[Toán 10]Bdt

[cobemuadong_710]

bt tết của em nak !!!

1/ [TEX] \frac{1}{{sin}^{2}\frac{A}{2}} + \frac{1}{{sin}^{2}\frac{B}{2}} + \frac{1}{{sin}^{2}\frac{C}{2}} \geq 12[/TEX]

2/ [TEX]\frac{x}{2yz} + \frac{y}{2xz} + \frac{z}{2xy} \geq \frac{1}{x}cosA + \frac{1}{y}cosB + \frac{1}{z}cosC[/TEX]

3/[TEX]\frac{{x}^{2}y}{z} + \frac{{y}^{2}z}{x} + \frac{{z}^{2}x}{y} \geq {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}[/TEX]

4/ [TEX]a,b,c > 0 ; {a}^{2} + {b}^{2} + {c}^{2} = 1 [/TEX]
CM [TEX]\frac{{a}^{2}}{b + c} + \frac{{b}^{2}}{c + a} + \frac{{c}^{2}}{a + b} \geq \frac{1}{2}[/TEX]

5/ Cho tam giác ABC nhọn. Cmr:
[TEX]{tan}^{n}A + {tan}^{n}B + {tan}^{n}C > 3 + \frac{3n}{2}[/TEX] [TEX](n \geq 1)[/TEX]

p/s: ai rảnh thì làm phụ, còn nhiều lắm, bên lượng giác nữa

 

[dandoh221]

a,b,c are positive real number. Then
[TEX]\sum \sqrt{\frac{bc}{a}}%20\ge%20\sqrt{2(a+b+c)+\sqrt{2(a^2+b^2+c^2)+\sqrt{....+\sqrt{2(a^{2^{n-1}}+b^{2^{n-1}}+c^{2^{n-1}})+\sqrt{3(a^{2^n}+b^{2^n}+c^{2^n})}}}}}[/TEX] with [TEX] n \in Z^+[/TEX]

 

[quyenuy0241]

1/ [TEX] \frac{1}{{sin}^{2}\frac{A}{2}} + \frac{1}{{sin}^{2}\frac{B}{2}} + \frac{1}{{sin}^{2}\frac{C}{2}} \geq 12[/TEX]

2/ [TEX]\frac{x}{2yz} + \frac{y}{2xz} + \frac{z}{2xy} \geq \frac{1}{x}cosA + \frac{1}{y}cosB + \frac{1}{z}cosC[/TEX]

3/[TEX]\frac{{x}^{2}y}{z} + \frac{{y}^{2}z}{x} + \frac{{z}^{2}x}{y} \geq {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}[/TEX]

4/ [TEX]a,b,c > 0 ; {a}^{2} + {b}^{2} + {c}^{2} = 1 [/TEX]
CM [TEX]\frac{{a}^{2}}{b + c} + \frac{{b}^{2}}{c + a} + \frac{{c}^{2}}{a + b} \geq \frac{1}{2}[/TEX]

5/ Cho tam giác ABC nhọn. Cmr:
[TEX]{tan}^{n}A + {tan}^{n}B + {tan}^{n}C > 3 + \frac{3n}{2}[/TEX] [TEX](n \geq 1)[/TEX]

p/s: ai rảnh thì làm phụ, còn nhiều lắm, bên lượng giác nữa

Bài 1 nhé:
Cách đơn giản và dễ làm là biến đổi tương đương:
[TEX] \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-2zycosA-2zxcosB-2zycosA \ge 0[/TEX]
[tex] \Leftrightarrow x^2(cos ^2B+sin^2B)+y^2(cos^2A+sin^2A)+z^2-2yzcosA-2xzcosB+2xycos(A+B) \ge 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (xcosB+ycosA-z)^2+(xsinB-ysinA)^2 \ge[/tex] luôn đúng:
bài 4Mình nghĩ là bạn cho đề sai roài:Áp dụng BDT chebyshev cho 2 dãy tăng:
[tex]a^2,b^2,c^2[/tex]
[tex] \frac{1}{b+c},\frac{1}{a+c}, \frac{1}{a+b}[/tex]
ta có:[tex] \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b} \ge \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)( \frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+ \frac{1}{a+b})\ge (a^2+b^2+c^2)( \frac{3}{2(a+b+c)}) \ge \frac{\sqrt{3}}{2} [/tex] do

 

[bigbang195]

3/[TEX]\frac{{x}^{2}y}{z} + \frac{{y}^{2}z}{x} + \frac{{z}^{2}x}{y} \geq {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}[/TEX]

Thu Quy Do^ng` len xem dc co khong chi ^^ !

