[Toán 10]Bdt

[duynhan1]

Áp dụng BDT Co si ta có [TEX]a+3b+2c = (a+b) + 2(b+c)\geq\2sqrt{ab}+4\sqrt{bc}[/TEX]
Tương tự cho 2 mẫu còn lại.
Đặt [TEX]x=\sqrt{ab}[/TEX]
[TEX]y=\sqrt{bc}[/TEX]
[TEX]z=\sqrt{ac}[/TEX]
Lại có : [TEX]a+b+c\geq\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}[/TEX]
Nên ta có BDT tương đương :
[TEX]\frac{x^2}{2x+4y}[/TEX]+[TEX]\frac{y^2}{2y+4z}[/TEX]+[TEX]\frac{z^2}{2z+4x}[/TEX][TEX]\leq[/TEX][TEX]\frac{x+y+z}{6}[/TEX]
Áp dụng BDT Cosi ta lại có :
[TEX]\frac{x^2}{2x+4y}[/TEX]+[TEX]\frac{2x+4y}{36}[/TEX][TEX]\geq[/TEX][TEX]\frac{2x}{6}[/TEX]
[TEX]\frac{y^2}{2y+4z}[/TEX]+[TEX]\frac{2y+4z}{36}[/TEX][TEX]\geq[/TEX][TEX]\frac{2y}{6}[/TEX]
[TEX]\frac{z^2}{2z+4x}[/TEX]+[TEX]\frac{2z+4x}{36}[/TEX][TEX]\geq[/TEX][TEX]\frac{2z}{6}[/TEX]
Cộng từng vế của 3 BDT trên rồi chuyển vế ta được điều phải chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX]
Nhớ thanks nhe!

 

[vodichhocmai]

Áp dụng BDT Co si ta có [TEX]a+3b+2c = (a+b) + 2(b+c)\geq\2sqrt{ab}+4\sqrt{bc}[/TEX]
Tương tự cho 2 mẫu còn lại.
Đặt [TEX]x=\sqrt{ab}[/TEX]
[TEX]y=\sqrt{bc}[/TEX]
[TEX]z=\sqrt{ac}[/TEX]
Lại có : [TEX]a+b+c\geq\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}[/TEX]
Nên ta có BDT tương đương :
[TEX]\frac{x^2}{2x+4y}[/TEX]+[TEX]\frac{y^2}{2y+4z}[/TEX]+[TEX]\frac{z^2}{2z+4x}[/TEX][TEX]\leq[/TEX][TEX]\frac{x+y+z}{6}[/TEX]
Áp dụng BDT Cosi ta lại có :
[TEX]\frac{x^2}{2x+4y}[/TEX]+[TEX]\frac{2x+4y}{36}[/TEX][TEX]\geq[/TEX][TEX]\frac{2x}{6}[/TEX]
[TEX]\frac{y^2}{2y+4z}[/TEX]+[TEX]\frac{2y+4z}{36}[/TEX][TEX]\geq[/TEX][TEX]\frac{2y}{6}[/TEX]
[TEX]\frac{z^2}{2z+4x}[/TEX]+[TEX]\frac{2z+4x}{36}[/TEX][TEX]\geq[/TEX][TEX]\frac{2z}{6}[/TEX]
Cộng từng vế của 3 BDT trên rồi chuyển vế ta được điều phải chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX]
Nhớ thanks nhe!
||||||||
||||||||

:-SS:-SS:-SS:-SS:-SS:-SS:-SS:-SS
:-*:-*:-*:-*:-*:-*:-*:-*:-*

Tuy có tốt nhưng không thành công ||||

 

[havy_204]

CMR với mọi a, b, c > 0 ta có

[TEX]\frac{ab}{a+3b+2c} + \frac{bc}{b+3c+2a} +\frac{ca}{c+3a+2b} \leq\frac{a+b+c}{6}[/TEX]

Áp dụng BDT [TEX]\frac{1}{x+y+z}[/TEX]\leq[TEX]\frac{1}{9}[/TEX].[TEX](\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})[/TEX].

ta có:

[TEX]\frac{ab}{a+3b+2c}[/TEX]\leq[TEX]\frac{ab}{9}[/TEX].[TEX](\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{b+c})[/TEX]----(1)

Tương tự ta có:

[TEX]\frac{bc}{b+3c+2a}[/TEX]\leq[TEX]\frac{bc}{9}[/TEX].[TEX](\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{b+c})[/TEX]-----(2)

[TEX]\frac{ca}{c+3a+2b}[/TEX]\leq[TEX](\frac{ca}{9}.(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})[/TEX]---(3)

Công (1) (2) (3) ta dc ---> dpcm

Dấu bằng xảy ra \Leftrightarrowa=b=c

>> xin lỗi ,cái latex em đánh hơi lộn chút >>>
mấy anh chị thông cảm dùm ạ

 

[havy_204]

Tuy có tốt nhưng không thành công ||||

anh có thể giải thik cho em bài trên hok thành công đoạn nào dc hok ạ ?

 

[vodichhocmai]

anh có thể giải thik cho em bài trên hok thành công đoạn nào dc hok ạ ?

Nên ta có BDT tương đương :
[TEX]\frac{x^2}{2x+4y}[/TEX]+[TEX]\frac{y^2}{2y+4z}[/TEX]+[TEX]\frac{z^2}{2z+4x}[/TEX][TEX]\leq[/TEX][TEX]\frac{x+y+z}{6}[/TEX]
Áp dụng BDT Cosi ta lại có :
[TEX]\frac{x^2}{2x+4y}[/TEX]+[TEX]\frac{2x+4y}{36}[/TEX][TEX]\geq?????????[/TEX]

Bất đẳng thức xảy ra ngược lại rồi..........................

