[Toán 10]Bdt

[vodichhocmai]

[TEX]a,b,c[/TEX] dương . Chứng minh
[TEX]\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}+\frac{1}{2} \ge \frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}[/TEX]

[TEX]\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}-1 \ge \frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}-\frac{3}{2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{\sum_{sym} (a-b)^2}{2(ab+bc+ca)}\ge \sum_{sym}\frac{(a-b)^2}{2(c+a)(c+b)}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sum_{sym}(a-b)^2$\frac{1}{2(ab+bc+ca)}-\frac{1}{2(c+a)(c+b)}$\ge 0[/TEX]

bất đẳng thức trên luôn đúng .

 

[tohsaka1694]

Ai giải lại cái bài cho abcd = 1 cm gì có mũ 4 cái

 

[bigbang195]

[TEX]a,b,c [/TEX]dương. Chứng Minh
[TEX]\sum \frac{a^3}{b^4+c^4} \ge \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
Em làm như sau
[TEX]\Longrightarrow[/TEX]
[TEX]\sum [a(\frac{a^3}{b^3+c^3}-\frac{1}{2})] \ge 0[/TEX]
[TEX]\Longrightarrow [/TEX]
[TEX]\sum a[\frac{a^3-c^3+a^3-b^3}{2(b^3+c^3)}] \ge 0[/TEX]
hay
[TEX]\sum [a\frac{(a-b)(a^2-ab+b^2)-(c-a)(c^2-ac+a^2)}{2(b^3+c^3)}] [/TEX]
[TEX]=\sum (a-b)^2(a^2-ab-b^2)(\frac{1}{b^3+c^3}-\frac{1}{a^3+c^3}) \ge 0[/TEX]
Em định làm [TEX]=[/TEX] SOS nhưng
Đến đây em ko biết làm thế nào nữa ai giúp em

 

[vodichhocmai]

[TEX]a,b,c [/TEX]dương. Chứng Minh
[TEX]\sum \frac{a^3}{b^4+c^4} \ge \frac{a+b+c}{2}[/TEX]

Rõ ràng rằng bất đẳng thức đề cho là sai , làm sao ta chứng minh được bây giờ trời ơi

 

[silvery93]

mấy bài dễ nhưng mờ vẫn fải nhờ giúp

giải dễ hỉu nhé ( đừng tắt quá )

giải nhanh nữa tối t cần gấp

3; a; b ; c > 0

cm : [TEX]\frac{a^3 }{b^3} + \frac{b^3 }{c^3} + \frac{c^3 }{a^3} \geq \frac{a }{b} + \frac{b }{c}+\frac{c }{a[/TEX]}

4; a; b ; c; d > 0 cm [TEX] \frac{a^2 }{b^5} + \frac{b^2}{c^5} + \frac{c^2 }{d^5} + \frac{d^2 }{a^5}\geq \frac{1 }{a^3} + \frac{1 }{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1 }{d^3}[/TEX]

6; a; b ; c > 0 cm [TEX]\sqrt{\frac{a^3 }{b^3}}+ \sqrt{\frac{b^3 }{c^3}}+ \sqrt{\frac{c^3 }{a^3}}\geq \frac{a }{b} + \frac{b }{c}+\frac{c }{a}[/TEX]

7; a+b+c =3/a ; a; b ; c > 0

cm [TEX]\sqrt[3]{a+3b}+ \sqrt[3]{b+3c}+ \sqrt[3]{c+3a} \leq 3[/TEX]

8; [TEX]a \geq 2 ; b\geq3 ; c \geq 4[/TEX] . tìm max

[TEX]P = \frac{ab ( \sqrt{ c -4} +bc \sqrt{a-2} + ac \sqrt{b-3} }{abc}[/TEX]

11; [TEX]a; b; b > 0 abc=1[/TEX] ; tìm min

[TEX]Q=\frac{bc}{a^2(b+c)} + \frac{ca}{b^2( c+a)} +\frac{ab}{c^2(a+b)} [/TEX]

14 ( BK) max =??[TEX] y = cos^px . sin ^q x[/TEX] ( x thuộc [TEX][0; \pi/2] [/TEX]; p; q thuộc N > 1)

16; min=?? [TEX]K = 5 cot^2 A + 16 cot^2 B +27 cot^2 C[/TEX]

21;[TEX] x ; y; z > 0[/TEX] ; tìm min

[TEX]S = \sqrt[3]{4 ( x ^3 +y^3 ) } + \sqrt[3]{4 ( z ^3 +y^3 ) } + \sqrt[3]{4 ( x ^3 +z^3 ) } + 2 ( \frac{x}{y^2}+ \frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2 })[/TEX]

thanhks :|:|:|:|

 

