[Toán 10]Bdt

[vodichhocmai]

Để bên này luôn nha silvery93

giúp nhé'

16; min=?? [TEX]K = 5 cot^2 A + 16 cot^2 B +27 cot^2 C[/TEX]

[TEX]\left{ab+bc+ca=1\\k=5a^2+16b^2+27c^2[/TEX]

Gọi các biến them vào là trọng số điều chỉnh .

[TEX]K=(x+y)a^2+(z+t)b^2+(m+n)c^2[/TEX]

[TEX]\righ\left{ xa^2+tb^2\ge 2\sqrt{xt}ab\\ zb^2+mc^2\ge 2\sqrt{zm}bc\\ ya^2+nc^2\ge 2\sqrt{yn}ac[/TEX]

[TEX]\righ K\ge 2\(\sqrt{xt}ab+\sqrt{zm}bc+\sqrt{yn}ac\)[/TEX]

Chú ý rằng đẳng thức xảy ra.

[TEX]\righ\left{ xa^2=tb^2\\ zb^2=mc^2\\ ya^2=nc^2[/TEX]

Sau đó ta chọn trọng số điều chỉnh thích hợp sau cho :

[TEX](!)\righ\left{ xzn=tmn\\xt=zm=yn=\Delta[/TEX]

Ta lại có :

[TEX](x+y)(z+t)(m+n)=2160\Leftrightarrow (x+y+z+t+m+n).\Delta +2xzn=2160[/TEX]

[TEX]\righ 48\Delta +2\sqrt{\Delta^3}-2160=0 [/TEX]

[TEX]\righ 2 l^3+48l^2-2160=0\ \ \ \ l=\sqrt{\Delta }[/TEX]

[TEX]\righ l=6[/TEX]

[TEX]\righ K\ge 12[/TEX]

Vậy bài toán chứng minh xong .
________________________________________________________________

Sau khi giải bài nay ta rút ra một cách tách nhanh sau : [TEX]\blue K=(3+2)x^2+(12+4)y^3+(18+9)z^2=\(3x^2+12y^2\)+(2x^2+18z^2)+(4y^2+9z^2\)\ge 12(xy+yz+zx)=12[/TEX]

[TEX]\blue\righ \min_K=12[/TEX]

 

[bigbang195]

cho a,b,c >0:cm
[TEX]\sqr[3]{(a+b)^2}+\sqr[3]{(b+c)^2}+\sqr[3]{(a+c)^2}\leq \sqr[3]{12(a+b+c)^2}[/TEX]

ra là vậy:Holder inequa
[TEX](a+b+b+c+a+c)^2(1+1+1) \ge VT^3[/TEX]

 

[bigbang195]

bên diễn đàn TH
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: a+b+c=abc. Chứng minh:
[tex] \sqrt{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2} \ge \sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1} \ge 2\sqrt{ab+bc+ca}[/tex]

 

[bigbang195]

Cách hai:

[TEX]\frac{ab}{1-ab} =\frac{2ab}{a^2+b^2+2(c^2+d^2)+(a-b)^2}\le \frac{2ab}{a^2+b^2+2(c^2+d^2)}\le \frac{1}{2}\(\frac{a^2}{a^2+c^2+d^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2+d^2}\) [/TEX]

Xây dựng bài toán tương tự , cộng vế theo vế ta được điều phải chứng minh .

Bài làm có vấn đề thì pảhi /

 

[silvery93]

ra là vậy:Holder inequa
[TEX](a+b+b+c+a+c)^2(1+1+1) \ge VT^3[/TEX]

ra là vậy là thế nào ; cái đề bài này # đó

cho a,b,c >0:cm
[TEX]\sqr[3]{(a+b)^2}+\sqr[3]{(b+c)^2}+\sqr[3]{(a+c)^2}\geq\sqr[3]{4}.\sqr[3]{(a+b+c)^2}[/TEX]

thanks thầy lem' đoá:|

 

[vodichhocmai]

Bài làm có vấn đề thì pảhi /

Có gì là gì em , có gì không , nhưng nếu có gì đi nữa anh cũng không giải

Bước cuối cùng là Holder và cauchy của bước kế cuối cùng.

