[Toán 10]Bdt

[quyenuy0241]

Cho a,b,c là độ dai 3 cạnh tam giác. Chung minh:
[TEX](3-\frac{b+c}{a})(3-\frac{c+a}{b})(3-\frac{a+b}{c})\leq 1[/TEX].

Bài này dùng AM-GM trực tiếp:a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác nên luôn có $$3-\frac{b+c}{a},3-\frac{c+a}{b},3-\frac{a+b}{c}>0.$$
[TEX](3-\frac{b+c}{a})(3-\frac{c+a}{b})(3-\frac{a+b}{c})\le\frac{(9-\sum{\frac{b+c}{a}})^3}{27}[/TEX]
Vậy chỉ cần CM:
$$\sum{\frac{b+c}{a}}\ge 6$$ là ok cái này thì dùng AM-GM 6 số .Xong
Có thể nhầm chỗ nào chăng????? sai chỗ nào thì mong bạn nhắc nhở

 

[vodichhocmai]

Cho x,y,z dương. Tìm GTNN của:
[TEX]P= \frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4} -\frac{x^2}{y^2}-\frac{y^2}{x^2}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}[/TEX].

[TEX]|t|=\|\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\|\ge 2[/TEX]

[TEX]\left{ \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}=t^2-2\\\frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4}=t^4-4t^2+2[/TEX]

[TEX]P:=t^4-3t^2+t+4\ge t^2+t+4\ge 4-2+4=6[/TEX]

[TEX]\min_{|t|\ge 2} P_{(t=-2)}:=6\ \ \ \ [/TEX]

 

[vodichhocmai]

Cho a,b,c dương và [TEX]ab+bc+ca=3[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{1+a^2(b+c)}+\frac{1}{1+b^2(c+a)}+\frac{1}{1+c^2(a+b)}\leq\frac{1}{abc}[/TEX] .

[TEX]Strong[/TEX]

[TEX]\frac{1}{1+a^2(b+c)}+\frac{1}{1+b^2(c+a)}+\frac{1}{1+c^2(a+b)}\leq\frac{3}{2+abc}[/TEX]

 

[bigbang195]

[TEX]Strong[/TEX]

[TEX]\frac{1}{1+a^2(b+c)}+\frac{1}{1+b^2(c+a)}+\frac{1}{1+c^2(a+b)}\leq\frac{3}{2+abc}[/TEX]

anh ơi cho em hỏi là \geq hay \leq ạ
Em hỏi thêm là sin 1 số thực là gì ạ

 

[rua_it]

PRO OF DAY 17/12/2009
cho các số thực dương a,b,c. chứng minh
$$\frac{{{a^4}}}{{{a^3} + abc + {b^3}}} + \frac{{{b^4}}}{{{b^3} + abc + {c^3}}} + \frac{{{c^4}}}{{{c^3} + abc + {a^3}}} \ge \frac{{a + b + c}}{3}$$

$$\sum_{cyc} \frac{a^4}{a^3+abc+b^3}=\sum_{cyc} [\frac{a.(a^3+abc+b^3)-a^2bc-ab^3}{a^3+abc+b^3}]=\sum_{cyc} [a-\frac{ab.(ac+b^2)}{a^3+abc+b^3}]$$
$$AM-GM \Rightarrow a^3+abc+b^3 \geq 3.\sqrt[3]{a^3.abc.b^3}=3.ab.\sqrt[3]{abc}$$
$$\Rightarrow \sum_{cyc} \frac{a^4}{a^3+abc+b^3} \geq \sum_{cyc} [a- \frac{ac+b^2}{3.\sqrt[3]{abc}}] \geq\frac{\sum a}{3}$$

 

[kido_b]

$$\sum \frac{a^3+2abc}{b+c} \geq \frac{(a+b+c)^2}{2}$$

 

[kido_b]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac {a+b+c}{3}[/TEX].