[rooney_cool]

mấy bài dễ nhưng mờ vẫn fải nhờ giúp

giải dễ hỉu nhé ( đừng tắt quá )

giải nhanh nữa tối t cần gấp

3; a; b ; c > 0

cm : [TEX]\frac{a^3 }{b^3} + \frac{b^3 }{c^3} + \frac{c^3 }{a^3} \geq \frac{a }{b} + \frac{b }{c}+\frac{c }{a[/TEX]}

4; a; b ; c; d > 0 cm [TEX] \frac{a^2 }{b^5} + \frac{b^2}{c^5} + \frac{c^2 }{d^5} + \frac{d^2 }{a^5}\geq \frac{1 }{a^3} + \frac{1 }{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1 }{d^3}[/TEX]

6; a; b ; c > 0 cm [TEX]\sqrt{\frac{a^3 }{b^3}}+ \sqrt{\frac{b^3 }{c^3}}+ \sqrt{\frac{c^3 }{a^3}}\geq \frac{a }{b} + \frac{b }{c}+\frac{c }{a}[/TEX]

7; a+b+c =3/a ; a; b ; c > 0

cm [TEX]\sqrt[3]{a+3b}+ \sqrt[3]{b+3c}+ \sqrt[3]{c+3a} \leq 3[/TEX]

Bạn tìm lại trong topic này mấy bài nhé. Hình như có vài bài trùng đấy

 

[silvery93]

Bạn tìm lại trong topic này mấy bài nhé. Hình như có vài bài trùng đấy

ưm` bài nào trùng rồi thì thôi

còn lại thì giúp t nghen

 

[rua_it]

4; a; b ; c; d > 0 cm [TEX] \frac{a^2 }{b^5} + \frac{b^2}{c^5} + \frac{c^2 }{d^5} + \frac{d^2 }{a^5}\geq \frac{1 }{a^3} + \frac{1 }{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1 }{d^3}[/TEX]

Theo AM-GM, ta có:
[tex]\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+ \frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^3} \geq 5.\sqrt[5]{[\frac{a^2}{b^5}]^3.[\frac{1}{a^3}]^2[/tex]
$$\Rightarrow \frac{3a^2}{b^5}+\frac{2}{a^3} \geq \frac{5}{b^3}$$
CM tương tự, ta có:
$$\frac{3b^2}{c^5}+\frac{2}{b^3} \geq \frac{5}{c^3}$$
$$\frac{3c^2}{d^5}+\frac{2}{c^3} \geq \frac{5}{d^3}$$
$$\frac{3d^2}{a^5}+\frac{2}{d^3} \geq \frac{5}{a^3}$$
$$\Rightarrow 3[\frac{a^2}{b^5} + \frac{b^2}{c^5} + \frac{c^2}{d^5} + \frac{d^2}{a^5}] \geq 3(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}]$$
$$\Rightarrow dpcm$$

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

11; [TEX]a; b; b > 0 abc=1[/TEX] ; tìm min

[TEX]Q=\frac{bc}{a^2(b+c)} + \frac{ca}{b^2( c+a)} +\frac{ab}{c^2(a+b)} [/TEX]

[TEX]Q=\frac{bc}{a^2(b+c)} + \frac{ca}{b^2( c+a)} +\frac{ab}{c^2(a+b)} [/TEX]
Do abc=1
[TEX]\Rightarrow Q= \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}[/TEX]
đặt: [TEX]x=\frac{1}{a}[/TEX]
[TEX]y=\frac{1}{b}[/TEX]
[TEX]z=\frac{1}{c}[/TEX]
a,b,c>0abc=1
[TEX]\Rightarrow [/TEX]a+b=z(x+y)
b+c=x(z+y)
c+a=y(x+z)
[TEX]\Rightarrow Q= \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}[/TEX]
Mà :[TEX]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{a+b+c}{2}\geq\frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}[/TEX]

 

[bigbang195]

mấy bài dễ nhưng mờ vẫn fải nhờ giúp

giải dễ hỉu nhé ( đừng tắt quá )

giải nhanh nữa tối t cần gấp

3; a; b ; c > 0

cm : [TEX]\frac{a^3 }{b^3} + \frac{b^3 }{c^3} + \frac{c^3 }{a^3} \geq \frac{a }{b} + \frac{b }{c}+\frac{c }{a[/TEX]}

4; a; b ; c; d > 0 cm [TEX] \frac{a^2 }{b^5} + \frac{b^2}{c^5} + \frac{c^2 }{d^5} + \frac{d^2 }{a^5}\geq \frac{1 }{a^3} + \frac{1 }{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1 }{d^3}[/TEX]

6; a; b ; c > 0 cm [TEX]\sqrt{\frac{a^3 }{b^3}}+ \sqrt{\frac{b^3 }{c^3}}+ \sqrt{\frac{c^3 }{a^3}}\geq \frac{a }{b} + \frac{b }{c}+\frac{c }{a}[/TEX]

