[Toán 10]Bdt

[bigbang195]

Cho x,y,z dương và [TEX]xyz=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]2(x^2+y^2+z^2)+3\geq 3(x+y+z)[/TEX].

[TEX]\left{x^2+y^2+z^2 \ge \frac{(x+y+z)^2}{3} \\ x+y+z \ge 3[/TEX]

đặt [TEX]x+y+x=a[/TEX] . chỉ cần chứng minh
[TEX]\frac{2}{3}a^2+3-3a \ge 0 \Leftrightarrow (a-3)(a-1,5) \geq 0[/TEX] đúng

 

[bigbang195]

Cho x,y,z dương và [TEX]xyz=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]2(x^2+y^2+z^2)+3\geq 3(x+y+z)[/TEX].

[TEX]x^2+x^2+1 \ge 3x[/TEX]
Thừa điều kiện . .

 

[bigbang195]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX](a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3)\geq (a+b+c)^3[/TEX].

By [TEX]AM-GM[/TEX]

[TEX]\left{ a^5+a^5+1+1+1 \ge 5a^2 \\ a^5+a^5+a^5+1+1 \ge 5a^3 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow 5a^5+5 \ge 5(a^2+a^3)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a^5+1 \ge a^2+a^3[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a^5-a^2+3 \ge a^3+2[/TEX]

[TEX]Holder:(a^3+1+1)(1+b^3+1)(1+1+c^3) \ge (a+b+c)^3[/TEX]

 

[namtuocvva18]

[tex]x^2+x^2+1 \ge 3x[/tex]
thừa điều kiện . .

???????
...............
.....................
............

 

[bigbang195]

???????
...............
.....................
............

em nhầm tương [TEX]x^3[/TEX] .
Sorry:-SS

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương và [TEX]a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=a^2b^2c^2[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^2b^2}{c^3(a^2+b^2)}+ \frac{b^2c^2}{a^3(b^2+c^2)}+ \frac{c^2a^2}{b^3(c^2+a^2)}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}[/TEX].

 

[namtuocvva18]

cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chưng minh:
[TEX]\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ca}+\frac{\sqrt{abc}}{c+ab}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}[/TEX].

 

[bigbang195]

Cho a,b,c dương và [TEX]a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=a^2b^2c^2[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^2b^2}{c^3(a^2+b^2)}+ \frac{b^2c^2}{a^3(b^2+c^2)}+ \frac{c^2a^2}{b^3(c^2+a^2)}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}[/TEX].

Đặt [TEX]\frac{1}{a^2}=x,\frac{1}{b^2}=y,\frac{1}{z^2}=z[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x+y+z=1[/TEX]
Bất đẳng thức trở thành
[TEX]\frac{x\sqrt{x}}{yz}+\frac{y\sqrt{y}}{xz}+\frac{z\sqrt{z}}{xy} \ge \frac{\sqrt{3}}{{2}} [/TEX]
Theo Cauchy-Schwarz
[TEX]Vt=\sum_{sym} \frac{x^2}{yz\sqrt{x}} \ge \frac{1}{\sum xy\sqrt{z}}[/TEX]

Sử dụng

[TEX]ab\sqrt{c}=\sqrt{3}ab.\sqrt{c.\frac{1}{3}} \le \frac{\sqrt{3}}{2}ab(\frac{1}{3}+c) [/TEX]

 

[bigbang195]

cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chưng minh:
[TEX]\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ca}+\frac{\sqrt{abc}}{c+ab}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}[/TEX].

sao cái cuối lại là[TEX] \sqrt{abc}[/TEX] mà không là c vậy anh, lạ quá ha...........................!

 

[quyenuy0241]

Đặt [TEX]\huge a=\frac{x^2}{yz},b=\frac{y^2}{xz},c=\frac{z^2}{xy}[/TEX]​

thì BDT trở thành

[TEX]\huge \sum \sqrt{\frac{\frac{x^2}{yz}}{\frac{y^2}{xz}+8}} =\sum \sqrt{\frac{x^3}{y^3+8xyz}}[/TEX]​

Theo BDT Holder

[TEX]\huge (\sum \sqrt{\frac{x^3}{y^3+8xyz}})^2(\sum x^3+24xyz) \ge (x+y+z)^3 \ge (\sum x^3+24xyz)[/TEX]

