[Toán 10]Bdt

[silvery93]

giúp bài này

16; min=?? [TEX]K = 5 cot^2 A + 16 cot^2 B +27 cot^2 C[/TEX]

22; x ; y > 0 tm x+y=S . min =??

[TEX]P= 4/x + 1/4y[/TEX]

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

giúp bài này

16; min=?? [TEX]K = 5 cot^2 A + 16 cot^2 B +27 cot^2 C[/TEX]

22; x ; y > 0 tm x+y=S . min =??

[TEX]P= 4/x + 1/4y[/TEX]

16, cái này em chưa học :d
22, ko biết có đúng hok

[TEX]P= 4/x + 1/4y\geq\frac{16}{x+y}=\frac{16}{S}[/TEX]

 

[bigbang195]

[TEX]a,b,c[/TEX] dương
Chứng Minh
[TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \ge \frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ac}[/TEX]

cho bài mới đi miko_tinhnghich_dangyeu

 

[tohsaka1694]

Cho [tex] a,b,c > 0[/tex]. Cm:
[tex] \frac {1}{a + 3b} + \frac {1}{b + 3c} + \frac {1}{c + 3a} \ge \frac {1}{a + 2b + c} + \frac {1}{b + 2c + a} + \frac {1}{c + 2a + b}[/tex]

 

[rua_it]

Iran 96

[TEX]x,z,y[/TEX] không âm chứng minh :
[TEX]\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}+\frac{1}{(x+z)^2} \ge \frac{9}{4(xy+yz+xz)}(1)[/TEX]

Bài này khá hay !!

[tex] Dat: \left{\begin{p=a+b+c}\\{q=ab+bc+ca}\\{r=abc}(*)[/tex]

[tex]\huge \rightarrow \frac{p^4+q^2+2qp^2-4p^2q+4qr}{p^2q^2+r^2+2pqr} \geq \frac{9}{4.q}[/tex]

[tex]\huge \rightarrow q.[\frac{(p^2+q)^2-4p(pq-r)}{(pq-r)^2}] \geq \frac{9}{4}[/tex]

[tex] \rightarrow \ 4p^4q-17p^2q^2+4q^3+34qpr-9r^2 \geq 0[/tex]

[tex] \rightarrow \ pq(p^3-4pqr+9r)+q(p^4-5p^2q+4q^4+6pr)+r(pq-9r) \geq 0[/tex]

[tex] (*) \rightarrow \ \left{\begin{p^4+4q^2+6pr \geq 5p^2q}\\{pq \geq 9r}\\{p^3+9r \geq 4pqr}[/tex]

Bất đẳng thức cuối luôn đúng [tex]\rightarrow \ dpcm[/tex]

Đẳng thức xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=b=c[/tex] [tex] or[/tex] [tex]x=y;z=0[/tex] và các hoán vị

 

[rua_it]

[tex]a,b,c,d>0[/tex]

1.[tex]\sum \frac{a}{b^2+c^2+d^2} \geq \frac{4}{\sum a}[/tex]

2.[tex]\frac{3.\sum a^4}{4abcd} \leq 1+\frac{3.\sum a^2}{ab+bc+cd+ac+ad+bd}[/tex]

 

[bigbang195]

[tex]a,b,c,d>0[/tex]
[tex]\sum \frac{a}{b^2+c^2+d^2} \geq \frac{4}{\sum a}[/tex]

[TEX]\Leftrightarrow \sum a\sum \frac{a}{b^2+c^2+d^2} \ge (\sum \frac{a}{\sqrt{b^2+c^2+d^2}})^2 [/TEX]
[TEX]=(\sum \frac{a^2}{\sqrt{(b^2+c^2+d^2)a^2}})^2 \ge (\sum \frac{2a^2}{\sum a^2})^2=4[/TEX]

 

[rua_it]

1.[tex]a,b,c>0[/tex]
[tex]\sum \frac{1}{a} \geq \sum \frac{3a}{a^2+2bc}[/tex]