7; a+b+c =3/a ; a; b ; c > 0

cm [TEX]\sqrt[3]{a+3b}+ \sqrt[3]{b+3c}+ \sqrt[3]{c+3a} \leq 3[/TEX]

8; [TEX]a \geq 2 ; b\geq3 ; c \geq 4[/TEX] . tìm max

[TEX]P = \frac{ab ( \sqrt{ c -4} +bc \sqrt{a-2} + ac \sqrt{b-3} }{abc}[/TEX]

11; [TEX]a; b; b > 0 abc=1[/TEX] ; tìm min

[TEX]Q=\frac{bc}{a^2(b+c)} + \frac{ca}{b^2( c+a)} +\frac{ab}{c^2(a+b)} [/TEX]

14 ( BK) max =??[TEX] y = cos^px . sin ^q x[/TEX] ( x thuộc [TEX][0; \pi/2] [/TEX]; p; q thuộc N > 1)

16; min=?? [TEX]K = 5 cot^2 A + 16 cot^2 B +27 cot^2 C[/TEX]

21;[TEX] x ; y; z > 0[/TEX] ; tìm min

[TEX]S = \sqrt[3]{4 ( x ^3 +y^3 ) } + \sqrt[3]{4 ( z ^3 +y^3 ) } + \sqrt[3]{4 ( x ^3 +z^3 ) } + 2 ( \frac{x}{y^2}+ \frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2 })[/TEX]

thanhks :|:|:|:|

Bài 21
ta có
[TEX]4(a^3+b^3) \ge (a+b)^3[/TEX] Chứng minh dễ có thể khai triển ra để CM
nên
[TEX]VT \ge 2(x+y+z+\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2})[/TEX]
[TEX]\ge 2.6.\sqrt[6]{\frac{x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2}} =12[/TEX]

 

[rua_it]

14 ( BK) max =??[TEX] y = cos^px . sin ^q x[/TEX] ( x thuộc [TEX][0; \pi/2] [/TEX]; p; q thuộc N > 1)

Xét TH $$q=2;p=6$$
Theo AM-GM, ta có:
$$1=sin^2x+cos^2x=sin^2x+\frac{cos^2}{3}+\frac{cos^2}{3}+\frac{cos^2}{3} \geq 4\sqrt[4]{\frac{sin^2xcos^6x}{27}}$$
$$\Rightarrow 4^4.sin^2xcos^6x \leq 27 \Leftrightarrow sin^2cos^6 \geq \frac{27}{256}$$
$$\Rightarrow y_{max}= \frac{27}{256}$$
khi $$sin^2x = \frac{cos^2x}{3} \Rightarrow tg^2x= \frac{1}{3}$$
$$\Rightarrow tgx= \pm \ \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow x= \pm \ \frac{\pi}{6}+k.\pi; k \in\ Z$$
Chứng minh hoàn toàn tương tự cho trường hợp tổng quát, không gõ latex nỗi

 

[silvery93]

3; a; b ; c > 0

cm : [TEX]\frac{a^3 }{b^3} + \frac{b^3 }{c^3} + \frac{c^3 }{a^3} \geq \frac{a }{b} + \frac{b }{c}+\frac{c }{a[/TEX]}



6; a; b ; c > 0 cm [TEX]\sqrt{\frac{a^3 }{b^3}}+ \sqrt{\frac{b^3 }{c^3}}+ \sqrt{\frac{c^3 }{a^3}}\geq \frac{a }{b} + \frac{b }{c}+\frac{c }{a}[/TEX]

7; a+b+c =3/4 ; a; b ; c > 0

cm [TEX]\sqrt[3]{a+3b}+ \sqrt[3]{b+3c}+ \sqrt[3]{c+3a} \leq 3[/TEX]

8; [TEX]a \geq 2 ; b\geq3 ; c \geq 4[/TEX] . tìm max

[TEX]P = \frac{ab ( \sqrt{ c -4} +bc \sqrt{a-2} + ac \sqrt{b-3} }{abc}[/TEX]

16; min=?? [TEX]K = 5 cot^2 A + 16 cot^2 B +27 cot^2 C[/TEX]

giải típ đi ...................................................................

