vế ta có:
[TEX] VT \geq -2(x^2+y^2+z^2) \geq -2. \frac{(x+y+z)^2}{3}=-6.[/TEX]
[TEX] \Rightarrow min \ P=-6.[/TEX]
Cách giải sáng tạo nhưng sai mất rồi
x, y, z dương thì sao Min P có thể âm được
0 điểm
Câu 8: dùng sơ đồ ven tìm được số bạn làm đúng cả 3 loại câu =2.
Đáp số sai: 0 điểm
4,5 điểm
Bài 1:
DK : [TEX]x \geq-2.[/TEX]
Ta có:[TEX] PT \Leftrightarrow \sqrt{x+7}=1+\sqrt{x+2}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow x+7 \geq 1+x+2+2\sqrt{x+2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x+2} \leq 2[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow x+2 \leq 4.[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow x \leq 2.[/TEX]
Vậy nghiệm của BPT là[TEX] -2 \leq x \leq 2.[/TEX]
1 điểm
Bài 2:
[TEX] DK: x \geq -1[/TEX]
[TEX] \sqrt{x+1}+\sqrt{x+6} = \sqrt{x+22}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x+1+x+6+2\sqrt{x+1}{x+6}=x+22.[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2\sqrt{x^2+7x+6}=15-x. \ (*.)[/TEX]
DK: [TEX]x \leq 15.[/TEX]
[TEX] (*.) \Leftrightarrow 4(x^2+7x+6)= x^2-30x+225.[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow 3x^2+58x-201=0[/TEX]
Giải PT ta được :[TEX] x_1=3 ( tm) ; x_2=\frac{-67}{3} \ [/TEX]( Loại).
Vậy nghiệm của PT là [TEX]x=3.[/TEX]
1 điểm
Bài 4:
Ta thấy[TEX] x=0; y=0[/TEX] là một nghiệm của PT.
Thiếu chặt chẽ, biết đâu ta còn 1 nghiệm y=0 và 1 nghiệm x nào đó--> Trừ 0,25
Với[TEX] y \ khac \ 0 [/TEX], chia cả hai vế của 2 PT cho y và biến đổi ta được:
[TEX]\left{\begin{\frac{4x}{y}-7x=-3}\\{\frac{4x}{y}-6x=-2.} [/TEX]
Cộng 2 vế của 2 PT ta được: [TEX]x=1.[/TEX]
Giải ra x=1, thay vào x=-1
Thay x=-1 vào PT thứ 2 ban đầu ta có:
[TEX] -2+y=-3y \Leftrightarrow 4y=2 \Leftrightarrow y=\frac{1}{2}.[/TEX]
Vậy HPT có 2 nghiệm:[TEX] (x_1;y_1)=(0;0); (x_2;y_2)=(-1;\frac{-1}{2}.[/TEX]
0,5 điểm
Bài 5:
Ta có:[TEX] (x+y)(y+z)(z+x)=xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)+2xyz.[/TEX]
[TEX] \Rightarrow (x+y)(y+z)(z+x)+xyz = [xy(x+y)+xyz]+[yz(y+z)+xyz]+[zx(z+x)+xyz][/TEX]
[TEX]= xy(x+y+z)+yz(x+y+z)+zx(x+y+z)=(x+y+z)(xy+yz+zx).[/TEX]
[TEX] \Rightarrow (x+y)(y+z)(z+x)+xyz =(x+y+z)(xy+yz+zx)..[/TEX]
1 điểm
Bài 10:
Ta có:
[TEX] \frac{1}{1+x^2} \leq \frac{1}{xy+x^2}=\frac{1}{x(x+y)}[/TEX]
Theo BDt cô - si Ta có: [TEX]x(x+y) \geq 2x \geq 2 \geq 1+xy.[/TEX]Sai
[TEX] \Rightarrow \frac{1}{1+x^2} \leq \frac{1}{1+xy}[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \sqrt{ \frac{1}{1+x^2} } \leq \sqrt{ \frac{1}{1+xy}}.[/TEX]
CMTT ta cũng có:
[TEX]\sqrt{\frac{1}{1+x^2}} \leq \sqrt{\frac{1}{1+xy}.[/TEX]
Cộng từng vế các BDT ta có DPCM.
0 điểm
Câu 4:
[TEX]PT \Leftrightarrow \left{\begin{x(x+1)+y(y+1)=8}\\{xy(x+1)(y+1)=12.}[/TEX]
Đặt [TEX]\left{\begin{u=x(x+1)}\\{v=y(y+1)} , DK: u,v \geq \frac{-1}{4}.[/TEX]
KHi HPT trở thàNH:
[TEX] \left{\begin{u+v=8}\\{uv=12}.[/TEX]
u và v là nghiệm của [TEX]PT: t^2-8t+12. \Leftrightarrow t=6 \ or \ t=2.[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{u=6}\\{v=2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{x(x+1)=6}\\{y(y+1)=2} \ (1)[/TEX]
hoặc : [TEX]\left{\begin{u=2}\\{v=6} \Leftrightarrow \left{\begin{x(x+1)=2}\\{y(y+1)=6=0}. \ (2).[/TEX]
Giải(1) và (2) \Rightarrow HPT có 8 nghiệm :[TEX] (-3;1);(-3;-2);(2;1);(2;-2);(1;-3);(1;2);(-2;-3);(-2;2).[/TEX]
1 điểm
Câu 9:
do[TEX] x+y+z =3 \Rightarrow x;y;z \leq 3[/TEX]. (x;y;z ko đồng thời =3).
[TEX]\Rightarrow x^4=x.x^3 \leq 3x^3.[/TEX]
Ta có:
[TEX]\frac{x^7}{x^4+y^2} +x^2+ ( 3x^3+y^2) \geq \frac{x^7}{3x^3+y^2}+x^2+(3x^3+y^2) \geq 3 x^3.[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \frac{x^7}{x^4+y^2} \geq -(x^2+y^2).[/TEX]
CMTT và cộng từng vế ta có:
[TEX] VT \geq -2(x^2+y^2+z^2) \geq -2. \frac{(x+y+z)^2}{3}=-6.[/TEX]
[TEX] \Rightarrow min \ P=-6.[/TEX]
Cách giải sáng tạo nhưng sai mất rồi
x, y, z dương thì sao Min P có thể âm được
0 điểm
Câu 8: dùng sơ đồ ven tìm được số bạn làm đúng cả 3 loại câu =2.
Đáp số sai: 0 điểm
4,5 điểm
Last edited by a moderator:
D
duynhan1
Bài làm của metla
câu 1:
[TEX]\sqrt{x+7}-\sqrt{x+2}\geq 1 (1)[/TEX]
(Điều kiện: [TEX]x\geq -2[/TEX])
Đặt [TEX]t=\sqrt{x+7}(2) (t\geq \sqrt{5})[/TEX]
(1) trở thành: [TEX]t-\sqrt{t^2-5}\geq 1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{t^2-5}\leq t-1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{5}\leq t\leq 3[/TEX] thế vào (2):
[TEX]\left{ \sqrt{x+7}\geq \sqrt{5}\\\sqrt{x+7}\leq3[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow -2\leq x\leq 2[/TEX]
Vậy S=[-2;2].
1 điểm
câu 2:
[TEX]\sqrt{x+1}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+22}[/TEX] (Điều kiện:[TEX]x\geq -1[/TEX])
Do 2 vế của phương trình không âm nên ta bình phương 2 vế, rút gọn, ta được:
[TEX]2\sqrt{x^2+7x+6}=15-x[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{ 15-x\geq 0\\4(x^2+7x+6)=(15-x)^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=3[/TEX](tắt quá)
Vậy S={3}
0,75 điểm
câu 3:
[TEX]HPT\Leftrightarrow \left{ (x+y)^2+(x+y)-2xy=8\\ x^2y^2+xy(x+y)+xy=12\right.(I)[/TEX]
Đặt S=x+y; P=xy.