 

[quyenuy0241]

1/ [TEX] \frac{1}{{sin}^{2}\frac{A}{2}} + \frac{1}{{sin}^{2}\frac{B}{2}} + \frac{1}{{sin}^{2}\frac{C}{2}} \geq 12[/TEX]

2/ [TEX]\frac{x}{2yz} + \frac{y}{2xz} + \frac{z}{2xy} \geq \frac{1}{x}cosA + \frac{1}{y}cosB + \frac{1}{z}cosC[/TEX]

3/[TEX]\frac{{x}^{2}y}{z} + \frac{{y}^{2}z}{x} + \frac{{z}^{2}x}{y} \geq {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}[/TEX]

4/ [TEX]a,b,c > 0 ; {a}^{2} + {b}^{2} + {c}^{2} = 1 [/TEX]
CM [TEX]\frac{{a}^{2}}{b + c} + \frac{{b}^{2}}{c + a} + \frac{{c}^{2}}{a + b} \geq \frac{1}{2}[/TEX]

5/ Cho tam giác ABC nhọn. Cmr:
[TEX]{tan}^{n}A + {tan}^{n}B + {tan}^{n}C > 3 + \frac{3n}{2}[/TEX] [TEX](n \geq 1)[/TEX]

p/s: ai rảnh thì làm phụ, còn nhiều lắm, bên lượng giác nữa

Bài 1 nhé:
viết lại:
[tex]3+cot\frac{A}{2}+cot\frac{B}{2}+cot\frac{C}{2} \ge 3+3.\sqrt[3]{(cot\frac{A}{2}.cot\frac{B}{2}.cot\frac{C}{2})^2}[/tex]

Hơn nũa:
ta có hệ thức:[tex]cot \frac{A}{2}.cot \frac{B}{2}.cot\frac{C}{2}=cot\frac{A}{2}+.cot \frac{B}{2}+cot\frac{C}{2} \ge 3\sqrt[3]{cot \frac{A}{2}.{cot\frac{B}{2}.cot\frac{C}{2}}[/tex]
Nên [tex]cot\frac{A}{2}.cot\frac{B}{2}.cot\frac{C}{2} \ge 3 \sqrt{3}[/tex]
Do vậy: [tex]Vt \ge 3+3.3 =12[/tex]
[tex]OK[/tex]

 

[quyenuy0241]

3/[TEX]\frac{{x}^{2}y}{z} + \frac{{y}^{2}z}{x} + \frac{{z}^{2}x}{y} \geq {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}[/TEX]

Theo BCS:
[TEX](\frac{{x}^{2}y}{z} + \frac{{y}^{2}z}{x} + \frac{{z}^{2}x}{y})(\frac{{x}^{2}z}{y} + \frac{{y}^{2}x}{z} + \frac{{z}^{2}y}{x}) \geq ({x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2})^2[/TEX]
Vậy CM
[TEX]\frac{{x}^{2}y}{z} + \frac{{y}^{2}z}{x} + \frac{{z}^{2}x}{y} \ge \frac{{x}^{2}z}{y} + \frac{{y}^{2}x}{z} + \frac{{z}^{2}y}{x} (1)[/TEX] là [tex]OK[/tex]
thật vậy[tex] (1) \Leftrightarrow \frac{1}{xyz}.(x-y)(y-z)(x-z)(xy+yz+xz) \ge 0 [/tex]luôn đúng với mọi a,b,c>0 [tex]Xong[/tex]
(*)Không bít cách này có đúng không nữa:
Áp dụng BDT hoán vị :cho 2 bộ số giảm :
[tex]x,y,z [/tex]
Và [tex] \frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}[/tex]
Nên[tex]VT=\frac{{x}^{2}y}{z} + \frac{{y}^{2}z}{x} + \frac{{z}^{2}x}{y} \ge \frac{{x}^{2}z}{z} + \frac{{y}^{2}x}{x} + \frac{{z}^{2}y}{y}=x^2+y^2+z^2[/tex]

 

[dandoh221]