 

[silvery93]

thêm bài này x; y>0 ; x+y=1 . min =?? [TEX]P= \frac{x}{\sqrt[2]{1-x}}+\frac{y}{\sqrt[2]{1-y}}[/TEX]

 

[bigbang195]

thêm bài này x; y>0 ; x+y=1 . min =?? [TEX]P= \frac{x}{\sqrt[2]{1-x}}+\frac{y}{\sqrt[2]{1-y}}[/TEX]

[TEX]VT=\sum \frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{(1-x)x}} \ge 2(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}) \ge 2[/TEX]

 

[silvery93]

[TEX]VT=\sum \frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{(1-x)x}} \ge 2(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}) \ge 2[/TEX]

[TEX] 2(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}) \ge 2[/TEX]

sao \geq 2 vậy

 

[tohsaka1694]

CM $$\frac{a^4}{b^2 + c^2 + d^2} +\frac{b^4}{c^2+d^2+a^2} +\frac{c^4}{d^2+a^2+b^2} + \frac{d^4}{a^2+b^2+c^2} \ge 4/3$$ với $$abcd = 1$$

Nếu câu trên không làm ra thì làm thử trường hợp $$VT \ge 1$$ xem sao.
Yêu cầu đề bài là chỉ áp dụng Cauchy nhé

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

theo yều của chị silvery93

[TEX]Q=\frac{bc}{a^2(b+c)} + \frac{ca}{b^2( c+a)} +\frac{ab}{c^2(a+b)} [/TEX]
Do abc=1
[TEX]\Rightarrow Q= \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}[/TEX]
đặt: [TEX]x=\frac{1}{a}[/TEX]
[TEX]y=\frac{1}{b}[/TEX]
[TEX]z=\frac{1}{c}[/TEX]
a,b,c>0abc=1
[TEX]\Rightarrow [/TEX]a+b=z(x+y)
b+c=x(z+y)
c+a=y(x+z)
[TEX]\Rightarrow Q= \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}[/TEX]
Mà :[TEX]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{a+b+c}{2}\geq\frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}[/TEX]

[TEX] \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{a+b+c}{2}[/TEX]
ta có [TEX]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\geq\sqrt[]{\frac{a^2(b+c)}{4(b+c)}}=a [/TEX]
tương tự dc điều phải CM

 

[rua_it]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+ \frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c}\geq \frac{2}{3}[/TEX].

Bài hơi cổ

[TEX]Dat: \left{\begin{6x=b+2c+3d}\\{6y=c+2d+3a}\\{6z=d+2a+3b}\\{6t=a+2b+3c}[/tex]
\Rightarrow BDT cần chứng minh tương đương với $$\frac{a}{6x}+\frac{b}{6y}+\frac{c}{6z}+\frac{d}{6t} \geq \frac{2}{3}$$
Theo Cauchy-Schwarz, ta có:
$$(\sum a)^2=[\sqrt{\frac{a}{6x}}.\sqrt{6xa}+\sqrt{\frac{b}{6y}}.\sqrt{6yb} + \sqrt{\frac{c}{6z}} .\sqrt{6zc}+\sqrt{\frac{d}{6t}}.\sqrt{6dt}]^2$$
$$\leq (\frac{a}{6x}+\frac{b}{6y}+\frac{c}{6z}+\frac{d}{6t})(6xa+6yb+6zc+6td) \leq (\frac{a}{6x}+\frac{b}{6y}+\frac{c}{6z}+\frac{d}{6t})(\sum ab).4$$
$$\Rightarrow VT=(\frac{a}{6x}+\frac{b}{6y}+\frac{c}{6z}+\frac{d}{6t}) \geq \frac{(a+b+c+d)^2}{4.\sum ab}$$
\Rightarrow Ta chỉ cần chứng minh $$\frac{(a+b+c+d)^2}{4\sum ab} \geq \frac{2}{3}(*)$$ là đủ
Thật vậy, $$(*) \Leftrightarrow 3[\sum a^2 + 2(\sum ab)] \geq8.\sum ab$$
$$\Rightarrow 3(\sum a^2) \geq 2.(\sum ab) \Rightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2+(d-a)^2+(d-b)^2+(c-a)^2 \geq 0$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $$a=b=c=d$$

 

[dandoh221]

CM $$\frac{a^4}{b^2 + c^2 + d^2} +\frac{b^4}{c^2+d^2+a^2} +\frac{c^4}{d^2+a^2+b^2} + \frac{d^4}{a^2+b^2+c^2} \ge 4/3$$ với $$abcd = 1$$

Nếu câu trên không làm ra thì làm thử trường hợp $$VT \ge 1$$ xem sao.
Yêu cầu đề bài là chỉ áp dụng Cauchy nhé

Dùng CS là ra ngay.. nhưng AM-GM cũng được

Xây dựng 4 cái tương tự ta suy ra

 

[rua_it]

$$\frac{|x-y|}{\sqrt{2001+x^2}.\sqrt{2001+y^2}}+\frac{|y-z|}{\sqrt{2001+y^2}.\sqrt{2001+z^2}} \geq \frac{|x-z|}{\sqrt{2001+x^2}.\sqrt{2001+z^2}}$$