[TEX](I)\Leftrightarrow \left{ S^2+S-2P=8(1)\\P^2+SP+P=12(2)[/TEX]
Từ [TEX](1)\Leftrightarrow P=\frac{S^2+S-8}{2}[/TEX] thế vào (2), rút gọn, ta được:
[TEX]S^4+4S^3-11S^2-30S=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[ S=0\\S=3\\S=-2\\S=-5[/TEX]
+Với [TEX]S=0\Rightarrow P=-4[/TEX], khi đó ta tính được:
[TEX]\left[ \left{x=2\\y=-2\right.\\ \left{ x=-2\\y=2\right.[/TEX]
+Với [TEX]S=3\Rightarrow P=2[/TEX], khi đó:
[TEX]\left[ \left{x=2\\y=1\right.\\ \left{ x=1\\y=2\right.[/TEX]
+Với [TEX]S=-2\Rightarrow P=-3[/TEX], khi đó:
[TEX]\left[ \left{x=1\\y=-3\right.\\ \left{ x=-3\\y=1\right.[/TEX]
+Với [TEX]S=-5\Rightarrow P=6[/TEX], khi đó:
[TEX]\left[ \left{x=-2\\y=-3\right.\\ \left{ x=-3\\y=-2\right.[/TEX]
Vậy S={(2;-2);(-2;2);(2;1);(1;2);(1;-3);(-3;1);(-2;-3);(-3;-2)}.
1 điểm
Câu 4:
[TEX]HPT\Leftrightarrow \left{ 4x(1-y)+3y(1-x)=0\\2x(1-y)+y(1-x)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{ x(1-y)=0\\y(1-x)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{ \left[ x=0\\y=1\right.\\ \left[ y=0\\x=1\right.[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[ \left{ x=0\\y=0\right.\\ \left{ x=1\\y=1\right. [/TEX]
Vậy S={(0;0);(1;1)}
1 điểm
Câu 5:
[TEX](x+y)(y+z)(z+x)+xyz=3xyz+xy^2+x^2y+x^2.z+z^2.x+zy^2+z^2.y=x(xy+yz+zx)+y(xy+yz+zx)+z(xy+yz+zx)=(xy+yz+zx)(x+y+z)[/TEX]
1 điểm
Câu 6:
Do [TEX]M \in (d)[/TEX] nên M(x;x+1)
Thế tọa độ A,B vào phương trình (d): x-y+1=0 nhận thấy A,B cùng nằm trong mặt phẳng bờ (d)
Gọi H là hình chiếu của A lên (d)
Ta tính được: H(2;3)
Gọi A' là điểm đối xứng của A qua (d)
Khi đó, H là trung điểm AA' nên A'(4;1)
Ta lập được phương trình A'B: 3x+2y-14=0
Để (MA+MB)min thì M là giao điểm của A'B và (d)
[TEX]\Rightarrow M(\frac{12}{5};\frac{17}{5})[/TEX]
1 điểm
Câu 7:
Lấy đối xứng C qua O ta được D
(Vì C,O cố định nên D cố định.)
Khi đó, dễ dàng chứng minh được: AHBD là hình bình hành
[TEX]\Rightarrow \vec {AH}=\vec {DB}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow H=T_{\vec {DB}}(A)[/TEX]
Mà A di động trên (O), gọi [TEX](O')=T_{\vec {DB}}((O))[/TEX]
suy ra: H di động trên (O') cố định
Vậy H di động trên 1 đường tròn cố định
Thiếu [TEX]\vec{DB}[/TEX] cố định
0,5 điểm
Câu 9:
-Trước hết, ta chứng minh:
[TEX](\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}})^2-\frac{2}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}=(\frac{1}{1+x^2})+(\frac{1}{1+y^2}) \leq \frac{2}{1+xy}(1)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{(1+y^2)(1+xy)+(1+x^2)(1+xy)-2(1+x^2)(1+y^2}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)}\leq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2.(xy-1)}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)}\leq 0 (\forall xy\leq 1)[/TEX]
Chỗ này trình bày tệ quá trừ 0,25
Từ (1), ta có:
[TEX]\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\leq \sqrt{2(\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}})}(2)[/TEX]
-Ta chứng minh: [TEX]\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}\leq \frac{2}{1+xy}(3)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}\leq \frac{1}{1+xy}[/TEX]
bình phương 2 vế, quy đồng, ta được điều hiển nhiên đúng.Vậy (3) đúng, thế vào (2):
[TEX]\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\leq \frac{2}{1+xy}[/TEX] (đpcm).
Dấu "=" đâu, trừ 0,25
0,5 điểm
Câu 8:
theo đề, số bạn đúng khá và khó là 3
số bạn đúng dễ và khó là 2
mà số bạn đúng câu khó là 3 nên suy ra, số bạn đúng cả ba câu là 1 hoặc 2
xét từng hợp, ta nhận thấy nếu số bạn đúng 3 câu là 2 thì tổng số bạn tham gia đợt tuyển chọn sẽ ít hơn 10, còn là 1 thì đúng.
Vậy có đúng 1 bạn đúng cả 3 câu dễ, khá, khó.
Tắt quá 0,5 điểm
7,25 điểm
câu 1:
[TEX]\sqrt{x+7}-\sqrt{x+2}\geq 1 (1)[/TEX]
(Điều kiện: [TEX]x\geq -2[/TEX])
Đặt [TEX]t=\sqrt{x+7}(2) (t\geq \sqrt{5})[/TEX]
(1) trở thành: [TEX]t-\sqrt{t^2-5}\geq 1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{t^2-5}\leq t-1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{5}\leq t\leq 3[/TEX] thế vào (2):
[TEX]\left{ \sqrt{x+7}\geq \sqrt{5}\\\sqrt{x+7}\leq3[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow -2\leq x\leq 2[/TEX]
Vậy S=[-2;2].
1 điểm
câu 2:
[TEX]\sqrt{x+1}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+22}[/TEX] (Điều kiện:[TEX]x\geq -1[/TEX])
Do 2 vế của phương trình không âm nên ta bình phương 2 vế, rút gọn, ta được:
[TEX]2\sqrt{x^2+7x+6}=15-x[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{ 15-x\geq 0\\4(x^2+7x+6)=(15-x)^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=3[/TEX](tắt quá)
Vậy S={3}
0,75 điểm
câu 3:
[TEX]HPT\Leftrightarrow \left{ (x+y)^2+(x+y)-2xy=8\\ x^2y^2+xy(x+y)+xy=12\right.(I)[/TEX]
Đặt S=x+y; P=xy.
[TEX](I)\Leftrightarrow \left{ S^2+S-2P=8(1)\\P^2+SP+P=12(2)[/TEX]
Từ [TEX](1)\Leftrightarrow P=\frac{S^2+S-8}{2}[/TEX] thế vào (2), rút gọn, ta được:
[TEX]S^4+4S^3-11S^2-30S=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[ S=0\\S=3\\S=-2\\S=-5[/TEX]
+Với [TEX]S=0\Rightarrow P=-4[/TEX], khi đó ta tính được:
[TEX]\left[ \left{x=2\\y=-2\right.\\ \left{ x=-2\\y=2\right.[/TEX]
+Với [TEX]S=3\Rightarrow P=2[/TEX], khi đó:
[TEX]\left[ \left{x=2\\y=1\right.\\ \left{ x=1\\y=2\right.[/TEX]
+Với [TEX]S=-2\Rightarrow P=-3[/TEX], khi đó:
[TEX]\left[ \left{x=1\\y=-3\right.\\ \left{ x=-3\\y=1\right.[/TEX]
+Với [TEX]S=-5\Rightarrow P=6[/TEX], khi đó:
[TEX]\left[ \left{x=-2\\y=-3\right.\\ \left{ x=-3\\y=-2\right.[/TEX]
Vậy S={(2;-2);(-2;2);(2;1);(1;2);(1;-3);(-3;1);(-2;-3);(-3;-2)}.
1 điểm
Câu 4:
[TEX]HPT\Leftrightarrow \left{ 4x(1-y)+3y(1-x)=0\\2x(1-y)+y(1-x)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{ x(1-y)=0\\y(1-x)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{ \left[ x=0\\y=1\right.\\ \left[ y=0\\x=1\right.[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[ \left{ x=0\\y=0\right.\\ \left{ x=1\\y=1\right. [/TEX]
Vậy S={(0;0);(1;1)}
1 điểm
Câu 5:
[TEX](x+y)(y+z)(z+x)+xyz=3xyz+xy^2+x^2y+x^2.z+z^2.x+zy^2+z^2.y=x(xy+yz+zx)+y(xy+yz+zx)+z(xy+yz+zx)=(xy+yz+zx)(x+y+z)[/TEX]
1 điểm
Câu 6:
Do [TEX]M \in (d)[/TEX] nên M(x;x+1)
Thế tọa độ A,B vào phương trình (d): x-y+1=0 nhận thấy A,B cùng nằm trong mặt phẳng bờ (d)
Gọi H là hình chiếu của A lên (d)
Ta tính được: H(2;3)
Gọi A' là điểm đối xứng của A qua (d)
Khi đó, H là trung điểm AA' nên A'(4;1)
Ta lập được phương trình A'B: 3x+2y-14=0
Để (MA+MB)min thì M là giao điểm của A'B và (d)
[TEX]\Rightarrow M(\frac{12}{5};\frac{17}{5})[/TEX]
1 điểm
Câu 7:
Lấy đối xứng C qua O ta được D
(Vì C,O cố định nên D cố định.)