 

[phepmaukidieu]

[TEX] \frac{ x}{1- x^2 }\ge \frac{ 3\sqrt{3}}{2 }x^2[/TEX]

Xây dựng tương tự ta thành công .

ro ràng đề bài y/câu cm cái này còn ji`
anh nói vậy = thừa ak`
ngoài apa dụng lượng giác thì có cách nào đơn giản ko ?????????????

 

[namtuocvva18]

HSG Nghe An 2008-2009

Cho a,b,c duong. Chung minh:
[TEX]\frac{\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+3\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}\leq \frac{3}{4}[/TEX].

 

[silver_nmt]

Chuẩn hoá abc=1,đưa bdt cần chứng minh về
[tex]\sum\frac{1}{a\sqrt{a}+3} \leq \frac{3}{4}[/tex]
Chỉ cần chứng minh bài toán sau:
Cho a,b,c>0:abc=1.CM:
[tex]\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3} + \frac{1}{c+3} \leq \frac{3}{4}[/tex]
Với bài toán này chỉ cần quy đồng mẫu số.

 

[bigbang195]

anh thử đồng quy cho em cái ___________________________________________________

 

[vodichhocmai]

Cho [TEX]x,y,z\in{[0;1]}[/TEX] và [TEX]x+y+z=1[/TEX]. Tìm GTLN của:
[TEX] P=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}[/TEX].

[TEX]\frac {5}{2} = \sum_{cyclic} \frac {2 - x}{2}\le \sum_{cyclic} \frac {1}{1 + x^2} \le \sum_{cyclic} \frac { - 27x + 54}{50} = \frac {27}{10}[/TEX]

 

[vodichhocmai]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{29a^3-b^3}{ab+6a^2}+\frac{29b^3-c^3}{bc+6b^2}+\frac{29c^3-a^3}{ca+6c^2}\leq{4(a+b+c)}[/TEX].

[TEX]\forall x>0 [/TEX] ta luôn có.

[TEX]\frac{29x^3-1}{6x^2+x}-5x+1=\frac{-(x-1)^2(x+1)}{6x^2+x}\le 0[/TEX]

[TEX]\righ \frac{29x^3-1}{6x^2+x}\le 5x-1[/TEX]

lần lượt đặt :

[TEX]x=\frac{a}{b};\ \ \frac{b}{c};\ \ \frac{c}{a}[/TEX]

Ta được dpcm.

 

[namtuocvva18]

De thi HSG lop 12 tinh Thai Binh 2009-2010

Cho x,y,z duong va [TEX]x^2+y^2+z^2=3[/TEX]. Tim GTLN cua:
[TEX]P=\sqrt{3x^2+7y}+\sqrt{5y+5z}+\sqrt{7z+3x^2}[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Cho x,y,z duong va [TEX]x^2+y^2+z^2=3[/TEX]. Chung minh:
[TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{36}{9+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Giup

Cho [TEX]a,b,c \in{[0;2010]}[/TEX]. Chung minh:
[TEX]\sqrt{\frac{2a}{b+2010}}+\sqrt{\frac{2b}{c+2010}}+\sqrt{\frac{2c}{a+2010}}\leq 3[/TEX].

 

[vodichhocmai]

Cho x,y,z duong va [TEX]x^2+y^2+z^2=3[/TEX]. Tim GTLN cua:
[TEX]P=\sqrt{3x^2+7y}+\sqrt{5y+5z}+\sqrt{7z+3x^2}[/TEX].

[TEX]x^2+y^2+z^2=3\righ (z+y)\le \sqrt{6-2x^2}[/TEX]

[TEX]P^2\le (1+1+1)[6x^2+12(z+y)]\le 3(6x^2+12\sqrt{6-2x^2})\le 90[/TEX]

[TEX]\righ P\le 3\sqrt{10}[/TEX]

[TEX]x=y=z=1[/TEX]

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c duong. Chung minh:
[TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c duong va [TEX]a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq a^2b^2c^2[/TEX]. Chung minh:
[TEX]\frac{a^2b^2}{c^3(a^2+b^2)}+\frac{b^2c^2}{a^3(b^2+c^2)}+\frac{c^2a^2}{b^3(c^2+a^2)}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}[/TEX].

 

[vodichhocmai]

Cho [TEX]a,b,c \in{[0;2010]}[/TEX]. Chung minh:
[TEX]\sqrt{\frac{2a}{b+2010}}+\sqrt{\frac{2b}{c+2010}}+\sqrt{\frac{2c}{a+2010}}\leq 3[/TEX].

[TEX]LHS\le\sqrt{\frac{2a}{a+b} }+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\le 3 [/TEX]

Bất đẳng thức cuối tuy khó nhưng có rất nhiều .

 

[vodichhocmai]

Cho a,b,c duong. Chung minh:
[TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}[/TEX].

Bài nầy hiện tại còn hạn trong thi. Với phương án.

[TEX]\sum_{cyclic}\(\frac{a^2}{b}+b-2a\)\ge \sum_{cyclic}\( \sqrt{a^2-ab+b^2} -\frac{a+b}{2}\)[/TEX]

[TEX]\sum_{cyclic} \frac{(a-b)^2}{b}\ge \sum_{cyclic}\frac{3(a-b)^2}{4\sqrt{a^2-ab+b^2}+2a+2b}[/TEX]

[TEX]SOS!![/TEX]

 

[bigbang195]

[TEX]LHS\le\sqrt{\frac{2a}{a+b} }+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\le 3 [/TEX]

Bất đẳng thức cuối tuy khó nhưng có rất nhiều .