[TEX]\huge \Rightarrow \sum \sqrt{\frac{x^3}{y^3+8xyz}} \ge 1[/TEX]
Điều Phải chứng minh

Bài này không cần đến những BĐT như Holder
Nếu đặt[tex]\sqrt[3]{x}=a,\sqrt[3]{y}=a,\sqrt[3]{z}=c[/tex]
Thì Bất đẳng thức yêu cầu cần CM tương đương với :
[tex]\sum{sqrt{\frac{a^3}{b^3+8}}}\geq\sum{\sqrt{\frac{a^4}{(ab+2a)(b^2-2b+4))}}}\geq\frac{2(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac+12}\ge 1(1)[/tex]
Quy đống 1 nhận thấy luôn được ĐPCM(Chú ý rằng abc=1)

 

[namtuocvva18]

Cho x,y,z dương và [TEX]xyz\geq xy+yz+zx[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]xyz\geq 3(x+y+z)[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Cho các số thực a,b vói a#0. Chung minh:
[TEX]a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{b}{a}\geq \sqrt{3}[/TEX].

 

[vodichhocmai]

Cho các số thực a,b vói a#0. Chung minh:
[TEX]a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{b}{a}\geq \sqrt{3}[/TEX].

[TEX]\left{a^2+\frac{3}{4a^2}\ge \sqrt{3}\\|x|+x\ge 0\ \ \ \ \ [/TEX]

[TEX]Done!! [/TEX]

 

[namtuocvva18]

Cho [TEX]1 \geq a \geq b>0[/TEX]. Chung minh: [TEX]\frac{a^3b^2+a^2+b^3}{1+a^2+b^2}\geq ab[/TEX].

 

[quyenuy0241]

Cho x,y,z dương và [TEX]xyz\geq xy+yz+zx[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]xyz\geq 3(x+y+z)[/TEX].

đặt[tex] \frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c[/tex]
Cần CM [tex]1 \geq 3(ab+ac+bc)[/tex]
Nên có :
[tex]1 \geq a+b+c \Leftrightarrow 1\geq(a+b+c)^2[/tex]
Luôn có:
[tex]1 \geq(a+b+c)^2 \geq 3(ab+ac+bc) [/tex]

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương và [TEX]ab+bc+ca=1[/TEX]. Chung minh:
[TEX]\frac{a}{b(1+a^2)}+\frac{b}{c(1+b^2)}+\frac{c}{a(1+c^2)}\geq \frac{9}{4}[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c khong am. Chứng minh:
[TEX]\sqrt[4]{abcd}\leq \sqrt[3]{\frac{abc+bcd+cda+dab}{4}}[/TEX].

 

[quyenuy0241]

Cho a,b,c khong am. Chứng minh:
[TEX]\sqrt[4]{abcd}\leq \sqrt[3]{\frac{abc+bcd+cda+dab}{4}}[/TEX].

thực chất là AM- GM trực tiếp : 4 số:
[tex]abc+bcd+cda+dab \ge 4 \sqrt[4]{(abcd)^3}[/tex]

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương và [TEX]abc=1[/TEX]. Chứng minh:

[TEX]\frac{1}{(a+1)^2+b^2+1}+\frac{1}{(b+1)^2+c^2+1}+ \frac{1}{(c+1)^2+a^2+1}\leq \frac{1}{2}[/TEX].

 

[bigbang195]

Cho a,b,c dương và [TEX]abc=1[/TEX]. Chứng minh:

[TEX]\frac{1}{(a+1)^2+b^2+1}+\frac{1}{(b+1)^2+c^2+1}+ \frac{1}{(c+1)^2+a^2+1}\leq \frac{1}{2}[/TEX].

[TEX]=\sum \frac{1}{a^2+2a+1+b^2+1} \le \sum \frac{1}{2ab+2a+2}[/TEX]
vậy chỉ cần chứng minh
[TEX]\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ac+c+1} = 1[/TEX]

kêt hợp [TEX]abc=1[/TEX] ta được
[TEX]\frac{1}{ab+a+1} =\frac{abc}{ab+a+abc}=\frac{bc}{b+1+bc}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{ac+c+1}=\frac{abc}{ac+c+abc}=\frac{abc}{ac+abc^2+abc}=\frac{b}{1+bc+b}[/TEX]
DONE