Khi đó, dễ dàng chứng minh được: AHBD là hình bình hành
[TEX]\Rightarrow \vec {AH}=\vec {DB}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow H=T_{\vec {DB}}(A)[/TEX]
Mà A di động trên (O), gọi [TEX](O')=T_{\vec {DB}}((O))[/TEX]
suy ra: H di động trên (O') cố định
Vậy H di động trên 1 đường tròn cố định
Thiếu [TEX]\vec{DB}[/TEX] cố định
0,5 điểm
Câu 9:
-Trước hết, ta chứng minh:
[TEX](\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}})^2-\frac{2}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}=(\frac{1}{1+x^2})+(\frac{1}{1+y^2}) \leq \frac{2}{1+xy}(1)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{(1+y^2)(1+xy)+(1+x^2)(1+xy)-2(1+x^2)(1+y^2}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)}\leq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2.(xy-1)}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)}\leq 0 (\forall xy\leq 1)[/TEX]
Chỗ này trình bày tệ quá trừ 0,25
Từ (1), ta có:
[TEX]\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\leq \sqrt{2(\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}})}(2)[/TEX]
-Ta chứng minh: [TEX]\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}\leq \frac{2}{1+xy}(3)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}\leq \frac{1}{1+xy}[/TEX]
bình phương 2 vế, quy đồng, ta được điều hiển nhiên đúng.Vậy (3) đúng, thế vào (2):
[TEX]\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\leq \frac{2}{1+xy}[/TEX] (đpcm).
Dấu "=" đâu, trừ 0,25
0,5 điểm
Câu 8:
theo đề, số bạn đúng khá và khó là 3
số bạn đúng dễ và khó là 2
mà số bạn đúng câu khó là 3 nên suy ra, số bạn đúng cả ba câu là 1 hoặc 2
xét từng hợp, ta nhận thấy nếu số bạn đúng 3 câu là 2 thì tổng số bạn tham gia đợt tuyển chọn sẽ ít hơn 10, còn là 1 thì đúng.
Vậy có đúng 1 bạn đúng cả 3 câu dễ, khá, khó.
Tắt quá 0,5 điểm
7,25 điểm
Last edited by a moderator:
D
duynhan1
Bài làm của jris1. Trình bày khá đẹp nhưng tiếc là bị sai và không gõ LATEX trên diễn đàn
Bài làm không gõ LATEX nên không chấm,
Bài làm không gõ LATEX nên không chấm,
Last edited by a moderator:
D
duynhan1
Bài làm của lovelycat_handoi95
BÀI 4:[TEX]\left\{4x+3y=7xy\\2x+4y=3xy[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left\{12x+9y=21xy\\14x+7y=21xy[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left\{2x-2y=0\\2x+y=3xy[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left\{x=y\\3x^2-3x=0[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left\{x=y\\ \left\[x=0\\x=1[/TEX]
vậy pt có 2 nghiệm (0;0)và(1;1)
Lời giải chưa hoàn chỉnh -0,25 --> 0,75 điểm
BÀI 1:[TEX]\sqrt{x+7} - \sqrt{x+2} \geq 1[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left{\begin{ x \geq -2}\\{ \sqrt{x+7} \geq 1+\sqrt{x+2}}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left{\begin{ x \geq -2}\\{x+7 \geq 1+x+2+2\sqrt{x+2}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left{\begin{ x \geq -2}\\{\sqrt{x+2} \leq 2}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left{\begin{ x \geq -2}\\{x+2 \leq 4}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left{\begin{x \geq -2}\\{x \leq 2}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow -2 \leq x \leq 2[/TEX]
vậy nghiệm của phương trình là [TEX] -2 \leq x \leq 2[/TEX]
1 điểm
BÀI 2:[TEX]\sqrt{x+1}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+22}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left{\begin {x \geq -1}\\{x+1+x+6+2\sqrt{(x+1)(x+6)}=x+22}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left{\begin {x \geq -1}\\{2\sqrt{x^2+7x+6}=15-x}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left{\begin{ x \geq -1}\\{x \leq 15}\\{3x^2+58x-201=0}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left{\begin{-1 \leq x \leq 15}\\{\left[\begin {x=3}\\{x=\frac{-67}{3}[/TEX]
vậy pt có 1 nghiệm x=3
1 điểm
BÀI 3:
pt<=>[TEX] \left{\begin{x(x+1)+y(y+1)=8}\\{y(y+1).x(x+1)=12}(*)[/TEX]
\Rightarrow x(x+1)và y(y+1) là nhiệm pt:
[TEX] t^2-8t+12=0[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left[\begin{t=6}\\{t=2}[/TEX]
[TEX] (*) \Leftrightarrow \left\[{{{\left\{x(x+1)=6\\y(y+1)=2}}\\{\left\{x(x+1)=2\\y(y+1)=6}}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{{{\left\[x=2\\x=-3}}\\{\left\[y=1\\y=2}[/TEX]hoặc [TEX]\left{{{\left\[x=1\\x=-2}}\\{\left\[y=2\\y=-3}[/TEX]
vậy hệ phương trình có 8 nhiệm: (2;1);(2;-2);(-3;1);(-3;-2);(1;2);(1;-3);(-2;2);(-2;-3)
1 điểm
BÀI 6:d: x-y+1=0 và A(0,5);B(2;4)
có [TEX](x_A-y_A+1)(x_B-y_B+1)>0[/TEX] =>A,B nằm cùng phía với đường thẳng d
gọi A` đối xứng với A qua d
pt A`A: x+y+c=0
A(0,5) thuộc A`A
=>c=-5
=>A`A: x+y-5=0
gọi H là giao điểm của A`A với d
=> toạ độ của H là nghiệm hpt
[TEX] \left\{x+y-5=0\\x-y+1=0 [/TEX]
=>H(2;3)
vì H là trung điểm của A`A
=>A`(4;1)
Để MA+MB nhỏ nhất <=>MA`+MB nhỏ nhất
=>M là giao điểm của A`B với d(1)
có [TEX]\vec {A`B}=(-2;3)[/TEX] =>vtcp của A`B là [TEX]\vec{n}=(3;2)[/TEX]
pt A`B: 3x+2y-14=0
từ (1)=> M là nhiệm của hpt
[TEX]\left\{3x+2y-14=0\\x-y+1=0[/TEX]
[TEX]=>M(\frac{12}{5};\frac{17}{5})[/TEX]
7 điểm
BÀI 7: dựng B` sao cho BB` là đường kính đường tròn (O,R)
vì H là trọng tâm tam giác ABC
nên ta dễ dàng chứng minh được AHCB` là hình bình hành
=> [TEX]\vec{AH}=\vec{B`C}[/TEX]
Thiếu...
