[Toán 10]Bdt

[quyenuy0241]

mình chưa hiểu bài trên bạn dùng định lý gì hay cách để chứng mình vậy ? chỉ kĩ hộ mình với.

Cái chỉ biến đổi tương đương là ra thui bạn ạ !!!
Hoặc đấy chính là bất đẳng thức bunhiacopki 2 sô:

 

[boon_angel_93]

Giải
a)$$a^2+b^2\geq\frac{(a+b)^2}{2}=\frac{1}{2}$$
b)$$a^4+b^4\geq\frac{(a^2+b^2)^2}{2}=\frac{1}{8}$$

dùng BDT Bu nhi .... cũng được ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
[TEX](a+b)^2\leq(a^2+b^2).(1^2+1^2)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(a^2+b^2)\geq\frac{1}{2}[/TEX]
câu dưới tt..............

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=\frac{3}{4}[/TEX]. Tim Min:
[TEX]P=\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}[/TEX].

 

[quyenuy0241]

Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=\frac{3}{4}[/TEX]. Tim Min:
[TEX]b}P=\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}[/TEX].

Áp dụng BDT AM-GM
ta có$$1.1.\sqrt[3]{a+3b}\leq\frac{a+3b+2}{3}$$
[tex]P=\sum{\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}\geq\sum{\frac{3}{a+3b+2}}\geq\frac{27}{4(a+b+c)+6}=3 \Rightarrow Min P=3 \Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{4}[/tex]

 

[rua_it]

Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=\frac{3}{4}[/TEX]. Tim Min:
[TEX]P=\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}[/TEX].

$$Dat: M=(a+3b)+(b+3c)+(c+3a)=\frac{3}{4}+3.\frac{3}{4}=3$$

$$Holder \Rightarrow P^3.M=(\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+ \frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+ \frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}})^3.[(a+3b)+(b+3c)+(c+3a)]$$

$$\geq (a+b+c)^4$$
$$\Rightarrow P^3 \geq 9$$

$$\Rightarrow P \geq 3$$

Vậy $$P_{min}=3$$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $$a=b=c=\frac{1}{4}$$

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương và [TEX]ab+bc+ca=1[/TEX]. Chung minh:
[TEX]\sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}+\sqrt[3]{\frac{1}{b}+6c}+\sqrt[3]{\frac{1}{c}+6a}\leq \frac{1}{abc}[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^3+b^3}{(a+b)^3}+\frac{b^3+c^3}{(b+c)^3}+ \frac{c^3+a^3}{(c+a)^3}\geq \frac{3}{4}[/TEX].

 

[quyenuy0241]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^3+b^3}{(a+b)^3}+\frac{b^3+c^3}{(b+c)^3}+ \frac{c^3+a^3}{(c+a)^3}\geq \frac{3}{4}[/TEX].

Áp dụng BDt AM-GM
ta có:
$$a^3+b^3\geq\frac{(a+b)^3}{4}$$

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca[/TEX].

 

[quyenuy0241]

Cho a,b,c dương và [TEX]ab+bc+ca=1[/TEX]. Chung minh:
[TEX]\sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}+\sqrt[3]{\frac{1}{b}+6c}+\sqrt[3]{\frac{1}{c}+6a}\leq \frac{1}{abc}[/TEX].

$$\sum{\sqrt{3}.\sqrt{3}.\sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}}\leq\sum{\frac{6\sqrt{3}+\frac{1}{a}+6b}{3}}$$
ta có :$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+6(a+b+c)=\frac{ab+bc+ac+6abc(a+b+c)}{abc}\leq\frac{3}{abc}$$ do ta luôn có $$(ab+ac+bc)^2 \ge 3abc(a+c+b)$$
Suy ra
[TEX]\sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}+\sqrt[3]{\frac{1}{b}+6c}+\sqrt[3]{\frac{1}{c}+6a}\leq \frac{6\sqrt{3}+\frac{3}{abc}}{9}\leq(1)\frac{1}{abc}[/TEX]
(1) đúng do$$abc\leq \frac{1}{3\sqrt{3}}$$suy ra$$\frac{2\sqrt{3}}{3}\leq\frac{2}{3abc}$$
SAi thì mong mọi người thông cảm

 

[rua_it]

Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca[/TEX].

$$2.(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)$$

Do đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $$a^2+b^2+c^2+2.(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \geq 9$$

Luôn đúng theo $$AM-GM$$

$$a+\sqrt{a}+\sqrt{a} \geq a$$

$$b+\sqrt{b}+\sqrt{b} \geq b$$

$$c+\sqrt{c}+\sqrt{c} \geq c$$

$$a^2+b^2+c^2+2.(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \geq 3.(a+b+c) \geq 9$$

Vậy ta được dpcm.

