[Toán 10]Bdt

[quyenuy0241]

Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c\leq 3[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]P=\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}+27(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})\geq 84[/TEX].

$$\frac{a^3}{b^2} +\frac{1}{ab} \ge 2 \sqrt{\frac{a^2}{b^3}}$$
Suy ra
$$\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2} +\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} \ge 2(\sqrt{\frac{a^2}{b^3}}+\sqrt{\frac{b^2}{c^3}}+ \sqrt{\frac{c^2}{a^3}}) \ge 6 \sqrt[6]{\frac{1}{abc}} \ge 6$$
$$26(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}) \ge 26(\frac{9}{ab+ac+bc}) \ge 78$$
Cộng vào là $$OK$$ chứ nhể

 

[rua_it]

Cho a,b,c không âm và [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX]. Chứng minh:

[TEX]\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ca}+\frac{c}{1+ab}\leq \sqrt{2}[/TEX].

$$Note:(\sum a)^2 \leq 2.(bc+1)^2$$

$$\rightarrow LHS =\sum \frac{a}{1+bc} \leq \sum \frac{a.\sqrt{2}}{\sum a} \leq \sqrt{2}(dpcm)$$

 

[rua_it]

Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^2b^2}{c^3(a^2-ab+b^2)}+\frac{b^2c^2}{a^3(b^2-bc+c^2)}+\frac{c^2a^2}{b^3(c^2-ca+a^2)}\geq \frac{3}{ab+bc+ca}[/TEX].

[tex]\frac{a^2b^2}{c^3(a^2-ab+b^2)}+\frac{b^2c^2}{a^3(b^2-bc+c^2)}+\frac{c^2a^2}{b^3(c^2-ca+a^2)}\geq \frac{3}{ab+bc+ca}[/TEX]

[tex]\rightarrow \frac{a^5b^5}{a^3b^3c^3.(a^2-ab+b^2)} \geq \frac{3}{ab+bc+ca}[/TEX]

[tex](gt) \rightarrow \sum \frac{a^5b^5}{a^2-ab+b^2} \geq \frac{3a^3b^3c^3.\sum a}{ab+bc+ca}[/TEX]

$$AM-GM \rightarrow 3a^3b^3c^3.\sum a \leq a^2b^2c^2.(\sum ab)^2$$

Do đó ta chỉ cần phải chứng minh $$LHS =\frac{a^5b^5}{a^2-ab+b^2} \geq a^2b^2c^2.(\sum ab)^2$$

$$\rightarrow \sum \frac{\sum a^3b^3}{(a^2-ab+b^2).c^2} \geq 3.\sum ab$$

Mặt khác [tex]LHS \geq \frac{9.\sum a^3b^3}{2.\sum a^2b^2-a.b.c.\sum a[/tex]

Nên ta cần chứng minh:

$$\frac{9.\sum a^3b^3}{2.\sum a^2b^2-\sum a.a.b.c} \geq 3.\sum ab(1)$$

[tex]Dat:\left{\begin{ x=ab}\\{y=ac}\\{z=bc}[/tex]

$$\rightarrow (1) \leftrightarrow \frac{3.\sum x^3}{2\sum x^2-\sum xy} \geq \sum x$$

$$\rightarrow \sum x^3+3xyz-\sum xy(x+y) \geq 0(*)$$

$$(*)$$ luôn đúng theo $$Schur$$

Bài toán được giải quyết

 

[rua_it]

Cho x,y,z dương. Chứng minh:
[TEX]3(x^2y+y^2z+z^2x)(xy^2+yz^2+zx^2)\geq xyz(x+y+z)^3[/TEX].

$$AM-GM \rightarrow \frac{x^2y}{\sum x^2y} +\frac{x^2z}{\sum xy^2}+\frac{1}{3} \geq 3.\sqrt[3]{\frac{xyz}{3.(\sum x^2y).(\sum xy^2)}}$$

Xây dựng bài toán hoàn toàn tương tự, cộng vế theo vế, ta được:

$$3(\sum x).\sqrt[3]{\frac{xyz}{3.(\sum x^2y).(\sum xy^2)}} \leq 3$$

$$\rightarrow 3.(\sum x^2y).(\sum xy^2) \geq (\sum x)^3.abc(dpcm)$$

 

[namtuocvva18]

Cho các số thưc a,b,c. Chứng minh:
[TEX](a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq (ab+bc+ca-1)^2[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Cho [TEX]x^2+y^2-4x-6y+12=0[/TEX]. Tìm GTLN của: [TEX]P=x^2+y^2[/TEX].
..........