vậy khi A thay đổi trên đường tròn (O;R) thì trực tâm H luôn nằm trên
đường tròn cố định (O`;R) sao cho (O;R)=(O`;R)
0,5 điểm
CÂU 5: pt=[TEX]3xyz+y^2z+z^2x+yz^2+x^2y +y^2x+x^2z=x(yz+xy+xz)+y(xz+yz+xy)+z(yx+zx+zy)[/TEX]
[TEX]=(x+y+z)(xy+yz+zx)[/TEX]
1 điểm
câu 8:ta có số bạn làm bài khá ,khó là 2
số bạn làm bài dễ khó là 3
số bạn làm bài khá khó là 3
mà số bạn làm bài khó chỉ có 4
=>số bạn làm dc khó khá dễ chỉ có:1 hoặc 2
Sai: 0 điểm
câu 10: -ta có:
[TEX](\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}})^2-\frac{2}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}=(\frac{1}{1+x^2})+(\frac{1}{1+y^2}) \leq \frac{2}{1+xy}(1)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{(1+y^2)(1+xy)+(1+x^2)(1+xy)-2(1+x^2)(1+y^2)}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)}\leq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2.(xy-1)}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)}\leq 0 (\forall xy\leq 1)[/TEX]
Từ (1)
=>[TEX]\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\leq \sqrt{2(\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}})}(2)[/TEX]
lại có: [TEX]\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}\leq \frac{2}{1+xy}(3)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}\leq \frac{1}{1+xy}[/TEX]
bình phương 2 vế, quy đồng, ta được điều hiển nhiên đúng.Vậy (3) đúng, thế vào (2):
[TEX]\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\leq \frac{2}{1+xy}[/TEX] (đpcm). Thiếu dấu căn, thiếu dấu "=" xảy ra khi nào
0,5 điểm
6,75 điểm
BÀI 4:[TEX]\left\{4x+3y=7xy\\2x+4y=3xy[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left\{12x+9y=21xy\\14x+7y=21xy[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left\{2x-2y=0\\2x+y=3xy[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left\{x=y\\3x^2-3x=0[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left\{x=y\\ \left\[x=0\\x=1[/TEX]
vậy pt có 2 nghiệm (0;0)và(1;1)
Lời giải chưa hoàn chỉnh -0,25 --> 0,75 điểm
BÀI 1:[TEX]\sqrt{x+7} - \sqrt{x+2} \geq 1[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left{\begin{ x \geq -2}\\{ \sqrt{x+7} \geq 1+\sqrt{x+2}}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left{\begin{ x \geq -2}\\{x+7 \geq 1+x+2+2\sqrt{x+2}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left{\begin{ x \geq -2}\\{\sqrt{x+2} \leq 2}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left{\begin{ x \geq -2}\\{x+2 \leq 4}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left{\begin{x \geq -2}\\{x \leq 2}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow -2 \leq x \leq 2[/TEX]
vậy nghiệm của phương trình là [TEX] -2 \leq x \leq 2[/TEX]
1 điểm
BÀI 2:[TEX]\sqrt{x+1}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+22}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left{\begin {x \geq -1}\\{x+1+x+6+2\sqrt{(x+1)(x+6)}=x+22}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left{\begin {x \geq -1}\\{2\sqrt{x^2+7x+6}=15-x}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left{\begin{ x \geq -1}\\{x \leq 15}\\{3x^2+58x-201=0}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left{\begin{-1 \leq x \leq 15}\\{\left[\begin {x=3}\\{x=\frac{-67}{3}[/TEX]
vậy pt có 1 nghiệm x=3
1 điểm
BÀI 3:
pt<=>[TEX] \left{\begin{x(x+1)+y(y+1)=8}\\{y(y+1).x(x+1)=12}(*)[/TEX]
\Rightarrow x(x+1)và y(y+1) là nhiệm pt:
[TEX] t^2-8t+12=0[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left[\begin{t=6}\\{t=2}[/TEX]
[TEX] (*) \Leftrightarrow \left\[{{{\left\{x(x+1)=6\\y(y+1)=2}}\\{\left\{x(x+1)=2\\y(y+1)=6}}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{{{\left\[x=2\\x=-3}}\\{\left\[y=1\\y=2}[/TEX]hoặc [TEX]\left{{{\left\[x=1\\x=-2}}\\{\left\[y=2\\y=-3}[/TEX]
vậy hệ phương trình có 8 nhiệm: (2;1);(2;-2);(-3;1);(-3;-2);(1;2);(1;-3);(-2;2);(-2;-3)
1 điểm
BÀI 6:d: x-y+1=0 và A(0,5);B(2;4)
có [TEX](x_A-y_A+1)(x_B-y_B+1)>0[/TEX] =>A,B nằm cùng phía với đường thẳng d
gọi A` đối xứng với A qua d
pt A`A: x+y+c=0
A(0,5) thuộc A`A
=>c=-5
=>A`A: x+y-5=0
gọi H là giao điểm của A`A với d
=> toạ độ của H là nghiệm hpt
[TEX] \left\{x+y-5=0\\x-y+1=0 [/TEX]
=>H(2;3)
vì H là trung điểm của A`A
=>A`(4;1)
Để MA+MB nhỏ nhất <=>MA`+MB nhỏ nhất
=>M là giao điểm của A`B với d(1)
có [TEX]\vec {A`B}=(-2;3)[/TEX] =>vtcp của A`B là [TEX]\vec{n}=(3;2)[/TEX]
pt A`B: 3x+2y-14=0
từ (1)=> M là nhiệm của hpt
[TEX]\left\{3x+2y-14=0\\x-y+1=0[/TEX]
[TEX]=>M(\frac{12}{5};\frac{17}{5})[/TEX]
7 điểm
BÀI 7: dựng B` sao cho BB` là đường kính đường tròn (O,R)
vì H là trọng tâm tam giác ABC
nên ta dễ dàng chứng minh được AHCB` là hình bình hành
=> [TEX]\vec{AH}=\vec{B`C}[/TEX]
Thiếu...
vậy khi A thay đổi trên đường tròn (O;R) thì trực tâm H luôn nằm trên
đường tròn cố định (O`;R) sao cho (O;R)=(O`;R)
0,5 điểm
CÂU 5: pt=[TEX]3xyz+y^2z+z^2x+yz^2+x^2y +y^2x+x^2z=x(yz+xy+xz)+y(xz+yz+xy)+z(yx+zx+zy)[/TEX]
[TEX]=(x+y+z)(xy+yz+zx)[/TEX]
1 điểm
câu 8:ta có số bạn làm bài khá ,khó là 2
số bạn làm bài dễ khó là 3
số bạn làm bài khá khó là 3
mà số bạn làm bài khó chỉ có 4
=>số bạn làm dc khó khá dễ chỉ có:1 hoặc 2
Sai: 0 điểm
câu 10: -ta có:
[TEX](\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}})^2-\frac{2}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}=(\frac{1}{1+x^2})+(\frac{1}{1+y^2}) \leq \frac{2}{1+xy}(1)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{(1+y^2)(1+xy)+(1+x^2)(1+xy)-2(1+x^2)(1+y^2)}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)}\leq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2.(xy-1)}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)}\leq 0 (\forall xy\leq 1)[/TEX]
Từ (1)
=>[TEX]\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\leq \sqrt{2(\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}})}(2)[/TEX]
lại có: [TEX]\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}\leq \frac{2}{1+xy}(3)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}\leq \frac{1}{1+xy}[/TEX]
bình phương 2 vế, quy đồng, ta được điều hiển nhiên đúng.Vậy (3) đúng, thế vào (2):
[TEX]\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\leq \frac{2}{1+xy}[/TEX] (đpcm). Thiếu dấu căn, thiếu dấu "=" xảy ra khi nào
0,5 điểm
6,75 điểm
Last edited by a moderator:
D
duynhan1
Bài làm của xlovemathx
Câu 1 : [TEX]\sqrt{x+7}-\sqrt{x+2} \geq 1 (1)[/TEX]
ĐK : [TEX]x \geq -2[/TEX]
[TEX](1)\Leftrightarrow \sqrt{x+7} \geq \sqrt{x+2}+1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x+7 \geq x+3+2\sqrt{x+2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2\sqrt{x+2} \leq 4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x+2} \leq 2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x+2 \leq 4 \Leftrightarrow x \leq 2[/TEX]
Vậy tập nghiệm của bpt là : [TEX]S=[-2;2][/TEX]
1 điểm
Câu 2 : [TEX]\sqrt{x+1}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+22} (1)[/TEX]
ĐK : [TEX]x \geq -1[/TEX]
[TEX](1) \Leftrightarrow 2x+7+2\sqrt{x^2+7x+6}=x+22[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2\sqrt{x^2+2x+6}=-x+15[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4(x^2+7x+6)=x^2+225-30x (x \leq 15)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 3x^2+58x-201=0 \Leftrightarrow x=3 (nhan) ; x=\frac{-67}{3} (loai)[/TEX]
Vậy pt có nghiệm duy nhất [TEX]x=3[/TEX]
1 điểm
Câu 3 :
[TEX](I) \left\{ x^2 +y^2+x+y=8 \\ (xy+x)(xy+y)=12 [/TEX]
Đặt [TEX]S=x+y ; P=xy (S^2 \geq 4P)[/TEX]
Khi đó (I) trở thành : [TEX]\left\{ S^2-2P+S=8 (1) \\ P^2+SP + P =12 (2)[/TEX]
Từ [TEX](*) \Rightarrow P=\frac{S^2+S-8}{2}[/TEX] , thay vào (2) ta được :
[TEX](\frac{S^2+S-8}{2})^2 +S(\frac{S^2+S-8}{2})+\frac{S^2+S-8}{2}=12[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (S^2+S-8)^2+2S(S^2+S-8)+2(S^2+S-8)=48[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow S^4+4S^3-11S^2-30S=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow S= -5 ; 0 ; -2 ; 3 [/TEX]
_ Với [TEX]S=-5 \Rightarrow P= 6 (thoa) [/TEX] , [TEX]x,y[/TEX] là nghiệm của pt : [TEX]X^2+5X+6=0 \Leftrightarrow X=-2 ; X=-3 \Rightarrow (x;y)=(-2;-3) , (-3;-2)[/TEX]
_ Với [TEX]S=0 \Rightarrow P=-4 (thoa) [/TEX], x,y là nghiệm của pt :
[TEX]X^2-4=0 \Leftrightarrow X=2;X=-2 \Rightarrow (x;y)=(2;-2) ,(-2;2)[/TEX]
_ Với [TEX]S=-2 \Rightarrow P=-3 (loai)[/TEX]
_ Với [TEX]S=3 \Rightarrow P=2[/TEX] , x,y là nghiệm của pt : [TEX]X^2-3X+2=0 \Leftrightarrow X=1 ; X=2 \Rightarrow (x;y)=(1;2), (2;1)[/TEX]
Vậy hệ pt đã cho có 6 nghiệm : [TEX](x;y)=(2;-2) ,(-2;2) , (-2;-3) , (-3;-2) , (1;2) , (2;1)[/TEX]
Thiếu đâu 2 nghiệm rồi, trừ 0,25 --> 0,75 điểm
Câu 4 : (I) [TEX]\left\{4x+3y=7xy (1) \\ 2x+y=3xy [/TEX]
Dễ thấy [TEX]x=0;y=0[/TEX] là 1 nghiệm của hệ .