 

[silvery93]

[TEX]\left{ab+bc+ca=1\\k=5a^2+16b^2+27c^2[/TEX]

[TEX]\blue K=(3+2)x^2+(12+4)y^3+(18+9)z^2=\(3x^2+12y^2\)+(2x^2+18z^2)+(4y^2+9z^2\)\ge 12(xy+yz+zx)=12[/TEX]

dấu = thì góc A; B; C = bao nhiêu độ ạ

 

[vodichhocmai]

dấu = thì góc A; B; C = bao nhiêu độ ạ

Đẳng thức xảy ra khi:

[TEX]x=2y\\x=3z\\y=3/2z\\xy+yz+zx=1[/TEX]

Tới đây kho nhẻ em thế vào Ko được [TEX]silvery[/TEX]

cho a,b,c >0:cm

[TEX]\sqr[3]{(a+b)^2}+\sqr[3]{(b+c)^2}+\sqr[3]{(a+c)^2}\geq\sqr[3]{4}.\sqr[3]{(a+b+c)^2}[/TEX]

Bài này mà giải bằng phương pháp trọng số thì ( hộc máu anh Đài )

[TEX]\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+ \sqrt[3]{z^2}\ge \sqrt[3]{(x+y+z)^2} [/TEX]

[TEX]\righ\left{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+ \sqrt[3]{z^2}\ge 9\\x+y+z=27[/TEX]

 

[vodichhocmai]

T sẽ box cho em bằng lời giải Lagrang sau:

[TEX]\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+ \sqrt[3]{z^2}\ge \sqrt[3]{(x+y+z)^2} [/TEX]

[TEX]\righ\left{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+ \sqrt[3]{z^2}\ge 9\\x+y+z=27[/TEX]

Nếu em có bài giải thì xin em box lên , bài này nó không đúng với nhân tử lagrang .Do đó sợ không tồn tại đẳng thức .

T sẽ box cho em bằng lời giải Lagrang sau

Thank.

 

[cobemuadong_710]

1/ Cho [TEX]x, y, z [/TEX] và[TEX]\epsilon \left[1 ;\right2].[/TEX] CM:
[TEX]\sum x .\sum \frac{1}{x} \leq 10[/TEX]


2/Cho [TEX]{a}_{1}, {a}_{2},..., {a}_{n} > 0[/TEX]
[TEX]{H}_{n}= \frac{\sum {a}_{1}}{n} [/TEX]
[TEX]{G}_{n}= \sqrt[n]{\prod {a}_{1}} [/TEX]
Cho [TEX]1 \leq k \leq n[/TEX] và [TEX]0 \leq {a}_{1} \leq ... \leq {a}_{n}[/TEX].Cm
a/ [TEX]{H}_{k - 1} \leq {H}_{k}[/TEX]
b/ [TEX]{G}_{k - 1}\leq {G}_{k}[/TEX]
c/ [TEX]{a}_{k} \leq \frac{{{H}_{k}}^{k}}{{{H}_{k - 1}}^{k - 1}}[/TEX]

 

[bigbang195]

bên diễn đàn TH
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: a+b+c=abc. Chứng minh:
[tex] \sqrt{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2} \ge \sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1} \ge 2\sqrt{ab+bc+ca}[/tex]

Lời giải của mình
[TEX]VT \ge \frac{2(a+b+c)}{\sqrt{3}}[/TEX]
vậy chỉ cần cm:
[TEX]2(a+b+c) \ge \sum \sqrt{3a^2+3}[/TEX]
hay
[TEX]\sum (2a-\sqrt{3a^2+3})=\sum \frac{4a^2-3a^2-3}{2a+\sqrt{3a^2+3}}[/TEX]
[TEX]=\frac{a^2-3}{2a+\sqrt{3a^2+3}} =\frac{a-\frac{3}{a}}{2+\sqrt{3+\frac{3}{a^2}}} \ge 0[/TEX]
theo bdt Chebyshev
[TEX]Vt \ge \frac{1}{3}(\sum a-3\sum \frac{1}{a})(\sum \frac{1}{2+\sqrt{3+\frac{3}{a^2}}}) \ge 0[/TEX]
đúng v“ :
[TEX]3\sum \frac{1}{a}=3\frac{\sum ab}{abc}=\frac{3\sum ab}{a+b+c} \le a+b+c[/TEX]
---------------------------------------------------------------------------------------------
Theo mincopki
ta có
[TEX]\sum \sqrt{a^2+1} \ge \sqrt{(a+b+c)^2+9}[/TEX]
vậy chỉ cần CM
[TEX](a+b+c)^2+9 \ge 4(ab+bc+ac)[/TEX]
hay
[TEX](a+b+c)^2+\frac{9abc}{a+b+c} \ge 4(ab+bc+ac)[/TEX]
Schur inequality !