2. [tex]a,b,c \geq 0; a^2+b^2+c^2 \not= \ 0[/tex]
[tex]\sum \frac{a}{4a+4b+c} \leq \frac{1}{3}[/tex]
3.[tex]a^2+b^2+c^2+d^2=1[/tex]
[tex]\sum \frac{1}{1-ab} \leq 8[/tex]

4. [tex]a,b,c>0[/tex]
[tex]\sum \frac{a}{b+c} +2\sqrt{\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 2[/tex]

 

[bigbang195]

1.[tex]a,b,c>0[/tex]
[tex]\sum \frac{1}{a} \geq \sum \frac{3a}{a^2+2bc}[/tex]

2. [tex]a,b,c \geq 0; a^2+b^2+c^2 \not= \ 0[/tex]
[tex]\sum \frac{a}{4a+4b+c} \leq \frac{1}{3}[/tex]

Bài 1 :
[TEX]\Longrightarrow [/TEX]
[TEX]\sum \frac{1}{a}-\sum \frac{3a}{a^2+2bc}=\sum (2bc-2a^2)\frac{1}{a^3+2abc}[/TEX]
không mất tính tổng quát .Giả sử [TEX]a \ge b \ge c[/TEX]
thì [TEX](2bc-a^2)(b+c) \le (2ac-b^2)(a+c) \le (2ab-c^2)(a+b)[/TEX]
và [TEX]\frac{1}{(a^3+2abc)(b+c)} \le \frac{1}{(b^3+2abc)(a+c)} \le \frac{1}{(c^3+2abc)(a+b)}[/TEX]
vì [TEX](a^3+2abc)(b+c) \ge (b^3+2abc)(a+c)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^3b+a^3c+2abc(b+c) \ge b^3a+b^3c+2abc(a+c)[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow ab(a^2-b^2)+c(a^3-b^3)-2abc(a+c-b-c) \ge 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow ab(a+b)(a-b)+c(a-b)(a^2+ab+b^2)-2abc(a-b) \ge 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a-b)(a^2b+b^2a+a^2c+b^2c+abc-abc)[/TEX]
[TEX]=(a-b)(a^2b+b^2a+a^2c+b^2c+abc-2abc) \ge (a-b)3abc [/TEX](theo am-gm)
Chứng Minh [TEX]b^3+2abc(a+c) \ge c^3+2abc(a+b)[/TEX] hoàn toàn tương tự
Vậy
Theo Chebyshev inequality :
[TEX]\sum (2bc-2a^2)(b+c)\frac{1}{(a^3+2abc)(a+b)} \ge \frac{1}{3}(\sum (2bc-2a^2)(b+c))(\sum \frac{1}{(a^3+2abc)(a+b)}) =0[/TEX]
chú ý [TEX]\sum (2bc-2a^2)(b+c)=0[/TEX]
Chứng minh hoàn tất !

 

[rooney_cool]

Cho các số dương a, b, c. CMR


[TEX]\frac{{a^2 + b^2 }}{{a + b}} + \frac{{b^2 + c^2 }}{{b + c}} + \frac{{a^2 + c^2 }}{{a + c}} \le \frac{{3(a^2 + b^2 + c^2 )}}{{a + b + c}}[/TEX]

 

[bigbang195]

Cho các số dương a, b, c. CMR


[TEX]\frac{{a^2 + b^2 }}{{a + b}} + \frac{{b^2 + c^2 }}{{b + c}} + \frac{{a^2 + c^2 }}{{a + c}} \le \frac{{3(a^2 + b^2 + c^2 )}}{{a + b + c}}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow(a+b+c)(\sum_{cyc} \frac{a^2+b^2}{a+b} \le 3(\sum_{cyc} a^2)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{c(a^2+b^2)}{a+b} \le \sum a^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow\sum_{cyc} [c^2-\frac{c(a^2+b^2)}{a+b}] \ge 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow\sum_{sym} \frac{ac(c-a)}{a+b} \ge 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow\sum_{cyc} \frac{ac(c-a)^2}{(a+b)(b+c)} \ge 0[/TEX],Đúng

 

[vodichhocmai]

3.[tex]a^2+b^2+c^2+d^2=1[/tex]
[tex]\sum_{cyc} \frac{1}{1-ab} \leq 8[/tex]

Đề sai , có lẽ ghi nhần hoặc chưa hiểu, chú ý rằng khi ra đề không được viết kí hiệu , ngoại trừ bất đẳng thức có vô cùng số .