Với [TEX]xy \neq 0[/TEX] , khi đó :
[TEX](I) \Leftrightarrow \left\{ 4x+3y=7xy \\ 4x+2y = 6xy[/TEX]
Trừ vế với vế ta được : [TEX]y=xy \Rightarrow x=1[/TEX]
Thay vào (1) ta được : [TEX]y=1[/TEX]
Vậy pt đã cho có 2 nghiệm : [TEX](x;y)=(0;0) , (1;1)[/TEX]
1 điểm
Câu 5 : [TEX](x+y)(y+z)(z+x)+xyz (1)[/TEX]
Đặt [TEX]a=x+y+z[/TEX]
Khi đó : [TEX](1) = (a-x)(a-y)(a-z)+xyz[/TEX]
[TEX]=a^3 -a^2z-a^2y+ayz-a^2x+axz+axy-xyz[/TEX]
[TEX]=a^3-a^2(x+y+z)+a(xy+yz+zx)[/TEX]
[TEX]=a^3-a^3+a(xy+yz+zx)=a(xy+yz+zx)=(x+y+z)(xy+yz+zx)[/TEX]
1 điểm
Câu 6 : Ta có : [TEX]f(x_A;,y_A).f(x_B,y_B) = -4.(-1) >0[/TEX] => A,B nằm cùng phía đối với [TEX](d)[/TEX]
Lấy [TEX]A'[/TEX] đối xứng [TEX]A[/TEX] qua [TEX](d)[/TEX] .
Do [TEX]AA' \bot (d) \Rightarrow AA': x+y+c=0[/TEX] . Mà [TEX]A(0;5) \in AA' \Rightarrow 0+5+c=0 \Rightarrow c= -5 \Rightarrow AA' : x+y-5=0 [/TEX] .
Tọa độ giao điểm [TEX]H[/TEX] của [TEX](d) -va- AA'[/TEX] là nghiệm của hệ :
[TEX]\left\{ x+y=5 \\ x-y=-1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=2 -va- y=3[/TEX]
Vì A và A' đối xứng nhau qua (d) => H là trung điểm của AA' . Ta dễ dàng tính được tọa độ [TEX]A'(4;1)[/TEX] .
Ta có : [TEX]MA+MB=MA'+MC \geq A'B[/TEX]
Dấu bằng xảy ra [TEX]\Leftrightarrow M \in A'B \Leftrightarrow M= A'B \cap (d)[/TEX] . Dễ dàng viết được pt đường thẳng [TEX]A'B: 3x+2y-14=0[/TEX] , nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ :
[TEX]\left\{ x-y=-1 \\ 3x+2y=14 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=\frac{12}{5} -va- y=\frac{17}{5}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow M(\frac{12}{5};\frac{17}{5})[/TEX] là điểm cần tìm .
1 điểm
Câu 7 : [TEX]H[/TEX] là trực tâm [TEX]\bigtriangleup ABC \Rightarrow AH \bot BC[/TEX] và [TEX]AH[/TEX] cắt [TEX](O)[/TEX] tại [TEX]H' \Rightarrow HH' \bot BC (1)[/TEX] .
Ta có : [TEX]\widehat{BAH'} =\widehat{BCH'}[/TEX] ( cùng chắn cung BH')
Mà : [TEX]\widehat{BAH'}=\widehat{BCH}[/TEX] ( cùng phụ góc ABC)
[TEX]\Rightarrow \widehat{BCH'}=\widehat{BCH}(2)[/TEX]
Từ (1) và (2) => H và H' đối xứng nhau qua BC .
=> H thuộc đường tròn cố định [TEX](O')[/TEX] là ảnh của đường tròn [TEX](O)[/TEX] qua phép đối xứng trục BC .
1 điểm
Câu 10 : Ta có :
[TEX](\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}})^2 \leq 2(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2})[/TEX]
Để CM : [TEX]\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}} \leq \frac{2}{\sqrt{1+xy}}[/TEX] thì ta cần CM :
[TEX]2(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}) \leq \frac{4}{1+xy} [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \leq \frac{2}{1+xy}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (1+y^2)(1+xy)+(1+x^2)(1+xy) \leq 2(1+x^2)(1+y^2)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 1+xy+y^2+y^3x+1+xy+x^2+x^3y \leq 2+2x^2+2y^2+2x^2y^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2xy+xy(x^2+y^2) \leq x^2+y^2+2x^2y^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-y)^2 -xy(x-y)^2 \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-y)^2(1-xy) \geq 0[/TEX] luôn đúng vì [TEX]xy \leq 1[/TEX]
Vậy ta có ĐPCM .