 

[quyenuy0241]

Làm bài này nhé không quá khó :nếu đề sai thì pm lên nhé
cho a,b>o và điều kiện [tex]b+a=2a^3.b^2[/tex]
Tìm min của :[tex]A=b^2.a^2+b.a^3+1[/tex]

 

[vodichhocmai]

poster by khanhsy

[TEX]\left{a,b,c>0\\abc=1\\CMR:\frac{1}{a+b^4+c^4}+ \frac{1}{b+c^4+a^4}+ \frac{1}{c+a^4+b^4}\le 1[/TEX]

 

[bigbang195]

[TEX]\left{a,b,c>0\\abc=1\\CMR:\frac{1}{a+b^4+c^4}+ \frac{1}{b+c^4+a^4}+ \frac{1}{c+a^4+b^4}\le 1[/TEX]

Cauchy-Schwarz
[TEX]VT=\sum \frac{1+1+a^3}{(1+1+a^3)(b^4+c^4+a)} \le \sum \frac{2+a^3}{(a^2+b^2+c^2)^2} =\frac{6+a^2+b^2+c^2}{(a^2+b^2+c^2)} [/TEX]
chỉ cần CM
[TEX](a^2+b^2+c^2)^2 \ge a^3+b^3+c^3+6[/TEX]
hay
[TEX]\left{\sum (ab)^2 \ge 6\\ \sum a^4 \ge \sqrt[3]{abc} \sum a^3=\sum a^3[/TEX]
[TEX]Done !!![/TEX]

 

[vodichhocmai]

[TEX]\left{a,b,c>0\\abc=1\\CMR:\frac{1}{a+b^4+c^4}+ \frac{1}{b+c^4+a^4}+ \frac{1}{c+a^4+b^4}\le 1[/TEX]

[TEX]\left{\frac{1}{a+b^4+c^4}\le \frac{a}{a^2+b^2+c^2}\\a^2+b^2+c^2\ge a+b+c[/TEX]

[TEX]Done!![/TEX]

 

[bigbang195]

[TEX]x,y,z[/TEX] dương thỏa mãn [TEX]xyz=1[/TEX].Chứng minh
[TEX]\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{2}{(x+1)(y+1)(z+1)} \ge 1[/TEX]

 

[vodichhocmai]

[TEX]x,y,z[/TEX] dương thỏa mãn [TEX]xyz=1[/TEX].Chứng minh
[TEX]\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{2}{(x+1)(y+1)(z+1)} \ge 1[/TEX]

[TEX]\(Schur\):\left{a=\frac{1}{1+x}\\b=\frac{1}{1+y}\\c=\frac{1}{1+z}\\(1-a)(1-b)(1-c)=abc[/TEX]

 

[quyenuy0241]

Lâu không lên thấy nhộn nhịp quá : Mọi người cùng làm nhé :
choa a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác CMR:
[tex](1+\frac{b-c}{a})(1+\frac{c-a}{b})(1+\frac{a-b}{c})\le 3[/tex]
Mà nhớ cẩn thận không nhầm đấy nha!!!(đơn giản lém)

 

[bigbang195]

PRO OF DAY 17/12/2009
cho các số thực dương a,b,c. chứng minh

[tex]\frac{{{a^4}}}{{{a^3} + abc + {b^3}}} + \frac{{{b^4}}}{{{b^3} + abc + {c^3}}} + \frac{{{c^4}}}{{{c^3} + abc + {a^3}}} \ge \frac{{a + b + c}}{3}[/tex]

Bài anh quyenuy chỉ cần quy đồng lên và Schur ko cần chỉ cần đk dương đủ rùi anh

 

[thijk]

cho mình hỏi một bài anh nào làm được thì bày nhanh cho mình cái ( càng nhanh càng tốt) đề như sau : CMR a³/b+b³/c+c³/a lớn hơn bằng ab+bc+ab ( thông cảm nhé đề hơi khó đọc vì mình chưa biết đánh dấuphân số...v..v.. ai đó bày giúp với luôn ,cảm ơn nhiều.)