[tex]a^2+b^2+c^2+d^2=1[/tex]
[tex]\sum_{sym} \frac{1}{1-ab} \leq 8[/tex]

 

[vodichhocmai]

[tex]a^2+b^2+c^2+d^2=1[/tex]
[tex]\sum_{sym} \frac{1}{1-ab} \leq 8[/tex]

Cách một:

[TEX]Maclaurin\ \ and\ \ Cauchy[/TEX] ta luôn có :

[TEX]\sqrt{\frac{\sum_{sym}ab}{6} }\le \frac{a+b+c+d}{4}\le \sqrt{ \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}}[/TEX]

[TEX]\righ \frac{\sum_{sym}ab}{6}\le \frac{1}{4}[/TEX]

Ta lại có :

[TEX]f(x)=\frac{1}{1-x}\righ f^{"}(x)=-\frac{2}{(1-x)^3}\le 0[/TEX]

Vậy [TEX]f[/TEX] là hàm lõm suy ra :

[TEX]\sum_{sym} \frac{1}{1-ab} \leq \frac{6}{1-\frac{\sum_{sym}ab}{6}}\le 8[/TEX]

Vậy bài toán chứng minh xong.

 

[vodichhocmai]

[tex]a^2+b^2+c^2+d^2=1[/tex]
[tex]\sum_{sym} \frac{1}{1-ab} \leq 8[/tex]

Cách hai:

[TEX]\frac{ab}{1-ab} =\frac{2ab}{a^2+b^2+2(c^2+d^2)+(a-b)^2}\le \frac{2ab}{a^2+b^2+2(c^2+d^2)}\le \frac{1}{2}\(\frac{a^2}{a^2+c^2+d^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2+d^2}\) [/TEX]

Xây dựng bài toán tương tự , cộng vế theo vế ta được điều phải chứng minh .

 

[vodichhocmai]

4. [tex]a,b,c>0[/tex]
[tex]\sum \frac{a}{b+c} +2\sqrt{\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 2[/tex]

Bài này cauchy trực tiếp chắc cũng được , không cần SOS.

Nhưng bài này thấy nó sao sao đó.

[tex]\sum \frac{a}{b+c} +2\sqrt{\frac{abc}{2(a+b)(b+c)(c+a)}} \geq 2[/tex] coi bộ có lí hơn thì phải.

 

[silvery93]

cho a,b,c >0:cm

[TEX]\sqr[3]{(a+b)^2}+\sqr[3]{(b+c)^2}+\sqr[3]{(a+c)^2}\geq\sqr[3]{4}.\sqr[3]{(a+b+c)^2}[/TEX]

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

[TEX]\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+b+2c}[/TEX]
ta có áp dụng:[TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq\frac{4}{x+y}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+2c+a}\geq\frac{2}{a+2b+c}[/TEX]
tương tự mấy cái kí [TEX]\Rightarrow [/TEX]đpcm

 

[son_9f_ltv]

cho a,b,c >0:cm

[TEX]\sqr[3]{(a+b)^2}+\sqr[3]{(b+c)^2}+\sqr[3]{(a+c)^2}\geq\sqr[3]{4}.\sqr[3]{(a+b+c)^2}[/TEX]

chị ơi chị làm đc chưa??
nếu đc thì chị gợi ý đi !!!!

 

[bigbang195]

cho a,b,c >0:cm

[TEX]\sqr[3]{(a+b)^2}+\sqr[3]{(b+c)^2}+\sqr[3]{(a+c)^2}\geq\sqr[3]{4}.\sqr[3]{(a+b+c)^2}[/TEX]

Thử a=b=c sao VT khác VP nhỉ 1

 

[vodichhocmai]

Vui chơi

cho a,b,c >0:cm
[TEX]\sqr[3]{(a+b)^2}+\sqr[3]{(b+c)^2}+\sqr[3]{(a+c)^2}\leq \sqr[3]{12(a+b+c)^2}[/TEX]