Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^2b^2}{c^3(a^2-ab+b^2)}+\frac{b^2c^2}{a^3(b^2-bc+c^2)}+\frac{c^2a^2}{b^3(c^2-ca+a^2)}\geq \frac{3}{ab+bc+ca}[/TEX].
[tex]\frac{a^2b^2}{c^3(a^2-ab+b^2)}+\frac{b^2c^2}{a^3(b^2-bc+c^2)}+\frac{c^2a^2}{b^3(c^2-ca+a^2)}\geq \frac{3}{ab+bc+ca}[/TEX]
[tex]\rightarrow \frac{a^5b^5}{a^3b^3c^3.(a^2-ab+b^2)} \geq \frac{3}{ab+bc+ca}[/TEX]
[tex](gt) \rightarrow \sum \frac{a^5b^5}{a^2-ab+b^2} \geq \frac{3a^3b^3c^3.\sum a}{ab+bc+ca}[/TEX]
[tex]AM-GM \rightarrow 3a^3b^3c^3.\sum a \leq a^2b^2c^2.(\sum ab)^2[/tex]
Do đó ta chỉ cần phải chứng minh [tex]LHS =\frac{a^5b^5}{a^2-ab+b^2} \geq a^2b^2c^2.(\sum ab)^2[/tex]
[tex]\rightarrow \sum \frac{\sum a^3b^3}{(a^2-ab+b^2).c^2} \geq 3.\sum ab[/tex]
Mặt khác [tex]LHS \geq \frac{9.\sum a^3b^3}{2.\sum a^2b^2-a.b.c.\sum a[/tex]
Nên ta cần chứng minh:
[tex]\frac{9.\sum a^3b^3}{2.\sum a^2b^2-\sum a.a.b.c} \geq 3.\sum ab(1)[/tex]
[tex]Dat:\left{\begin{ x=ab}\\{y=ac}\\{z=bc}[/tex]
[tex] \rightarrow (1) \leftrightarrow \frac{3.\sum x^3}{2\sum x^2-\sum xy} \geq \sum x[/tex]
[tex]\rightarrow \sum x^3+3xyz-\sum xy(x+y) \geq 0(*)[/tex]
[tex] (*)[/tex] luôn đúng theo [tex]Schur[/tex]
Bài toán được giải quyết