[TEX]\frac{{x}^{2}y}{z} + \frac{{y}^{2}z}{x} + \frac{{z}^{2}x}{y} \ge \frac{{x}^{2}z}{y} + \frac{{y}^{2}x}{z} + \frac{{z}^{2}y}{x} (1)[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \frac{1}{xyz}.(x-y)(y-z)(x-z)(xy+yz+xz) \ge 0 [/tex]luôn đúng với mọi a,b,c>0 Xong

:khi (2):cái này luôn đúng hả anh. e thì ngu nhưng vẫn thấy ko ổn:khi (185):. Thế có ai làm bài của mình mới post ko L-)

 

[cobemuadong_710]

Theo BCS:
[TEX](\frac{{x}^{2}y}{z} + \frac{{y}^{2}z}{x} + \frac{{z}^{2}x}{y})(\frac{{x}^{2}z}{y} + \frac{{y}^{2}x}{z} + \frac{{z}^{2}y}{x}) \geq ({x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2})^2[/TEX]
Vậy CM
[TEX]\frac{{x}^{2}y}{z} + \frac{{y}^{2}z}{x} + \frac{{z}^{2}x}{y} \ge \frac{{x}^{2}z}{y} + \frac{{y}^{2}x}{z} + \frac{{z}^{2}y}{x} (1)[/TEX] là [tex]OK[/tex]
thật vậy[tex] (1) \Leftrightarrow \frac{1}{xyz}.(x-y)(y-z)(x-z)(xy+yz+xz) \ge 0 [/tex]luôn đúng với mọi a,b,c>0 [tex]Xong[/tex]
Không bít cách này có đúng không nữa:
Áp dụng BDT hoán vị :cho 2 bộ số giảm :
[tex]x,y,z [/tex]
Và [tex] \frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}[/tex]
Nên[tex]VT=\frac{{x}^{2}y}{z} + \frac{{y}^{2}z}{x} + \frac{{z}^{2}x}{y} \ge \frac{{x}^{2}z}{z} + \frac{{y}^{2}x}{x} + \frac{{z}^{2}y}{y}=x^2+y^2+z^2[/tex]

Thanks mọi người nhưng để em làm thử đã, chưa làm mấy bài này nên chưa dám coi bài giải của bạn :">

@quyenuy0241: thanks bạn nhiều nha :-*
@bigbang195: Quy đồng lên có nước die đó em

 

[cobemuadong_710]

Mà có ai làm ra bài cuối chưa?
Bđt mà đưa LG vào thì cũng chưa học nhiều, ai có tài liệu thì share cho em
p/s: Đang làm chuyên đề bđt AM-GM, ai có tài liệu gì thì pm em luôn, thanks nhiều lắm :X

 

[quyenuy0241]

:khi (2):cái này luôn đúng hả anh. e thì ngu nhưng vẫn thấy ko ổn:khi (185):. Thế có ai làm bài của mình mới post ko L-)

Không ổn chỗ nào em ??????? Anh mới chỉ trên ý tưởng mới post bài lên thui !!!

 

[dandoh221]

em nghĩ là bdt hoán vị ko cho phép giả sử x \geq y \geq z nên [TEX]\frac{1}{xyz}(x-y)(y-z)(x-z)(xy+yz+xz) \geq 0[/TEX] là ko đúng

 

[quyenuy0241]

x; y; z ko âm
x+y+z =1
tìm min ;max P= xy+yz+zx- 27xyz

Bạn xem lại nha :
[tex]P=xy+yz+zx-2xyz[/tex] hay[tex] P= xy+yz+zx- 27xyz[/tex]

 

[namtuocvva18]

3/[TEX]\frac{{x}^{2}y}{z} + \frac{{y}^{2}z}{x} + \frac{{z}^{2}x}{y} \geq {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}[/TEX]
[/TEX]

p/s: ai rảnh thì làm phụ, còn nhiều lắm, bên lượng giác nữa

Bài trên là bài thi VMO 1991
Bài có điều kiện [TEX]x\geq y\geq z>0[/TEX].

 

[quyenuy0241]

5/ Cho tam giác ABC nhọn. Cmr:
[TEX]{tan}^{n}A + {tan}^{n}B + {tan}^{n}C > 3 + \frac{3n}{2}[/TEX] [TEX](n \geq 1)[/TEX]

p/s: ai rảnh thì làm phụ, còn nhiều lắm, bên lượng giác nữa

Nốt câu cuối nhá:
[tex]tan^nA+1+1...+1 \ge n. tanA[/tex] (n-1 số 1)
tương tự : lại có[tex] tanA+tanB+tanC \ge 3 \sqrt{3}[/tex]
[tex]tan^nA+tan^nB+tan^nC \ge n(tanA+tanB+tanC) - 3(n-1) \ge 3+3n \sqrt{3}-3n =3+3.(\sqrt{3}-1).n > 3+\frac{3n}{2}[/tex] Do [tex] \sqrt{3}-1>\frac{1}{2}[/tex]
Chẳng bít có đúng không nữa!!!! sai thì I am sorry nhé!!!