 

[namtuocvva18]

Cho các số thưc x,y,z thoả [TEX]x+y+z=xyz[/TEX]. Tìm GTLN của:
[TEX]P=(x-1)(y-1)(z-1)[/TEX].

 

[cobemuadong_710]

Cho[TEX] a,b,c > 0[/TEX]. CM

[TEX]\frac {a^3 + (a - b)^3}{(a + b)^2} + \frac {b^3 + (b - c)^3}{(b + c)^2} + \frac {c^3 + (c - a)^3}{(c + a)^2} \ge \frac {1}{4}(a + b + c)[/TEX]

 

[silvery21]

với ba số thực`x,y,z` bất kì thỏa `x+y+z=xyz`
Tìm max của `A=(x-1)(y-1)(z-1)`

 

[duonganh1012]

Mình có bài này
Cho [TEX] a+b+c=1[/TEX] chứng minh
[TEX] \frac{1}{3^a}+ \frac{1}{3^b}+ \frac{1}{3^c} \geq 3( \frac{a}{3^a}+ \frac{b}{3^b}+ \frac{c}{3^c})[/TEX]

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX](a+b)(a+c)\geq 2.\sqrt{abc(a+b+c)}[/TEX].

 

[quyenuy0241]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX](a+b)(a+c)\geq 2.\sqrt{abc(a+b+c)}[/TEX].

$$\Leftrightarrow a^2+ab+ac+bc = bc+a(a+b+c) \ge 2.\sqrt{abc(a+b+c)}$$

 

[namtuocvva18]

Thtt

Cho a,b,c dương. Chung minh:
[TEX]\frac{a^2+bc}{a(b+c)}+\frac{b^2+ca}{b(c+a)}+\frac{c^2+ab}{c(a+b)}\geq 3[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Thtt

Cho các số thực a,b,c thoả mãn [TEX]abc>0[/TEX] và [TEX]|ab+bc+ca|=2\sqrt{2010abc}[/TEX]. Chứng minh:
[TEX](a+b-2010)(b+c-2010)(c+a-2010)\leq 0[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Thtt

Cho tam giác không nhọn. Tim GTNN của:
[TEX]P=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}[/TEX].

 

[bigbang195]

Cho a,b,c dương. Chung minh:
[TEX]\frac{a^2+bc}{a(b+c)}+\frac{b^2+ca}{b(c+a)}+\frac{c^2+ab}{c(a+b)}\geq 3[/TEX].

[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)(a-c)}{a(b+c)} \ge 0[/TEX]
Đúng theo Vornicu-Schur

 

[rooney_cool]

Cho tam giác không nhọn. Tim GTNN của:
[TEX]P=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}[/TEX].

Ta có [TEX](a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc \Rightarrow P=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc} \geq 8[/TEX]

 

[quyenuy0241]

Cho [TEX]x^2+y^2-4x-6y+12=0[/TEX]. Tìm GTLN của: [TEX]P=x^2+y^2[/TEX].
..........

$$x^2+y^2=4x+6y-12 \le \sqrt{52(a^2+b^2)}-12$$ (BCS)
$$\Leftrightarrow x^2+y^2-2\sqrt{13(x^2+y^2)}+12 \le 0$$
$$\Rightarrow \sqrt{13}-1\le \sqrt{x^2+y^2} \le \sqrt{13}+1$$
Suy ra $$Max x^2+y^2 = (\sqrt{13}+1)^2$$

 

[herrycuong_boy94]

Ta có [TEX](a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc \Rightarrow P=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc} \geq 8[/TEX]

cách làm này sai rồi nè, do ABC là tam giác không nhọn nên nếu làm như bạn thì 8 là giá trị nhỏ nhất khi ABC là tam giác đều ---> trái giả thiết

 

[quyenuy0241]

Mình có bài này
Cho [TEX] a+b+c=1[/TEX] chứng minh
[TEX] \frac{1}{3^a}+ \frac{1}{3^b}+ \frac{1}{3^c} \geq 3( \frac{a}{3^a}+ \frac{b}{3^b}+ \frac{c}{3^c})[/TEX]

Làm bừa vậy :
Áp dụng BDT chebyshev cho 2 dãy ngược chiều :
$$a,b,c$$
$$\frac{1}{3^a},\frac{1}{3^b},\frac{1}{3^c}$$
$$\frac{1}{3}(a+b+c)( \frac{1}{3^a}+\frac{1}{3^b}+\frac{1}{3^c}) \ge ( \frac{a}{3^a}+ \frac{b}{3^b}+ \frac{c}{3^c})$$