Dấu "=" khi nào
0,75 điểm
Câu 9 : Ta có :
[TEX]P=\frac{x^3(x^4+y^2)-x^3y^2}{x^4+y^2}+\frac{y^3(y^4+z^2)-y^3z^2}{y^4+z^2}+\frac{z^3(z^4+x^2)-z^3x^2}{z^4+x^2}[/TEX]
[TEX]= \sum{x^3-\sum {\frac{x^3y^2}{x^4+y^2}} \geq \sum{x^3-\frac{1}{2}\sum {xy}[/TEX]
Lại có : [TEX]x^3+1+1 \geq 3x[/TEX]
[TEX]y^3+1+1 \geq 3y[/TEX]
[TEX]z^3+1+1 \geq 3z[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^3+y^3+z^3 \geq 3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 3(xy+yz+zx) \leq (x+y+z)^2 =9 \Rightarrow \frac{-1}{2}(xy+yz+zx) \geq \frac{-3}{2} \Rightarrow P \geq \frac{3}{2}[/TEX]
Dấu "=" khi nào, 0,75 điểm
8,25 điểm
Câu 1 : [TEX]\sqrt{x+7}-\sqrt{x+2} \geq 1 (1)[/TEX]
ĐK : [TEX]x \geq -2[/TEX]
[TEX](1)\Leftrightarrow \sqrt{x+7} \geq \sqrt{x+2}+1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x+7 \geq x+3+2\sqrt{x+2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2\sqrt{x+2} \leq 4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x+2} \leq 2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x+2 \leq 4 \Leftrightarrow x \leq 2[/TEX]
Vậy tập nghiệm của bpt là : [TEX]S=[-2;2][/TEX]
1 điểm
Câu 2 : [TEX]\sqrt{x+1}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+22} (1)[/TEX]
ĐK : [TEX]x \geq -1[/TEX]
[TEX](1) \Leftrightarrow 2x+7+2\sqrt{x^2+7x+6}=x+22[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2\sqrt{x^2+2x+6}=-x+15[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4(x^2+7x+6)=x^2+225-30x (x \leq 15)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 3x^2+58x-201=0 \Leftrightarrow x=3 (nhan) ; x=\frac{-67}{3} (loai)[/TEX]
Vậy pt có nghiệm duy nhất [TEX]x=3[/TEX]
1 điểm
Câu 3 :
[TEX](I) \left\{ x^2 +y^2+x+y=8 \\ (xy+x)(xy+y)=12 [/TEX]
Đặt [TEX]S=x+y ; P=xy (S^2 \geq 4P)[/TEX]
Khi đó (I) trở thành : [TEX]\left\{ S^2-2P+S=8 (1) \\ P^2+SP + P =12 (2)[/TEX]
Từ [TEX](*) \Rightarrow P=\frac{S^2+S-8}{2}[/TEX] , thay vào (2) ta được :
[TEX](\frac{S^2+S-8}{2})^2 +S(\frac{S^2+S-8}{2})+\frac{S^2+S-8}{2}=12[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (S^2+S-8)^2+2S(S^2+S-8)+2(S^2+S-8)=48[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow S^4+4S^3-11S^2-30S=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow S= -5 ; 0 ; -2 ; 3 [/TEX]
_ Với [TEX]S=-5 \Rightarrow P= 6 (thoa) [/TEX] , [TEX]x,y[/TEX] là nghiệm của pt : [TEX]X^2+5X+6=0 \Leftrightarrow X=-2 ; X=-3 \Rightarrow (x;y)=(-2;-3) , (-3;-2)[/TEX]
_ Với [TEX]S=0 \Rightarrow P=-4 (thoa) [/TEX], x,y là nghiệm của pt :
[TEX]X^2-4=0 \Leftrightarrow X=2;X=-2 \Rightarrow (x;y)=(2;-2) ,(-2;2)[/TEX]
_ Với [TEX]S=-2 \Rightarrow P=-3 (loai)[/TEX]
_ Với [TEX]S=3 \Rightarrow P=2[/TEX] , x,y là nghiệm của pt : [TEX]X^2-3X+2=0 \Leftrightarrow X=1 ; X=2 \Rightarrow (x;y)=(1;2), (2;1)[/TEX]
Vậy hệ pt đã cho có 6 nghiệm : [TEX](x;y)=(2;-2) ,(-2;2) , (-2;-3) , (-3;-2) , (1;2) , (2;1)[/TEX]
Thiếu đâu 2 nghiệm rồi, trừ 0,25 --> 0,75 điểm
Câu 4 : (I) [TEX]\left\{4x+3y=7xy (1) \\ 2x+y=3xy [/TEX]
Dễ thấy [TEX]x=0;y=0[/TEX] là 1 nghiệm của hệ .
Với [TEX]xy \neq 0[/TEX] , khi đó :
[TEX](I) \Leftrightarrow \left\{ 4x+3y=7xy \\ 4x+2y = 6xy[/TEX]
Trừ vế với vế ta được : [TEX]y=xy \Rightarrow x=1[/TEX]
Thay vào (1) ta được : [TEX]y=1[/TEX]
Vậy pt đã cho có 2 nghiệm : [TEX](x;y)=(0;0) , (1;1)[/TEX]
1 điểm
Câu 5 : [TEX](x+y)(y+z)(z+x)+xyz (1)[/TEX]
Đặt [TEX]a=x+y+z[/TEX]
Khi đó : [TEX](1) = (a-x)(a-y)(a-z)+xyz[/TEX]
[TEX]=a^3 -a^2z-a^2y+ayz-a^2x+axz+axy-xyz[/TEX]
[TEX]=a^3-a^2(x+y+z)+a(xy+yz+zx)[/TEX]
[TEX]=a^3-a^3+a(xy+yz+zx)=a(xy+yz+zx)=(x+y+z)(xy+yz+zx)[/TEX]
1 điểm
Câu 6 : Ta có : [TEX]f(x_A;,y_A).f(x_B,y_B) = -4.(-1) >0[/TEX] => A,B nằm cùng phía đối với [TEX](d)[/TEX]
Lấy [TEX]A'[/TEX] đối xứng [TEX]A[/TEX] qua [TEX](d)[/TEX] .
Do [TEX]AA' \bot (d) \Rightarrow AA': x+y+c=0[/TEX] . Mà [TEX]A(0;5) \in AA' \Rightarrow 0+5+c=0 \Rightarrow c= -5 \Rightarrow AA' : x+y-5=0 [/TEX] .
Tọa độ giao điểm [TEX]H[/TEX] của [TEX](d) -va- AA'[/TEX] là nghiệm của hệ :
[TEX]\left\{ x+y=5 \\ x-y=-1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=2 -va- y=3[/TEX]
Vì A và A' đối xứng nhau qua (d) => H là trung điểm của AA' . Ta dễ dàng tính được tọa độ [TEX]A'(4;1)[/TEX] .
Ta có : [TEX]MA+MB=MA'+MC \geq A'B[/TEX]
Dấu bằng xảy ra [TEX]\Leftrightarrow M \in A'B \Leftrightarrow M= A'B \cap (d)[/TEX] . Dễ dàng viết được pt đường thẳng [TEX]A'B: 3x+2y-14=0[/TEX] , nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ :
[TEX]\left\{ x-y=-1 \\ 3x+2y=14 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=\frac{12}{5} -va- y=\frac{17}{5}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow M(\frac{12}{5};\frac{17}{5})[/TEX] là điểm cần tìm .
1 điểm
Câu 7 : [TEX]H[/TEX] là trực tâm [TEX]\bigtriangleup ABC \Rightarrow AH \bot BC[/TEX] và [TEX]AH[/TEX] cắt [TEX](O)[/TEX] tại [TEX]H' \Rightarrow HH' \bot BC (1)[/TEX] .
Ta có : [TEX]\widehat{BAH'} =\widehat{BCH'}[/TEX] ( cùng chắn cung BH')
Mà : [TEX]\widehat{BAH'}=\widehat{BCH}[/TEX] ( cùng phụ góc ABC)
[TEX]\Rightarrow \widehat{BCH'}=\widehat{BCH}(2)[/TEX]
Từ (1) và (2) => H và H' đối xứng nhau qua BC .
=> H thuộc đường tròn cố định [TEX](O')[/TEX] là ảnh của đường tròn [TEX](O)[/TEX] qua phép đối xứng trục BC .
1 điểm
Câu 10 : Ta có :
[TEX](\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}})^2 \leq 2(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2})[/TEX]
Để CM : [TEX]\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}} \leq \frac{2}{\sqrt{1+xy}}[/TEX] thì ta cần CM :
[TEX]2(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}) \leq \frac{4}{1+xy} [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \leq \frac{2}{1+xy}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (1+y^2)(1+xy)+(1+x^2)(1+xy) \leq 2(1+x^2)(1+y^2)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 1+xy+y^2+y^3x+1+xy+x^2+x^3y \leq 2+2x^2+2y^2+2x^2y^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2xy+xy(x^2+y^2) \leq x^2+y^2+2x^2y^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-y)^2 -xy(x-y)^2 \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-y)^2(1-xy) \geq 0[/TEX] luôn đúng vì [TEX]xy \leq 1[/TEX]
Vậy ta có ĐPCM .
Dấu "=" khi nào
0,75 điểm
Câu 9 : Ta có :
[TEX]P=\frac{x^3(x^4+y^2)-x^3y^2}{x^4+y^2}+\frac{y^3(y^4+z^2)-y^3z^2}{y^4+z^2}+\frac{z^3(z^4+x^2)-z^3x^2}{z^4+x^2}[/TEX]
[TEX]= \sum{x^3-\sum {\frac{x^3y^2}{x^4+y^2}} \geq \sum{x^3-\frac{1}{2}\sum {xy}[/TEX]
Lại có : [TEX]x^3+1+1 \geq 3x[/TEX]
[TEX]y^3+1+1 \geq 3y[/TEX]
[TEX]z^3+1+1 \geq 3z[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^3+y^3+z^3 \geq 3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 3(xy+yz+zx) \leq (x+y+z)^2 =9 \Rightarrow \frac{-1}{2}(xy+yz+zx) \geq \frac{-3}{2} \Rightarrow P \geq \frac{3}{2}[/TEX]
Dấu "=" khi nào, 0,75 điểm
8,25 điểm
Last edited by a moderator:
G
girltoanpro1995
Có cả âm mờ @@~
Ngày còn bé, ta học là " 2 số nguyên tố cùng nhau là 2 số có ước chung là 1"
Lên lớp 9, phải edit thành 1 và -1 ớ ^^!