Bài này tương tự
$$\sum_{cyc} \frac{a^3}{a^2+ab+b^2} =\sum_{cyc} \frac{a(a^2+ab+b^2)-ab^2+b^2}{a^2+ab+b^2} \geq \sum_{cyc} [a-\frac{ab.(a+b)}{(a^2+ab+b^2)}] \geq_{AM-GM} \sum_{cyc} (a-\frac{a+b}{3}) \geq \sum_{cyc} \frac{a}{3}(dpcm)$$

 

[cobemuadong_710]

bài của em chìm dần vào lãng quên ....

Tiếp cái nữa đi, dễ hơn bài trước :

[TEX]a, b, c \geq 1[/TEX]
[TEX] \sum \frac{1}{1 + {a}^{3}} \geq \frac{3}{1 + abc}[/TEX]

 

[vodichhocmai]

Tiếp cái nữa đi, dễ hơn bài trước :

[TEX]a, b, c \geq 1[/TEX]
[TEX] \sum \frac{1}{1 + {a}^{3}} \geq \frac{3}{1 + abc}[/TEX]

[TEX]\blue xy\ge 1\righ \frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3}\ge \frac{2}{1+\sqrt{x^3y^3}}\ \ (!!)[/TEX]

[TEX]\red(Inequality)\Leftrightarrow \sum_{cyclic} $\frac{1}{1+a^3}$+\frac{1}{1+abc}\ge \frac{4}{1+abc}[/TEX]

[TEX]\blue(!!)\righ LHS\ge \frac{2}{1+\sqrt{a^3b^3}}+\frac{2}{1+\sqrt{c^3.abc}}\ge \frac{4}{1+abc}[/TEX]

[TEX]\red Done!![/TEX]

 

[bigbang195]

$$\sum \frac{a^3+2abc}{b+c} \geq \frac{(a+b+c)^2}{2}$$

ai giải bài này dùm em với. Định làm Chebyshev's inequality nhưng không đc,nản

 

[kira_l]

ai giải bài này dùm em với. Định làm Chebyshev's inequality nhưng không đc,nản

$$(a^3+b^3+c^3+2abc).(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+ \frac{1}{c+a}) \geq \frac{5}{2}.(a^2+b^2+c^2) \\ \rightarrow \frac{(p^2-12Rr+2r^2).(p^2+4Rr+r^2)}{4R.r} \geq \frac{5}{2}.(p^2-8Rr-2r^2);$$
[tex]Xet: \left{\begin{f(x)=VT-VP}\\{t=p^2\geq 0}\\{t \geq 16Rr-5r^2} [/tex]
[tex]\Rightarrow f'(t)=\frac{2t-8Rr+3r^2}{4Rr}-\frac{5}{2}={\frac{2t-18R.r+3r^2}{3Rr} \geq 0[/tex]
$$\frac{16Rr-5r^2+\frac{r^2(R-2r)}{R}-12Rr+2r^2)(16Rr-5r^2+4Rr+r^2)}{4Rr} \geq \frac{5}{2}.(16Rr-5r^2+\frac{r^2(R-2r)}{R}-8Rr-2r^2 \\ \rightarrow \frac{(4R-3r+\frac{r.(R-2r)}{R}.(5R-r)}{R} \geq \frac{5}{2}.(8R-7r+\frac{r.(R-2r)}{R}) \\ \rightarrow (20R^2-19Rr+3r^2).2+\frac{2r.(R-2r)(5R-r)}{R} \geq 40R^2-35Rr+5r(R-2r) \\ \frac{2r.(R-2r)(5R-r)}{R} \geq 8r(R-2r) \rightarrow R\geq r \rightarrow dpcm$$

 

[bigbang195]