 

[namtuocvva18]

5/ Cho tam giác ABC nhọn. Cmr:
[TEX]{tan}^{n}A + {tan}^{n}B + {tan}^{n}C > 3 + \frac{3n}{2}[/TEX] [TEX](n \geq 1)[/TEX]

p/s: ai rảnh thì làm phụ, còn nhiều lắm, bên lượng giác nữa

Ta có:
[TEX] tanAtanB.tanC\geq 3\sqrt{3}[/TEX]
Áp dụng BDT Cauchy
[TEX]{tan}^{n}A + {tan}^{n}B + {tan}^{n}C\geq 3\sqrt[3]{(tanA.tanB.tanC)^n}\geq 3\sqrt{3^n} >3+\frac{3n}{2}[/TEX]
dpcm.

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương và [TEX]abc=2[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}+\frac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}+\frac{c^4+a^4}{ca(c^3+a^3)}\geq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{2}}[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX](\frac{bc+a}{1+a}).(\frac{ca+b}{1+b}). (\frac{ab+c}{1+c})\geq abc[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương thoả mãn: [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]. Chứng minh:

[TEX] \frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}+ \frac{b}{\sqrt{b^2+c+a}}+ \frac{c}{\sqrt{c^2+a+b}}\leq \sqrt{3}[/TEX].

 

[bigbang195]

3/[TEX]\frac{{x}^{2}y}{z} + \frac{{y}^{2}z}{x} + \frac{{z}^{2}x}{y} \geq {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}[/TEX]

[TEX]=x^2(\frac{y}{z}-1)+y^2(\frac{z}{x}-1)+z^2(\frac{x}{y}-1)[/TEX]
[TEX]=(x^2-y^2)(\frac{y}{z}-1)+(y^2-z^2)(\frac{y}{z}+\frac{z}{x}-2)+z^2(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}-3)[/TEX]

Dung voi' dk[TEX] x \ge y \ge z[/TEX]

 

[rua_it]

Cho a,b,c duong và [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Ch?ng minh:

[TEX]\frac{1}{ab+2c^2+2c}+\frac{1}{bc+2a^2+2a}+\frac{1}{ca+2b^2+2b}\geq \frac{1}{ab+bc+ca}[/TEX].

[tex]\sum \frac{1}{ab+2c^2+2c} \geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{6a^2b^2c^2+\sum a^3b^3+2abc(ab+bc+ca)}[/tex]

Do đó ta chỉ cần phải chứng minh [tex](\sum ab)^3 \geq 6a^2b^2c^2+\sum a^3b^3+2abc(ab+bc+ca)[/tex]

[tex] 3.(a+b).(b+c).(c+a).abc \geq 6a^2b^2c^2+2abc(\sum ab)[/tex]

[tex](gt) & AM-GM \rightarrow \frac{1}{3}= \frac{\sum a}{3} \geq \sqrt[3]{abc} [/tex]

[tex]\Rightarrow \sum ab \geq 3.\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \geq 9abc[/tex]

Ta cần:

[tex]\frac{9}{4}.(a+b).(a+c).(b+c).abc \geq 2abc.(\sum ab)(1)[/tex]

[tex]\rightarrow 9.(a+b).(b+c).(c+a) \geq 8.(\sum ab).abc[/tex]

[tex](gt) \rightarrow a+b+c=1 \rightarrow 9.(1-a).(1-b).(1-c) \geq 8.abc.(\sum ab)[/tex]

[tex]\rightarrow \sum ab \geq 9abc[/tex]

[tex]\rightarrow \frac{3}{4}.(a+b).(a+c).(b+c).abc \geq 6a^2b^2c^2(2)[/tex]

[tex]\rightarrow (1-a).(1-b).(1-c) \geq 8.abc[/tex]

[tex]\rightarrow \sum ab \geq 8abc+\sum a[/tex]

[tex](1)&(2) \rightarrow LHS \geq \frac{1}{\sum ab}(dpcm)[/tex]