M
milu_cochuong_310305
trong sách nâng cao thì bạn nên làm dần từ từ. Thường thường bài trước sẽ làm nền cho bài sau và chỉ thêm 1 vài công thức và ít tư duy thôi. Còn nếu bạn ko chắc chắn thì xem phần giải nhưng phải năm rõ được phương pháp giải của họ để sau này khi gặp dạng đề tương tự thì có phương pháp để làm nếu mà chép ko thì suông quá giống như là lớp 3 ý cô đọc gì thì chép nấy là ko được phải hiểu được nó thì mới giỏi được
D
duynhan1
Bài làm quocoanh12345
Câu I:
[TEX]\sqrt{x+7}-\sqrt{x+2}\geq1[/TEX]
ĐK: [TEX]x\geq -2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x+7 \geq x+2 +1 + 2.\sqrt{x+2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2.\sqrt{x+2} \leq 4[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow x \leq 2[/TEX]
So điều kiện KL: [TEX] -2 \leq x \leq 2[/TEX]
1 điểm
Câu II
[TEX]\sqrt{x+1}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+22} \ \ (I)[/TEX]
ĐK: [TEX]x \geq -1[/TEX]
[TEX](I) \Leftrightarrow 2x+7 + \sqrt{(x+1)(x+6)}= x+22 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x^2+7x+6}=-x+15[/TEX] [TEX](x \leq 15)[/TEX]
Từ đây trở về sau sai!
Bình phương 2 vế
[TEX]\Leftrightarrow x^2+7x+6= x^2 -30x+225[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x=\frac{219}{37} (tm\ -1 \leq x \leq 15)[/TEX]
KL:[TEX] x=\frac{219}{37}[/TEX]
0,5 điểm
Câu III
[TEX]\left{x^2+y^2+x+y=8\\(xy+x)(xy+y)=12[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{x.(x+1)+y(y+1)=8\\xy(y+1)(x+1)=12[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{a+b=8\\a.b=12[/TEX]
([TEX]a=x.(x+1); b= y(y+1) [/TEX]
[TEX]a,b \leq \frac{1}{4}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \left{a=6\\b=2(a)\\ [/TEX]
Hoặc [TEX]\left{a=2\\b=6[/TEX]
[TEX](a) \Leftrightarrow \left{x^2+x=6\\y^2+y=2[/TEX]
Tương tự cho trường hợp (b)
KL: [TEX](x;y)= (2;1), (-3;1), (2;-2), (-3;-2)[/TEX]
Thiếu 4 nghiệm trừ 0,5 điểm
Câu IV
[TEX]\left{4x+3y=7xy\\2x+y=3xy[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{4x+3y=7xy\\4x+2y=6xy[/TEX]
Lấy (1)-(2), ta được:
[TEX]\Leftrightarrow \left{4x+3y=7xy\\y=xy [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{4x+3y=7xy\\ \left[y=0\\x=1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[x=y=0\\x=y=1[/TEX]
KL:[TEX] (x;y)= (0;0), (1;1)[/TEX]
1 điểm
Câu V
[TEX]A= (x+y)(y+z)(z+x)+xyz [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow A= 3xyz+x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2y+z^2x[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow A= xy(x+y+z)+zy(x+y+z)+xz(x+y+z)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow A=(x+y+z).(xy+yz+zx) \ (DONE)[/TEX]
1 điểm
Câu VI
Ta có :
[TEX]MA+MB \geq AB [/TEX]
[TEX]"=" \Leftrightarrow M,A,B [/TEX]thẳng hàng
[TEX]\Rightarrow M [/TEX] là giao điểm của[TEX] AB[/TEX] với[TEX] (d)[/TEX]
Dễ dàng lập được [TEX]AB: x+2y-5=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow M(1;2)[/TEX] (tính dễ dàng)
KL: [TEX]M(1;2)[/TEX] thì[TEX] MA+MB [/TEX]đạt [TEX]min[/TEX]
Sai chú ý A và B nằm cùng phía so với d
Câu VII
Lấy [TEX]B' [/TEX]đối xứng với [TEX]B[/TEX] qua [TEX]O[/TEX]
Dễ dàng Cm được[TEX] AB'CH[/TEX] là hình bình hành nhờ các t/c sau:
[TEX]CH[/TEX] // [TEX]B'A[/TEX]
[TEX]AH[/TEX] // [TEX]B'C[/TEX]
Ta có: [TEX]\vec AH= \vec B'C[/TEX]
[TEX]T_{B'C}[/TEX]: [TEX]A \rightarrow H[/TEX] ([TEX]B'C[/TEX] cố định)
SAI!!! Chú ý chỉ có : [TEX]T_{\vec{B'C} }\red[/TEX] không có [TEX]T_{B'C} \red [/TEX]
Do đó khi A thay đổi trên [TEX](O;R)[/TEX] thì [TEX]H[/TEX] di chuyển trên đường tròn là ảnh của (O;R) với phép tịnh tiến theo [TEX]T_{B'C}[/TEX]
KL: Khi A thay đổi trên [TEX](O;R)[/TEX] thì [TEX]H[/TEX] luôn thuộc 1 đường tròn cố định.
0,5 điểm
Câu VIII:
ĐS: 2 hs
Đáp số sai, suy ra biểu đồ ven vẽ bị sai
0 điểm
Câu XIX
[TEX]x+y+z=3[/TEX]
MIN
[TEX]P=\frac{x^7}{x^4+y^2}+\frac{y^7}{y^4+z^2}+\frac{z^7}{z^4+x^2}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow P-(x^3+y^3+z^3)=\frac{x^7}{x^4+y^2}-x^3+\frac{y^7}{y^4+z^2}-y^3+\frac{z^7}{z^4+x^2}-z^3[/TEX]
Ta có:
[TEX] \frac{x^7}{x^4+y^2}-x^3= \frac{x^3.(-y^2)}{x^4+y^2}\geq \frac{-x^3.y}{2x^2.y}=\frac{-x^2}{2} \ (AM-GM)[/TEX](sai)
Tương tự,ta có:
[TEX]P \geq x^3+y^3+z^3- (\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}) \geq \frac{3}{2} [/TEX]
[TEX]MIN P=\frac{3}{2} "=" \Leftrightarrow x=y=z=1[/TEX]
(dễ dàng Cm:
1. [TEX]\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2} \leq \frac{3}{2}[/TEX]
2. [TEX]x^3+y^3+z^3 \geq 3[/TEX]
0,25 điểm
Tổng điểm: 4,75 điểm.
Câu I:
[TEX]\sqrt{x+7}-\sqrt{x+2}\geq1[/TEX]
ĐK: [TEX]x\geq -2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x+7 \geq x+2 +1 + 2.\sqrt{x+2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2.\sqrt{x+2} \leq 4[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow x \leq 2[/TEX]
So điều kiện KL: [TEX] -2 \leq x \leq 2[/TEX]
1 điểm
Câu II
[TEX]\sqrt{x+1}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+22} \ \ (I)[/TEX]
ĐK: [TEX]x \geq -1[/TEX]
[TEX](I) \Leftrightarrow 2x+7 + \sqrt{(x+1)(x+6)}= x+22 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x^2+7x+6}=-x+15[/TEX] [TEX](x \leq 15)[/TEX]
Từ đây trở về sau sai!
