Xét P(n) : n chia hết cho 5
Q(n) : n bình phương chia hết cho 5
R (n) : n bình phương +1 và n bình phương - 1 đều không chia hết cho 5
c/m các định lí :
a) với mọi n là số tự nhiên , P(n) khi và chỉ khi Q(n)
b) với mọi n là số tự nhiên , P(n) khi và chỉ khi Q(n).
Có thể viết lại đề bài như sau:
[TEX]P(n): \qquad n \vdots 5[/TEX]
[TEX] Q(n): \qquad n^2 \vdots 5[/TEX]
[TEX]R(n): \qquad n^2 \vdots + 1[/TEX] và [TEX] n^2 - 1[/TEX] không chia hết cho 5
a) CM: [TEX]\forall n \in \mathbf{N}, \qquad P(n) \Leftrightarrow Q(n)[/TEX]
[TEX](\Rightarrow)[/TEX] Giả sử có [TEX] n \vdots 5 [/TEX]. Khi đó rõ ràng [TEX]n^2 \vdots 5[/TEX]
[TEX](\Leftarrow)[/TEX] Giả sử [TEX]n^2 \vdots 5[/TEX] thì do 5 là một số nguyên tố nên [TEX] n \vdots 5 [/TEX]
b) CM: [TEX]\forall n \in \mathbf{N}, \qquad P(n) \Leftrightarrow R(n)[/TEX]
[TEX](\Rightarrow)[/TEX] Giả sử có [TEX] n \vdots 5 [/TEX]. Khi đó rõ ràng [TEX]n^2 \vdots + 1[/TEX] và [TEX] n^2 - 1[/TEX] không chia hết cho 5
[TEX](\Leftarrow)[/TEX] Giả sử [TEX]n^2 \vdots + 1[/TEX] và [TEX] n^2 - 1[/TEX] không chia hết cho 5.
Nếu [TEX]n=5k+1 \Rightarrow n^2 - 1 = (5k+1)^2 -1 = 5(5k^2+2k) \vdots 5[/TEX]
Nếu [TEX]n=5k+2 \Rightarrow n^2 + 1 = (5k+2)^2 +1 = 5(5k^2+4k+1) \vdots 5[/TEX]
Nếu [TEX]n=5k+3 \Rightarrow n^2 + 1 = (5k+3)^2 +1 = 5(5k^2+6k+2) \vdots 5[/TEX]
Nếu [TEX]n=5k+4 \Rightarrow n^2 + 1 = (5k+4)^2 -1 = 5(5k^2+8k+3) \vdots 5[/TEX]
Do đó buộc phải có [TEX]n=5k[/TEX], tức là [TEX]n \vdots 5[/TEX]
trong sgk