 

[vodichhocmai]

poster by :lekhanhsy

[TEX]\blue\huge Cho\ \ x_1,x_2,....,x_n\in$$0;1$$\ \ \ \ \ k\ge s\ge 1\in N[/TEX] [TEX]Cmr:[/TEX]

[TEX]\blue \huge\sum_{i=1}^n\[\frac{x_i^s}{S+\frac{n\(k-s\)}{s}+1-x_i^s}\]\le \frac{s}{k}[/TEX]

[TEX]\blue \huge Voi:\ \ S=x_1^k+x_2^k+..+x_n^k[/TEX]

 

[quyenuy0241]

$$2.(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)$$

Liệu có đúng khộng vậy bạn mày nghĩ là sai roài:khi (186)::khi (186)::khi (186)::khi (184)::khi (184)::khi (184): Phải sửa thành thế này chứ:
$$a^2+\sqrt{a}+\sqrt{a} \geq 3a$$

$$b^2+\sqrt{b}+\sqrt{b} \geq 3b$$

$$c^2+\sqrt{c}+\sqrt{c} \geq 3c$$

 

[vodichhocmai]

cho a,b,c dương và $$a+b+c=3$$. Chứng minh:
$$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$$.

$$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=9$$

Ta can chung minh

[TEX]\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge \frac{9-a^2+b^2+c^2}{2}[/TEX]

[TEX]2\sqrt{a}+a^2+2\sqrt{b}+b^2+2\sqrt{c}+c^2\ge 9[/TEX]

[TEX]AmGm\\ \righ \sqrt{a}+\sqrt{a}+a^2\ge 3a[/TEX]

[TEX] \sqrt{b}+\sqrt{b}+a^2\ge 3b[/TEX]

[TEX]\sqrt{c}+\sqrt{c}+c^2\ge 3c[/TEX]

[TEX]\righ 2\sqrt{a}+a^2+2\sqrt{b}+b^2+2\sqrt{c}+c^2\ge 3(a+b+c)=9[/TEX]

[TEX]Done!![/TEX]

 

[kido_b]

$$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=9$$

Ta can chung minh

[TEX]\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge \frac{9-a^2+b^2+c^2}{2}[/TEX]

[TEX]2\sqrt{a}+a^2+2\sqrt{b}+b^2+2\sqrt{c}+c^2\ge 9[/TEX]

[TEX]AmGm\\ \righ \sqrt{a}+\sqrt{a}+a^2\ge 3a[/TEX]

[TEX] \sqrt{b}+\sqrt{b}+a^2\ge 3b[/TEX]

[TEX]\sqrt{c}+\sqrt{c}+c^2\ge 3c[/TEX]

[TEX]\righ 2\sqrt{a}+a^2+2\sqrt{b}+b^2+2\sqrt{c}+c^2\ge 3(a+b+c)=9[/TEX]

[TEX]Done!![/TEX]

Bài này cũng giống bài ở trên thôi mà anh.

 

[vodichhocmai]

$$holder \rightarrow p^3.m=(\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+ \frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+ \frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}})^3.[(a+3b)+(b+3c)+(c+3a)]$$
$$\geq (a+b+c)^4$$

$$\ \ge (1+1+1)^4 \ \ \$$

Coi có nhầm chổ ào không em ?

 

[bigbang195]

Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=\frac{3}{4}[/TEX]. Tim Min:
[TEX]P=\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}[/TEX].

Trực tiếp [TEX]AM-GM[/TEX]
[TEX]\sqrt[3]{(a+3b)(b+3c)(c+3a)} \le \frac{4}{3}(a+b+c)[/TEX]
[TEX]DONE![/TEX]

 

[namtuocvva18]

Cho x,y,z dương và [TEX]2\sqrt{xy}+\sqrt{xz}=1[/TEX]. Tìm GTNN của:
[TEX]P=\frac{3yz}{x}+\frac{4zx}{y}+\frac{5xy}{z}[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX](a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3)\geq (a+b+c)^3[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Cho x,y,z dương và [TEX]xyz=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]2(x^2+y^2+z^2)+3\geq 3(x+y+z)[/TEX].