Bình phương 2 vế
[TEX]\Leftrightarrow x^2+7x+6= x^2 -30x+225[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x=\frac{219}{37} (tm\ -1 \leq x \leq 15)[/TEX]
KL:[TEX] x=\frac{219}{37}[/TEX]
0,5 điểm
Câu III
[TEX]\left{x^2+y^2+x+y=8\\(xy+x)(xy+y)=12[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{x.(x+1)+y(y+1)=8\\xy(y+1)(x+1)=12[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{a+b=8\\a.b=12[/TEX]
([TEX]a=x.(x+1); b= y(y+1) [/TEX]
[TEX]a,b \leq \frac{1}{4}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \left{a=6\\b=2(a)\\ [/TEX]
Hoặc [TEX]\left{a=2\\b=6[/TEX]
[TEX](a) \Leftrightarrow \left{x^2+x=6\\y^2+y=2[/TEX]
Tương tự cho trường hợp (b)
KL: [TEX](x;y)= (2;1), (-3;1), (2;-2), (-3;-2)[/TEX]
Thiếu 4 nghiệm trừ 0,5 điểm
Câu IV
[TEX]\left{4x+3y=7xy\\2x+y=3xy[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{4x+3y=7xy\\4x+2y=6xy[/TEX]
Lấy (1)-(2), ta được:
[TEX]\Leftrightarrow \left{4x+3y=7xy\\y=xy [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{4x+3y=7xy\\ \left[y=0\\x=1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[x=y=0\\x=y=1[/TEX]
KL:[TEX] (x;y)= (0;0), (1;1)[/TEX]
1 điểm
Câu V
[TEX]A= (x+y)(y+z)(z+x)+xyz [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow A= 3xyz+x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2y+z^2x[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow A= xy(x+y+z)+zy(x+y+z)+xz(x+y+z)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow A=(x+y+z).(xy+yz+zx) \ (DONE)[/TEX]
1 điểm
Câu VI
Ta có :
[TEX]MA+MB \geq AB [/TEX]
[TEX]"=" \Leftrightarrow M,A,B [/TEX]thẳng hàng
[TEX]\Rightarrow M [/TEX] là giao điểm của[TEX] AB[/TEX] với[TEX] (d)[/TEX]
Dễ dàng lập được [TEX]AB: x+2y-5=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow M(1;2)[/TEX] (tính dễ dàng)
KL: [TEX]M(1;2)[/TEX] thì[TEX] MA+MB [/TEX]đạt [TEX]min[/TEX]
Sai chú ý A và B nằm cùng phía so với d
Câu VII
Lấy [TEX]B' [/TEX]đối xứng với [TEX]B[/TEX] qua [TEX]O[/TEX]
Dễ dàng Cm được[TEX] AB'CH[/TEX] là hình bình hành nhờ các t/c sau:
[TEX]CH[/TEX] // [TEX]B'A[/TEX]
[TEX]AH[/TEX] // [TEX]B'C[/TEX]
Ta có: [TEX]\vec AH= \vec B'C[/TEX]
[TEX]T_{B'C}[/TEX]: [TEX]A \rightarrow H[/TEX] ([TEX]B'C[/TEX] cố định)
SAI!!! Chú ý chỉ có : [TEX]T_{\vec{B'C} }\red[/TEX] không có [TEX]T_{B'C} \red [/TEX]
Do đó khi A thay đổi trên [TEX](O;R)[/TEX] thì [TEX]H[/TEX] di chuyển trên đường tròn là ảnh của (O;R) với phép tịnh tiến theo [TEX]T_{B'C}[/TEX]
KL: Khi A thay đổi trên [TEX](O;R)[/TEX] thì [TEX]H[/TEX] luôn thuộc 1 đường tròn cố định.
0,5 điểm
Câu VIII:
ĐS: 2 hs
Đáp số sai, suy ra biểu đồ ven vẽ bị sai
0 điểm
Câu XIX
[TEX]x+y+z=3[/TEX]
MIN
[TEX]P=\frac{x^7}{x^4+y^2}+\frac{y^7}{y^4+z^2}+\frac{z^7}{z^4+x^2}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow P-(x^3+y^3+z^3)=\frac{x^7}{x^4+y^2}-x^3+\frac{y^7}{y^4+z^2}-y^3+\frac{z^7}{z^4+x^2}-z^3[/TEX]
Ta có:
[TEX] \frac{x^7}{x^4+y^2}-x^3= \frac{x^3.(-y^2)}{x^4+y^2}\geq \frac{-x^3.y}{2x^2.y}=\frac{-x^2}{2} \ (AM-GM)[/TEX](sai)
Tương tự,ta có:
[TEX]P \geq x^3+y^3+z^3- (\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}) \geq \frac{3}{2} [/TEX]
[TEX]MIN P=\frac{3}{2} "=" \Leftrightarrow x=y=z=1[/TEX]
(dễ dàng Cm:
1. [TEX]\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2} \leq \frac{3}{2}[/TEX]
2. [TEX]x^3+y^3+z^3 \geq 3[/TEX]
0,25 điểm
Tổng điểm: 4,75 điểm.
Last edited by a moderator:
H
hoang_tu_thien_than198
Cắt phăng đi phần giải là hay nhất đấy
Con người không cưỡng lại cám dỗ đâu
Nhưng nếu làm chừng đó vẫn ngu toán thì cày 10 lần như thế thử xem
làm nhiều ko hẳn bạn sẽ có khả năng tư duy nhưng bạn sẽ có lợi thế là biết được nhiều dạng toán
Không nên bỏ các bài dễ, nắm chắc từng phần và xào nhiều lần một dạng bài!
Thân.
P
pipi2412
Bạn có thể tìm mua ở nhà sách Titan 94 Mạc Đĩnh Chi -Đakao - Q.1. Ở đây bạn còn được tư vấn nên mua những cuốn sách gì cơ, mình mới đến đây mua Bộ TLGK CHuyên Toán 10, hay lắm, hihiCho mình hỏi bạn mua mấy cuốn sách này ở đâu thế, cho mình địa chỉ nhà sách được không?
B
bingot_lovely_sweet
ukm, thank bạn nhé, mình bít làm bài này rồi, các bài còn lại thì sao mấy bạn ơi... :khi (46):
D
duynhan1
L
locxoaymgk
Gọi[TEX] A_{n-1}={a_1;a_2;...,a_{n-1}}[/TEX] có n-1 phàn tử.
Và[TEX] A_n = {a_1;a_2;..a_n-1;{a_n}}[/TEX] có n phần tử.
Giả sử số tập hợp con củ[TEX] A_{n-1}[/TEX] là [TEX]S_{n-1}.[/TEX]
* Với phần tử thứ [TEX]a_n[/TEX] của[TEX] A_n[/TEX] , nếu đem thêm lần lượt vào[TEX] S_n-1 [/TEX]tập hợp con của[TEX] A_n-1[/TEX] , ta có [TEX]S_n-1[/TEX] tập con mới.
Vậy nếu gọi[TEX] S_n[/TEX] là số tập hợp con của[TEX] A_n \Rightarrow S_n =2S_{n-1}. \ (1).[/TEX]
Lý luận tương tự:[TEX] \ \ S_{n-1} =2S_{n-2}.[/TEX]
............................
[TEX]S_2=2S_1[/TEX]
Nhân vế cho vế, sau khi đơn giản ta có:[TEX] S_n =2^{n-1}S_1.[/TEX]
Biết [TEX]S _1 = 2.[/TEX]
[TEX] \Rightarrow S_n=2^n [/TEX]
Last edited by a moderator:
T
thaihang99
giải
bài 2: giả sử cả 3 bpt đều đúng , ta có:
a(1-b) > 1/4
b(1-c) > 1/4
c(1-a)>1/4
\Rightarrow a(1-b)b(1-c)c(1-a)>1/64 ( do a,b,c <1)
\Rightarrow a(1-a)b(1-b) c(1-c) >1/64
\Rightarrow (a - a^2) ( b - b^2 ) ( c- c^2) > 1/64
mặt khác:
a - a^2 = - ( a^2 - a ) = 1/4 - ( a- 1/2)^2 \leq 1/4
tương tự :
b- b^2 \leq 1/4
c - c^2 \leq 1/4
\Rightarrow ( a -a^2) (b-b^2)( c-c^2) \leq 1/64 \Rightarrow mâu thuẫn.B-)[YOUTUBE]hhhhiiiiiihaaa
[/YOUTUBE] xin đừng quên nhấn thanks
T
thaihang99
giải
không mất tính tổng quát giả sử a\leq 0
vì ab+ bc + ca > 0 \Rightarrow ab +ca > -bc > 0
\Rightarrow a( b+c) > 0
\Rightarrow b + c< 0
\Rightarrow a+b+c < 0 \Rightarrow mâu thuẫn>:/
- Status