$$(a^3+b^3+c^3+2abc).(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+ \frac{1}{c+a}) \geq \frac{5}{2}.(a^2+b^2+c^2) \\ \rightarrow \frac{(p^2-12Rr+2r^2).(p^2+4Rr+r^2)}{4R.r} \geq \frac{5}{2}.(p^2-8Rr-2r^2);$$
[tex]Xet: \left{\begin{f(x)=VT-VP}\\{t=p^2\geq 0}\\{t \geq 16Rr-5r^2} [/tex]
[tex]\Rightarrow f'(t)=\frac{2t-8Rr+3r^2}{4Rr}-\frac{5}{2}={\frac{2t-18R.r+3r^2}{3Rr} \geq 0[/tex]
$$\frac{16Rr-5r^2+\frac{r^2(R-2r)}{R}-12Rr+2r^2)(16Rr-5r^2+4Rr+r^2)}{4Rr} \geq \frac{5}{2}.(16Rr-5r^2+\frac{r^2(R-2r)}{R}-8Rr-2r^2 \\ \rightarrow \frac{(4R-3r+\frac{r.(R-2r)}{R}.(5R-r)}{R} \geq \frac{5}{2}.(8R-7r+\frac{r.(R-2r)}{R}) \\ \rightarrow (20R^2-19Rr+3r^2).2+\frac{2r.(R-2r)(5R-r)}{R} \geq 40R^2-35Rr+5r(R-2r) \\ \frac{2r.(R-2r)(5R-r)}{R} \geq 8r(R-2r) \rightarrow R\geq r \rightarrow dpcm$$

Bạn sử dụng công cụ cao quá, GLA. chưa học nên hiểu cũng mệt
|

 

[quyenuy0241]

Mọi người làm bài này nhé tuy dễ nhưng mà hay:
cho x,y,z>0 thoả mãn xy+xz+yx=3xyz:khi (38)::khi (38)::khi (38)::khi (38):Tìm Min của:
$$\sum{\frac{yz\sqrt{1+3x^2}}{3xz+yz}}$$:khi (17)::khi (17)::khi (17):

 

[mathvn]

[TEX]a,b,c[/TEX] dương . Chứng minh
[TEX]\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}+\frac{1}{2} \ge \frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}[/TEX]

BĐT \Leftrightarrow[TEX]ab+bc+ca\ge \frac{2abc}{a+b}+\frac{2abc}{b+c}+\frac{2abc}{c+a}+[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}[/TEX]......

 

[bigbang195]

[TEX]a,b,c[/TEX] dương , Chứng minh nếu
[TEX]a^2+b^2+c^2+2abc=1[/TEX] thì tồn tại [TEX]x,y,z[/TEX] sao cho
[TEX]a=\sqrt{\frac{xy}{(x+z)(y+z)}},b=\sqrt{\frac{yz}{(y+x)(z+x)}},c=\sqrt{\frac{xz}{(x+y)(z+y)}[/TEX]

 

[ascheriit]

[TEX]a,b,c[/TEX] dương , Chứng minh nếu
[TEX]a^2+b^2+c^2+2abc=1[/TEX] thì tồn tại [TEX]x,y,z[/TEX] sao cho
[TEX]a=\sqrt{\frac{xy}{(x+z)(y+z)}},b=\sqrt{\frac{yz}{(y+x)(z+x)}},c=\sqrt{\frac{xz}{(x+y)(z+y)}[/TEX]

Đặt ẩn theo hàm cos. Chú ý [TEX]cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1[/TEX] với mọi tam giác ABC.

 

[bigbang195]

Đặt ẩn theo hàm cos. Chú ý [TEX]cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1[/TEX] với mọi tam giác ABC.

cái này em chịu tại đã học đến Lượng Giác đâu ạ, mà có giải thì anh làm hẳn hoi cả bài đi ạ
Thanks anh!

 

[vodichhocmai]

cái này em chịu tại đã học đến Lượng Giác đâu ạ, mà có giải thì anh làm hẳn hoi cả bài đi ạ
Thanks anh!

Đây chỉ là đẳng thức có gì mà suy nghĩ bigbang195....................

 

[bigbang195]

Đây chỉ là đẳng thức có gì mà suy nghĩ bigbang195....................

anh chỉ ra cách đặt như vậy đi ạ, chưa học thì làm sao biết đc ạ

 

[bigbang195]

Let a,b,c be positive real number such that
[TEX]\frac{1}{a^2+b^2+4}+\frac{1}{b^2+c^2+4}+\frac{1}{a^2+c^2+4} \ge \frac{3}{2}[/TEX]
Prove that .
[TEX]ab+bc+ac \le \frac{3}{4}[/TEX]